ГДЗ к теме 1. 3 Степень с натуральным показателем

Ответы на вопросы

1. Как называют выражение $a^n$, число a в этом выражении, число n? Что означает выражение $a^n$, если n − натуральное число, не равное 1? если n = 1? Найдите значения выражений $6^3; (-3)^4; 8^1$.

Ответ

Выражение $a^n$ называют n−й степенью числа a, где:
a − основание степени;
n − показатель степени.
Выражение $a^n$, если n − натуральное число, не равное 1, означает произведение n множителей, каждый из которых равен a.
Если n = 1, то $a^n = a^1 = a$.
$6^3 = 6 * 6 * 6 = 216$;
$(-3)^4 = (-3) * (-3) * (-3) * (-3) = 81$;
$8^1 = 8$.

2. Разберите, как найдено значение степени $2^8$ во фрагменте 1. Зная, что $3^2 = 9$ и $3^3 = 27$, найдите сначала $3^5$, а затем $3^8$.

Решение 7 гуру

Для нахождения значения $2^8$ процесс возведения в степень сократили, сгруппировав множители так, чтобы можно было использовать уже известные результаты.
$2^8 = (2 * 2 * 2) * (2 * 2 * 2 * 2 * 2) = 2^3 * 2^5 = 8 * 32 = 256$
$3^5 = 3 * 3 * 3 * 3 * 3 = (3 * 3) * (3 * 3 * 3) = 3^2 * 3^3 = 9 * 27 = 243$;
$3^8 = 3 * 3 * 3 * 3 * 3 * 3 * 3 * 3 = (3 * 3 * 3) * (3 * 3 * 3 * 3 * 3) = 3^3 * 3^5 = 27 * 243 = 6561$

3. Какое число − положительное или отрицательно − может получиться при возведении в степень отрицательного числа? От чего зависит знак степени с отрицательным основанием? Сравните с нулем число:
$(-49)^{20}$;
$(-100)^{11}$;
$(-7)^{5} * (-23)^{6}$.

Ответ

При возведении в четную степень отрицательного числа получится положительное число.
При возведении в нечетную степень отрицательного числа получится отрицательное число.
Знак степени с отрицательным основанием зависит от четности показателя.
$(-49)^{20} > 0$;
$(-100)^{11} < 0$;
$(-7)^{5} * (-23)^{6} < 0$.

4. Прочитайте предложение: "Обычно снежинка имеет 5 мм в диаметре при массе $4 * 10^{-3}$ г". Выразите десятичной дробью массу снежинки.

Ответ

$4 * 10^{-3} = 4 * 0,001 = -0,004$ г

Ответы на задания

Задание 34. Запишите каждое выражение в виде произведения или степени:
а) 2 * 2 * 2 * 2 * 2 и 2 + 2 + 2 + 2 + 2;
б) $\frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3}$ и $\frac{1}{3} * \frac{1}{3} * \frac{1}{3} * \frac{1}{3}$;
в) a + a + a и a * a * a;
г) $\underbrace{x * x * x * ... * x}_{20-множителей}$ и $\underbrace{x + x + x + ... + x}_{20-слагаемых}$.

Решение

а) $2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 2^5$;
$2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 2 * 5$.

б) $\frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = 4 * \frac{1}{3}$;
$\frac{1}{3} * \frac{1}{3} * \frac{1}{3} * \frac{1}{3} = (\frac{1}{3})^4$.

в) a + a + a = 3a;
$a * a * a = a^3$.

г) $\underbrace{x * x * x * ... * x}_{20-множителей} = x^{20}$;
$\underbrace{x + x + x + ... + x}_{20-слагаемых} = 20x$.

Задание 35. Запишите выражение короче, используя степени:
а) 7 * 7 * 7 * 8 * 8 * 8 * 8 * 9 * 9 * 9 * 9 * 9;
б) 2 * 3 * 3 * 3 * 3 * 7 * 7;
в) $\underbrace{3 * 3 * 3 * ... * 3}_{n-множителей} * \underbrace{5 * 5 * 5 * ... * 5}_{m-множителей}$;
г) (−4) * (−4) * (−4) * (−4) + 6 * 6 * 6 * 6 * 6 * 6 * 6 * 6 * 6;
д) 2 * 5 * 5 * 5 + 3 * 7 * 7 * 7 * 7 * 7 * 7;
е) $\underbrace{3 * 3 * 3 * ... * 3}_{m-множителей} + \underbrace{5 * 5 * 5 * ... * 5}_{n-множителей}$.

Решение

а) $7 * 7 * 7 * 8 * 8 * 8 * 8 * 9 * 9 * 9 * 9 * 9 = 7^3 * 8^4 * 9^5$

б) $2 * 3 * 3 * 3 * 3 * 7 * 7 = 2 * 3^4 * 7^2$

в) $\underbrace{3 * 3 * 3 * ... * 3}_{n-множителей} * \underbrace{5 * 5 * 5 * ... * 5}_{m-множителей} = 3^n * 5^m$

г) $(-4) * (-4) * (-4) * (-4) + 6 * 6 * 6 * 6 * 6 * 6 * 6 * 6 * 6 = (-4)^4 + 6^9$

д) $2 * 5 * 5 * 5 + 3 * 7 * 7 * 7 * 7 * 7 * 7 = 2 * 5^3 + 3 * 7^7$

е) $\underbrace{3 * 3 * 3 * ... * 3}_{m-множителей} + \underbrace{5 * 5 * 5 * ... * 5}_{n-множителей} = 3^m * 5^n$

Задание 36. Упростите:
а) a * a * a * x * x * x * x * x;
б) 3 * 3 * x * x * x * y * y * y * y;
в) a * a * a + a * a * a * a * a;
г) (c + d) * (c + d) * (c + d) * (c + d).

Решение

а) $a * a * a * x * x * x * x * x = a^3 * x^5$

б) $3 * 3 * x * x * x * y * y * y * y = 3^2 * x^3 * y^4$

в) $a * a * a + a * a * a * a * a = a^3 + a^5$

г) $(c + d) * (c + d) * (c + d) * (c + d) = (c + d)^4$