Задание 571

Какое из выражений нельзя представить ни в виде квадрата, ни в виде куба?

1) $-27a^{12}b^6=(-3a^4b^2)^3$

2) $a^{18}b^{24}=(a^9b^{12})^2=(a^6b^8)^3$

3) $-25a^8b^{10}$ − нельзя представить

4) $0,04a^{20}b^6=(0,2a^{10}b^3)^2$

Задание 572

Выполните возведение в степень:

а) $(\frac xy)^{10}=\frac{x^{10}}{y^{10}}$

б) $(\frac a7)^2=\frac{a^2}{7^2}=\frac{a^2}{49}$

в) $(\frac2c)^4=\frac{2^4}{c^4}=\frac{16}{c^4}$

г) $(-\frac1c)^4=\frac{(-1)^4}{c^4}=\frac1{c^4}$

д) $(-\frac x3)^3=\frac{x^3}{(-3)^3}=\frac{x^3}{-27}=-\frac{x^3}{27}$

Задание 573

Возведите дробь в степень:

а) $(\frac{2x}5)^2=\frac{(2x)^2}{5^2}=\frac{4x^2}{25}$

б) $(\frac1{x^4})^5=\frac{1^5}{(x^4)^5}=\frac1{x^{20}}$

в) $(\frac3{2a})^3=\frac{3^3}{(2a)^3}=\frac{27}{8a^3}$

г) $(-\frac{y^2}3)^3=-\frac{(y^2)^3}{3^3}=-\frac{y^6}{27}$

д) $(-\frac1{ab})^2=\frac{1^2}{(ab)^2}=\frac1{a^2b^2}$

е) $(\frac{x^2y}2)^4=\frac{(x^2)^4y^4}{2^4}=\frac{x^8y^4}{16}$

ж) $(-\frac{ab}c)^5=-\frac{a^5b^5}{c^5}$

з) $(-\frac{3a}{4b})^2=\frac{(3a)^2}{(4b)^2}=\frac{9a^2}{16b^2}$

Задание 574

Вычислите:

а) $\frac{10^3}{2^3}=(\frac{10}2)^3=5^3=125$

б) $8^{12}:2^{30}=(2^3)^{12}:2^{30}=2^{36}:2^{30}=2^6=64$

в) $100^4:50^4=(\frac{100}{50})^4=2^4=16$

г) $25^3\ast(\frac15)^6=(5^2)^3:5^6=5^6:5^6=1$

д) $\frac{6^6}{3^6}=(\frac63)^6=2^6=64$

е) $9^5:3^9=(3^2)^5:3^9=3^{10}:3^9=3^1=3$

ж) $7^3:14^3=(\frac7{14})^3=(\frac12)^3=\frac18$

з) $16^4\ast(\frac14)^8=(4^2)^4:4^8=4^8:4^8=1$

Задание 575

Упростите:

а) $3x\ast(2x)^3=3x\ast8x^3=24x^4$

б) $4b\ast(3b)^3=4b\ast27b^3=108b^4$

в) $-2a\ast(ab)^2=-2a\ast a^2b^2=-2a^3b^2$

г) $(x^2y)^3\ast(-x)=x^6y^3\ast(-x)=-x^7y^3$

д) $2y\ast(-4y)^2=2y\ast16y^2=32y^3$

е) $(-b)^3\ast5ab=-b^3\ast5ab=-5ab^4$

ж) $-x\ast(x^2y)^4=-x\ast x^8y^4=-x^9y^4$

з) $10a\ast(10a)^3=(10a)^4=10000a^4$

и) $(-2m^3)^2\ast5mn=4m^6\ast5mn=20m^7n$

Задание 576

Упростите:

а) $(a^2b)^2\ast(ab^2)^3=a^4b^2\ast a^3b^6=a^7b^8$

б) $(x^3y)^3\ast(xy^2)^3=x^9y^3\ast x^3y^6=x^{12}y^9$

в) $(-\frac12m^2n)^2\ast(4mn^3)^2=\frac14m^4n^2\ast16m^2n^6=4m^6n^8$

г) $(-yz)^2\ast(2yz)^3\ast0,5z=y^2z^2\ast8y^3z^3\ast0,5z=4y^5z^6$

д) $((-0,1a^4b)^2)^3=(0,01a^8b^2)^3=0,000001a^{24}b^6$

е) $-0,01c^3(-10ac^2)^2=-0,01c^3\ast100a^2c^4=-1a^2c^7=-a^2c^7$

Задание 577

Упростите:

а) $\frac{(2ab)^2}{4ab^3}=\frac{4a^2b^2}{4ab^3}=\frac ab$

б) $\frac{24x^4y^3}{(2xy)^3}=\frac{24x^4y^3}{8x^3y^3}=\frac{3x}1=3x$

в) $\frac{-81b^6c^3}{(3b^2c)^4}=\frac{-81b^6c^3}{81b^8c^4}=-\frac1{b^2c}$

г) $\frac{(2a^2c^5)^2}{-(4a^2c^2)^3}=\frac{4a^4c^{10}}{-64a^6c^6}=-\frac{c^4}{16a^2}$

д) $\frac{-9(a^2c^3)^3}{(3a^3c^2)^3}=\frac{-9a^6c^9}{27a^9c^6}=-\frac{c^3}{3a^3}$

е) $\frac{(x^2)^3(y^2)^2}{(x^3y^3)^3}=\frac{x^6y^4}{x^9y^9}=\frac1{x^3y^5}$

Задание 578

а) Докажите, что если сторону квадрата увеличить в 10 раз, то его площадь увеличится в 100 раз.
б) Во сколько раз увеличится объем куба, если его ребро увеличить в n раз?

Решение

а) Пусть x − сторона первоначального квадрата, тогда:
10x − увеличенная сторона квадрата;
x$^2$ − площадь первоначального квадрата;
(10x)$^2$ − площадь увеличенного квадрата;
$\frac{(10x)^2}{x^2}=\frac{100x^2}{x^2}=100$ (раз) − увеличилась площадь квадрата.
Ответ: в 100 раз.

б) Пусть x − длина ребра первоначального куба, тогда:
nx − длина ребра увеличенного куба;
x$^3$ − объем первоначального куба;
(nx)$^3$ − объем увеличенного куба;
$\frac{(nx)^3}{x^3}=\frac{n^3x^3}{x^3}=n^3$ (раз) − увеличился объем куба.
Ответ: в n$^3$ раз.