ГЛАВА 6. СВОЙСТВА СТЕПЕНИ С НАТУРАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ

Ответы к параграфу 6.1 Произведение и частное степеней

Вопросы

1. Сформулируйте определение степени с натуральным показателем и найдите значение выражения:
а) 6$^3$;
б) 10$^5$;
в) 18$^1$.

Решение

Степенью числа a с натуральным показателем n > 1, называют произведение n множителей, каждый из которых равен a.

а) 6$^3$=6∗6∗6=216

б) 10$^5$=10∗10∗10∗10∗10=100000

в) 18$^1$=18

2. На примере a$^12$∗a$^5$ проведите рассуждение, иллюстрирующее свойство произведения степеней с одинаковым основанием. Упростите выражение a$^10$∗a∗a$^7$.

Решение

$a^{12}\ast a^5=\underset{12-\operatorname р\operatorname а\operatorname з}{\underbrace{(a\ast a\ast...\ast a)}}\ast\underset{5-\operatorname р\operatorname а\operatorname з}{\underbrace{(a\ast a\ast...\ast a)}}=\underset{17-\operatorname р\operatorname а\operatorname з}{\underbrace{(a\ast a\ast...\ast a\ast a\ast a\ast...\ast a)}}=a^{12+5}=a^{17}$
$a^{10}\ast a\ast a^7=a^{10+1+7}=a^{18}$

3. На примере $\frac{a^{12}}{a^4}$ проведите рассуждение, иллюстрирующее свойство частного степеней с одинаковым основанием. Упростите выражение $\frac{a^{20}}{a^5}$.

Решение

$\frac{a^{12}}{a^4}=\frac{a\ast a\ast a\ast a\ast a\ast a\ast a\ast a\ast a\ast a\ast a\ast a}{a\ast a\ast a\ast a}=a\ast a\ast a\ast a\ast a\ast a\ast a\ast a=a^8$
$\frac{a^{20}}{a^5}=a^{20-5}=a^{15}$

Задание 524

Запишите в виде степени:

а) $x^3x^5=x^{3+5}=x^8$

б) $m^3m=m^{3+1}=m^4$

в) $bb^4b^5=b^{1+4+5}=b^{10}$

г) $cc^3c=c^{1+3+1}=c^5$

д) $xx^2x^3x^4=x^{1+2+3+4}=x^{10}$

е) $n^2n^2n^2=n^{2+2+2}=n^6$

Задание 525

Упростите:

а) $a^2b^3a=a^{2+1}\ast b^3=a^3b^3$

б) $x^3a^2xa^5=x^{3+1}\ast a^{2+5}=x^4a^7$

в) $xx^4y^2y=x^{1+4}\ast y^{2+1}=x^5y^3$

г) $ab^2c^3a^4b^5c^6=a^{1+4}\ast b^{2+5}\ast c^{3+6}=a^5b^7c^9$

д) $a^2c^4ac^{10}ac=a^{2+1+1}\ast c^{4+10+1}=a^4c^{15}$

е) $x^2yzx^2y^5z=x^{2+2}\ast y^{1+5}\ast z^{1+1}=x^4y^6z^2$

Задание 526

Выполните умножение:

а) $a^xa^y=a^{x+y}$

б) $x^nx^5=x^{n+5}$

в) $yy^n=y^{1+n}$

г) $c^nc^n=c^{n+n}=c^{2n}$

Задание 527

Представьте в виде степени:

а) $2^2\ast2^{10}=2^{2+10}=2^{12}$

б) $3^5\ast3^2\ast3=3^{5+2+1}=3^8$

в) $5\ast5^n\ast5^2=5^{1+n+2}=5^{n+3}$

г) $2^n\ast2^n\ast2=2^{n+n+1}=2^{2n+1}$

д) $7^k\ast7^k\ast7^2=7^{k+k+2}=7^{2k+2}$

е) $10^k\ast10^k\ast10^k=10^{k+k+k}=10^{3k}$

Задание 528

Упростите выражение:

а) $(-x)\ast x^2=-x^3$

б) $(-x)^2\ast x=x^3$

в) $(-x)\ast(-x^2)=x^3$

г) $(-x)\ast(-x^2)\ast(-x)=-x^4$

д) $-x^2\ast(-x)^2\ast x=-x^5$

е) $-(-x^2)\ast(-x)\ast x=x^4$

Задание 529

Частное степеней замените степенью с тем же основанием:

а) $\frac{m^9}{m^2}=m^9:m^2=m^{9-2}=m^7$

б) $\frac{n^{10}}{n^9}=n^{10}:n^9=n^{10-9}=n^1=n$

в) $\frac{c^5}c=c^5:c=c^{5-1}=c^4$

г) $\frac{p^{10}}{p^2}=p^{10}:p^2=p^{10-2}=p^8$

д) $\frac{a^{18}}{a^8}=a^{18}:a^8=a^{10-8}=a^2$

е) $\frac{b^{43}}b=b^{43}:b=b^{43-1}=b^{42}$

ж) $\frac{y^{30}}{y^{24}}=y^{30}:y^{24}=y^{30-24}=y^6$

з) $\frac{z^{34}}{z^{33}}=z^{34-33}=z^1=z$