Задание 142. Прямые AB, CD и KM пересекаются в точке O (рис. 2.7), причем ∠AOM = 47° и ∠AOС = 32°. Верно ли утверждение:
1) ∠BOD = ∠COA = 32°;
2) ∠KOB = ∠BOD = 32°;
3) ∠COM = ∠COA + ∠AOM = 32° + 47° = 79°;
4) ∠COK = 180° − ∠COM = 180° − 79° = 101°?

Ответы 7 гуру

1) ∠BOD = ∠COA = 32° − верно, так ∠BOD и ∠COA − вертикальные, а значит они равны.
2) ∠KOB = ∠BOD = 32° − неверно, так как углы ∠KOB и ∠BOD не вертикальные.
3) ∠COM = ∠COA + ∠AOM = 32° + 47° = 79° − верно.
4) ∠COK = 180° − ∠COM = 180° − 79° = 101° − верно, так как ∠COK и ∠COM − смежные.

Задание 143. Сумма трех углов, образовавшихся при пересечении двух прямых, равна 254°. Найдите величину каждого угла.

Решение

Вычтем из суммы трех углов, сумму двух смежных углов:
1) 254° − 180° = 74° − величина каждого из двух вертикальных углов;
2) 180° − 74° = 106° − величина каждого из двух других вертикальных углов.
Ответ: 74°, 106°, 74°, 106°.

Задание 144. На листе нелинованной бумаги проведите прямую k и отметьте точку C так, чтобы она:
а) лежала на прямой k;
б) не лежала на прямой k.
Перегибая лист бумаги, постройте прямую, перпендикулярную прямой k и проходящую через точку C.

Решение

Задание 145. Начертите на листе нелинованной бумаги две пересекающиеся прямые AB и CD. Точку пересечения прямых обозначьте буквой O. Постройте с помощью транспортира луч OK − биссектрису угла AOD. Проведите луч OM, дополняющий луч OK до прямой (рис. 2.8). Верно ли, что луч OM − биссектриса угла COB? Обоснуйте свой ответ.

Решение


Луч OM − биссектриса угла COB − верно.
∠AOD = ∠BOC − так как они вертикальные;
∠COM = ∠DOK − так как они вертикальные;
∠MOB = ∠AOK − так как они вертикальные;
∠AOD = ∠AOK + ∠KOD = ∠BOM + ∠COM = ∠COB;
∠AOK = ∠KOD = ∠BOM = ∠COM, значит, OM − биссектриса ∠COD.

Задание 146. 1) Рассмотрите рисунок 2.9: углы BOC и COA составляют развернутый угол, луч OM − биссектриса угла COB, луч ON − биссектриса угла AOC. Пусть ∠AOC = 40°. Чему равен угол между биссектрисами?
2) Решите эту же задачу при условии, что ∠AOC равен 60°; 82°.
3) Какое можно выдвинуть предположение на основе решения этих задач? Попробуйте обосновать свой вывод.

Решение

1) Так как ON − биссектриса ∠AOC, то ∠AON = ∠NOC = 40° : 2 = 20°;
∠BOC + ∠AOC = 180° − смежные углы;
∠BOC = 180° − ∠AOC = 180° − 40° = 140°;
т.к. OM − биссектриса ∠BOM, то ∠BOM = ∠MOC = 140° : 2 = 70°;
∠MON = ∠MOC + ∠CON = 70° + 20° = 90°.
Ответ: угол между биссектрисами равен 90°.

2) Если ∠AOC = 60°, то
∠AON = ∠NOC = 60° : 2 = 30°;
∠BOC + ∠AOC = 180° − смежные углы;
∠BOC = 180° − ∠AOC = 180° − 60° = 120°;
т.к. OM − биссектриса ∠BOM, то ∠BOM = ∠MOC = 120° : 2 = 60°;
∠MON = ∠MOC + ∠CON = 60° + 30° = 90°.

Если ∠AOC = 82°, то
∠AON = ∠NOC = 82° : 2 = 41°;
∠BOC + ∠AOC = 180° − смежные углы;
∠BOC = 180° − ∠AOC = 180° − 82° = 98°;
т.к. OM − биссектриса ∠BOM, то ∠BOM = ∠MOC = 98° : 2 = 49°;
∠MON = ∠MOC + ∠CON = 41° + 49° = 90°.
Ответ: угол между биссектрисами равен 90°

3) Угол между биссектрисами смежных углов равен 90°.
Сумма смежных углов равна 180°, биссектрисы углов делят каждый из углов пополам, а значит, угол между ними равен 180° : 2 = 90°.

Задание 147. Выполните действия:
а) $3\frac{2}{3} + \frac{2}{3}$;
б) $4\frac{1}{6} - 1\frac{1}{5}$;
в) $12 * \frac{5}{18}$;
г) $6 : 1\frac{1}{5}$.

Решение

а) $3\frac{2}{3} + \frac{2}{3} = 3\frac{4}{3} = 4\frac{1}{3}$

б) $4\frac{1}{6} - 1\frac{1}{5} = 4\frac{5}{30} - 1\frac{6}{30} = 3\frac{35}{30} - 1\frac{6}{30} = 2\frac{29}{30}$

в) $12 * \frac{5}{18} = 2 * \frac{5}{3} = \frac{10}{3} = 3\frac{1}{3}$

г) $6 : 1\frac{1}{5} = 6 : \frac{6}{5} = 6 * \frac{5}{6} = 5$