Задание 323

Как известно, перемножить непосредственно можно только два числа. Поэтому для вычисления произведения xyz (без изменения порядка множителей) в нем надо − хотя бы мысленно − поставить скобки, т.е. представить его как (xy)z или как x(yz). Итак, в выражении xyz можно поставить скобки двумя способами. А сколькими способами можно поставить скобки в выражении xyzt? Докажите, что при этом каждый раз будут получаться равные выражения.

Решение

xyzt = (xy)(zt) = x(yz)t = (xyz)t = x(yzt)

Задание 324

В выражениях 2 * 3 * 4 * 5 и 2 : 3 : 4 : 5 поставьте скобки всеми возможными способами и вычислите значения полученных выражений. Сделайте вывод.

Решение

2 * 3 * 4 * 5 = 120;
2 * (3 * 4 * 5) = 2 * 60 = 120;
2 * 3 * (4 * 5) = 6 * 20 = 120;
2 * (3 * 4) * 5 = 2 * 12 * 5 = 2 * 60 = 120;
(2 * 3) * 4 * 5 = 6 * 20 = 120;
(2 * 3 * 4) * 5 = 24 * 5 = 120.
Вывод:
2 * 3 * 4 * 5 = 2 * (3 * 4 * 5) = 2 * 3 * (4 * 5) = 2 * (3 * 4) * 5 = (2 * 3) * 4 * 5 = (2 * 3 * 4) * 5 = 120
В произведении нескольких чисел скобки можно составить любым способом, при этом результат не изменится.
$2:3:4:5=\frac23:4:5=\frac23\ast\frac14:5=\frac16:5=\frac16\ast\frac15=\frac1{30}$
$(2:3):4:5=\frac23:4:5=\frac23\ast\frac14:5=\frac16:5=\frac16\ast\frac15=\frac1{30}$
$(2:3:4):5=(\frac23:4):5=(\frac23\ast\frac14):5=\frac16:5=\frac16\ast\frac15=\frac1{30}$
$2:(3:4):5=2:\frac34:5=2\ast\frac43\ast\frac15=\frac83\ast\frac15=\frac8{15}$
$2:(3:4:5)=2:(\frac34:5)=2:(\frac34\ast\frac15)=2:\frac3{20}=2\ast\frac{20}3=\frac{40}3$
$2:3:(4:5)=\frac23:\frac45=\frac23\ast\frac54=\frac56$

Задание 325

Докажите, что x + (y + (z + (t + u))) = x + y + z + t + u.

Решение

x + (y + (z + (t + u))) = x + (y + (z + t + u)) = x + (y + z + t + u) = x + y + z + t + u − равенство доказано.

Дополнительные задания

Задание 326

Составьте сумму и разность выражений m + 0,1n и 2(m − 0,3n) и упростите их.

Решение

m + 0,1n + 2(m − 0,3n) = m + 0,1n + 2m − 0,6n = 3m − 0,5n;
m + 0,1n − 2(m − 0,3n) = m + 0,1n − 2m + 0,6n = −m + 0,7n.

Задание 327

Упростите выражение:
а) 5(x + 1,4y) − 0,8(2x + y);
б) 2/3(x − y + z)−(2/3 x − y + z);
в) −a + 0,5(3a + 0,2b) − (a + 0,1b);
г) −10(2/5 b + 1/2) + 3/4(8 − b) + 5b.

Решение

а) 5(x + 1,4y) − 0,8(2x + y) = 5x + 7y − 1,6x − 0,8y = 3,4x + 6,2y

б) $\frac23(x-y+z)-(\frac23x-y+z)=\frac23x-\frac23y+\frac23z-\frac23x+y-z=\frac13y-\frac13z$

в) −a + 0,5(3a + 0,2b) − (a + 0,1b) = −a + 1,5a + 0,1b − a − 0,1b = −0,5a

г) $-10(\frac25b+\frac12)+\frac34(8-b)+5b=-10\ast\frac25b-10\ast\frac12+\frac34\ast8+\frac34\ast(-b)+5b=-4b-5+6-\frac34b+5b=\frac14b+1$

Задание 328

Найдите значение выражения:
а) 3k + 0,5(1 − 6k) − (7 − 6k) при k = 0,05; k = −1,2;
б) x(y − 1) − y(x + 1) при x = 1, y=−2/3, x=−1/5, y = −0,6;
в) c(b + c) − b(a − c) + c(b − c) + ab при b = 0,3, c=−1/9; b = −0,25, c=−2/15.

Решение

а) 3k + 0,5(1 − 6k) − (7 − 6k) = 3k + 0,5 − 3k − 7 + 6k = 6k − 6,5
при k = 0,05:
6k − 6,5 = 6 * 0,05 − 6,5 = 0,3 − 6,5 = −6,2;
при k = −1,2:
6k − 6,5 = 6 * (−1,2) − 6,5 = −7,2 − 6,5 = −13,7.

б) x(y − 1) − y(x + 1) = xy − x − xy − y = −x − y
при x = 1, $y=-\frac23$
$-x-y=-1-(-\frac23)=-1+\frac23=-\frac13$
при $x=-\frac15$, y = −0,6:
$-x-y=-\frac15-(-0,6)=-\frac15+0,6=-0,2+0,6=0,4$

в) $c(b+c)-b(a-c)+c(b-c)+ab=bc+c^2-ab+bc+bc-c^2+ab=3bc$
при b = 0,3, $c=-\frac19$
$3bc=3\ast0,3\ast(-\frac19)=-0,1$
при b = −0,25, $c=-\frac2{15}$
$3bc=3\ast(-0,25)\ast(-\frac2{15})=0,75\ast(-\frac2{15})=\frac34\ast\frac2{15}=\frac1{10}$