Ответы к параграфу 3.5 Еще раз о законах алгебры

Задание 317

Верно ли, что (x − y)z = xz − yz?
Дайте истолкование этого равенства на "языке площадей".

Решение


(x − y)z = xz − yz − равенство верно.

Задание 318

Предложите какую−нибудь интерпретацию равенства − на "языке денег" или на "языке расстояний":
а) (x + z) − (y + z) = x − y;
б) x − (y − z + t) = x − y + z − t.

Решение

а) (x + z) − (y + z) = x − y
Турист планировал пройти x км, пройдя в первый день y км, тогда ему бы осталось пройти (x − y) км. Но он увеличил длину маршрута на z км и в первый день пошел на z км больше, чем планировал, тогда ему осталось пройти (x + z) − (y + z) км.

б) x − (y − z + t) = x − y + z − t
У брата было x рублей, а у сестры z рублей, тогда вместе них было x + z рублей. Брат купил книгу стоимостью y рублей, а сестра − блокнот, стоимостью t рублей, тогда у них осталось x − y + z − t рублей. Тогда y + t рублей стоила покупка, (y + t − z) рублей − не хватало на покупку у сестры, x − (y − z + t) − осталось у брата с сестрой вместе.

Задание 319

Как можно истолковать на "языке объемов" равенство
(xy)z = x(yz)?

Решение

Объем прямоугольного параллелепипеда с высотой z и сторонами основания x и y равна объему прямоугольного параллелепипеда с высотой x и сторонами основания y и z.

Задание 320

С помощью какого−либо "языка" дайте истолкование равенства
x : (yz) = (x : y) : z.

Решение

Пусть:
x − объем прямоугольного параллелепипеда,
y и z − стороны его основания;
yz − площадь основания (слоя), разделим прямоугольный параллелепипед на такие слои.
С другой стороны, прямоугольный параллелепипед можно сначала разрезать на y кубиков, объем которых равен (x : y), а затем каждый еще на z раз, получим объем каждого (x : y) : z.

Задание 321

Запишите равенство x + (y − x) = y, заменив знак "плюс" знаком умножения, а знак "минус" знаком деления − двоеточием или чертой дроби. Верно ли полученное равенство?

Решение

x + (y − x) = y
x * (y : x) = y
$x\ast\frac yx=y$ − равенство верно.

Задание 322

Запишите равенство (xy) : (zt) = (x : z)(y : t), заменив знак деления знаком "минус", а знак умножения знаком "плюс". Верно ли полученное равенство?

Решение

(xy) : (zt) = (x : z)(y : t)
(x + y) − (z + t) = (x − z) + (y − t)
x + y − z − t = x − z + y − t − равенство верно