Задание №727
Является ли тождеством равенство:
1) ( a − 1 )3 − 9 ( a − 1 ) = ( a − 1 ) ( a − 4 ) ( a + 2 );
2) ( x2 + 1 )2 − 4 x2 = ( x − 1 )2 ( x + 1 ) 2?
Решение:
1) ( a − 1 )3 − 9 ( a − 1 ) = ( a − 1 ) ( a − 4 ) ( a + 2 )
( a − 1 ) ( ( a − 1 )2 − 9 ) = ( a − 1 ) ( a − 4 ) ( a + 2 )
( a − 1 ) ( a − 1 − 3 ) ( a − 1 + 3 ) = ( a − 1 ) ( a − 4 ) ( a + 2 )
( a − 1 ) ( a − 4 ) ( a + 2 ) = ( a − 1 ) ( a − 4 ) ( a + 2 ), тождество верно.
2) ( x2 + 1 )2 − 4 x2 = ( x − 1 )2 ( x + 1 )2
( x2 + 1 )2 − ( 2 x )2 = ( x − 1 )2 ( x + 1 )2
( x2 + 1 − 2 x ) ( x2 + 1 + 2 x ) = ( x − 1 )2 ( x + 1 )2
( x2 − 2 x + 1 ) ( x2 + 2 x + 1 ) = ( x − 1 )2 ( x + 1 )2
( x − 1 )2 ( x + 1 )2 = ( x − 1 )2 ( x + 1 )2, тождество верно.
Задание №728
Докажите тождество:
1) ( a + 2 )3 − 25 ( a + 2 ) = ( a + 2 ) ( a + 7 ) ( a − 3 );
2) a2 + 2 a b + b2 − c2 + 2 c d − d2 = ( a + b + c − d ) ( a + b − c + d ).
Решение:
1) ( a + 2 )3 − 25 ( a + 2 ) = ( a + 2 ) ( a + 7 ) ( a − 3 )
( a + 2 ) ( ( a + 2 )2 − 25 ) = ( a + 2 ) ( a + 7 ) ( a − 3 )
( a + 2 ) ( a + 2 + 5 ) ( a + 2 − 5 ) = ( a + 2 ) ( a + 7 ) ( a − 3 )
( a + 2 ) ( a + 7 ) ( a − 3 ) = ( a + 2 ) ( a + 7 ) ( a − 3 ), тождество верно.
2) a2 + 2 a b + b2 − c2 + 2 c d − d2 = ( a + b + c − d ) ( a + b − c + d )
( a2 + 2 a b + b2 ) − ( c2 − 2 c d + d2 ) = ( a + b + c − d ) ( a + b − c + d )
( a + b )2 − ( c − d )2 = ( a + b + c − d ) ( a + b − c + d )
( a + b + c − d ) ( a + b − ( c − d ) ) = ( a + b + c − d ) ( a + b − c + d )
( a + b + c − d ) ( a + b − c + d ) = ( a + b + c − d ) ( a + b − c + d )
Задание №729
Разложите выражение на множители двумя способами:
а) примените формулу разности квадратов;
б) раскройте скобки и примените метод группировки:
1) ( a b + 1 )2 − ( a + b )2;
2) ( a + 2 b )2 − ( a b + 2 )2.
Решение:
1) а) по формуле разности квадратов:
( a b + 1 )2 − ( a + b )2 = ( a b + 1 − a − b ) ( a b + 1 + a + b )
б) метод группировки:
( a b + 1 )2 − ( a + b )2 = ( a2 b2 + 2 a b + 1 ) − ( a2 + 2 a b + b2 ) = a2 b2 + 2 a b + 1 − a2 − 2 a b − b2 = a2 b2 + 1 − a2 − b2 = ( a2 b2 − a2 ) − ( b2 − 1 ) = a2 ( b2 − 1 ) − ( b2 − 1 ) = ( b2 − 1 ) ( a2 − 1 ) = ( b − 1 ) ( b + 1 ) ( a − 1 ) ( a + 1 )
2) а) по формуле разности квадратов:
( a + 2 b )2 − ( a b + 2 )2 = ( a + 2 b − a b − 2 ) ( a + 2 b + a b + 2 )
б) метод группировки:
( a + 2 b )2 − ( a b + 2 )2 = a2 + 4 a b + 4 b2 − ( a2 b2 + 4 a b + 4 ) = a2 + 4 a b + 4 b2 − a2 b2 − 4 a b − 4 = a2 + 4 b2 − a2 b2 − 4 = ( a2 − a2 b2 ) + ( 4 b2 − 4 ) = ( a2 − a2 b2 ) − ( 4 − 4 b2 ) = a2 ( 1 − b2 ) − 4 ( 1 − b2 ) = ( 1 − b2 ) ( a2 − 4 ) = ( 1 − b ) ( 1 + b ) ( a − 2 ) ( a + 2 )
Задание №730
Представьте в виде куба двучлена выражение:
1) a 3 + 3 a2 + 3 a + 1;
2) b3 − 6 b2 + 12 b − 8.
Решение:
1) a3 + 3 a2 + 3 a + 1 = ( a + 1 )3
2) b3 − 6 b2 + 12 b − 8 = ( b − 2 )3
Задание №731
Докажите тождество:
1) ( a + b + c )3 − a3 − b3 − c3 = 3 ( a + b ) ( b + c ) ( a + c );
2) ( a − b )3 + ( b − c )3 − ( a − c )3 = − 3 ( a − b ) ( b − c ) ( a − c ).
Решение:
1) ( a + b + c )3 − a3 − b3 − c3 = 3 ( a + b ) ( b + c ) ( a + c )
( a + b + c )3 − a3 − b3 − c3 = ( ( a + b + c )3 − a3 ) − ( b3 + c3 ) = ( a + b + c − a ) ( ( a + b + c )2 + a ( a + b + c ) + a2 ) − ( b + c ) ( b2 − b c + c2 ) = ( b + c ) ( a2 + b2 + c2 + 2 a b + 2 a c + 2 b c + a2 + a b + a c + a2 − b2 + b c − c2 ) = ( b + c ) ( 3 a2 + 3 a b + 3 a c + 3 b c ) = 3 ( b + c ) ( a2 + a b + a c + b c ) = 3 ( b + c ) ( ( a2 + a b ) + ( a c + b c ) ) = 3 ( b + c ) ( a ( a + b ) + c ( a + b ) ) = 3 ( b + c ) ( a + b ) ( a + c ) = 3 ( a + b ) ( b + c ) ( a + c )
2) ( a − b )3 + ( b − c )3 − ( a − c )3 = − 3 ( a − b ) ( b − c ) ( a − c )
( a − b )3 + ( b − c )3 − ( a − c )3 = ( ( a − b )3 + ( b − c )3 ) − ( a − c )3 = ( a − b + b − c ) ( ( a − b )2 − ( a − b ) ( b − c ) + ( b − c )2 ) − ( a − c )3 = ( a − c ) ( a2 − 2 a b + b2 − ( a b − b2 − a c + b c ) + b2 − 2 b c + c2 ) − ( a − c )3 = ( a − c ) ( a2 − 2 a b + b2 − a b + b2 + a c − b c + b2 − 2 b c + c2 ) − ( a − c )3 = ( a − c ) ( a2 − 3 a b + 3 b2 − 3 b c + a c + c2 ) − ( a − c )3 = ( a − c ) ( a2 − 3 a b + 3 b2 − 3 b c + a c + c2 − ( a − c )2 ) = ( a − c ) ( a2 − 3 a b + 3 b2 − 3 b c + a c + c2 − ( a2 − 2 a c + c2 ) ) = ( a − c ) ( a2 − 3 a b + 3 b2 − 3 b c + a c + c2 − a2 + 2 a c − c2 ) = ( a − c ) ( − 3 a b + 3 b2 − 3 b c + 3 a c ) = − 3 ( a − c ) ( a b − b2 + b c − a c ) = − 3 ( a − c ) ( ( a b − b2 ) + ( b c − a c ) ) = − 3 ( a − c ) ( b ( a − b ) + c ( b − a ) ) = − 3 ( a − c ) ( b ( a − b ) − c ( a − b ) ) = − 3 ( a − c ) ( a − b ) ( b − c ) = − 3 ( a − b ) ( b − c ) ( a − c )
Задание №732
Разложите на множители выражение:
1) ( x − y ) ( x + y ) + 2 ( x + 3 y ) − 8;
2) ( 2 a − 3 b ) ( 2 a + 3 b ) − 4 ( a + 3 b ) − 3.
Решение:
1) ( x − y ) ( x + y ) + 2 ( x + 3 y ) − 8 = x2 − y2 + 2 x + 6 y − 8 = x2 − y2 + 2 x + 6 y − 9 + 1 = ( x2 + 2 x + 1 ) − ( y2 − 6 y + 9 ) = ( x + 1 )2 − ( y − 3 )2 = ( x + 1 − y + 3 ) ( x + 1 + y − 3 ) = ( x − y + 4 ) ( x + y − 2 )
2) ( 2 a − 3 b ) ( 2 a + 3 b ) − 4 ( a + 3 b ) − 3 = 4 a2 − 9 b2 − 4 a + 12 b − 3 = 4 a2 − 9 b2 − 4 a + 12 b − 4 + 1 = ( 4 a2 − 4 a + 1 ) − ( 9 b2 + 12 b + 4 ) = ( 2 a − 1 )2 − ( 3 b + 2 )2 = ( 2 a − 1 − 3 b − 2 ) ( 2 a − 1 + 3 b + 2 ) = ( 2 a − 3 b − 3 ) ( 2 a + 3 b + 1 )
Задание №733
Представьте в виде произведения выражения:
1) ( 5 x − y2 ) ( 5 x + y2 ) − 2 ( 15 x − 7 y2 ) − 40;
2) ( 3 m − 2 n ) ( 12 m + 5 n ) + 3 m ( 3 n + 4 ) − 2 ( 3 n2 − 20 n + 12 ).
Решение:
1) ( 5 x − y2 ) ( 5 x + y2 ) − 2 ( 15 x − 7 y2 ) − 40 = 25 x2 − y4 − 30 x + 14 y2 − 40 = 25 x2 − y4 − 30 x + 14 y2 − 49 + 9 = ( 25 x2 − 30 x + 9 ) − ( y4 − 14 y2 + 49 ) = ( 5 x − 3 )2 − ( y2 + 7 )2 = ( 5 x − 3 − y2 − 7 ) ( 5 x − 3 + y2 + 7 ) = ( 5 x − y2 − 10 ) ( 5 x + y2 + 4 )
2) ( 3 m − 2 n ) ( 12 m + 5 n ) + 3 m ( 3 n + 4 ) − 2 ( 3 n2 − 20 n + 12 ) = 36 m2 − 24 m n + 15 m n − 10 n2 + 9 m n + 12 m − 6 n2 + 40 n − 24 = 36 m2 − 16 n2 + 12 m + 40 n − 24 = 36 m2 − 16 n2 + 12 m + 40 n − 25 + 1 = ( 36 m2 + 12 m + 1 ) − ( 16 n2 − 40 n + 25 ) = ( 6 m + 1 )2 − ( 4 n − 5 )2 = ( 6 m + 1 − 4 n + 5 ) ( 6 m + 1 + 4 n − 5 ) = ( 6 m − 4 n + 6 ) ( 6 m + 4 n − 4 ) = 2 ( 3 m − 2 n + 3 )2 ( 3 m + 2 n − 2 ) = 4 ( 3 m − 2 n + 3 ) ( 3 m + 2 n − 2 )
Задание №734
Разложите на множители трехчлен, выделив предварительно квадрат двучлена:
1) x2 − 10 x + 24;
2) a2 + 4 a − 32;
3) b2 − 3 b − 4;
4) 4 a2 − 12 a + 5;
5) 9 x2 − 24 x y + 7 y2;
6) 36 m2 − 60 m n + 21 n2.
Решение:
1) x2 − 10 x + 24 = x2 − 10 x + 25 − 1 = ( x2 − 10 x + 25 ) − 1 = ( x − 5 )2 − 1 = ( x − 5 − 1 ) ( x − 5 + 1 ) = ( x − 6 ) ( x − 4 )
2) a2 + 4 a − 32 = a2 + 4 a − 36 + 4 = ( a2 + 4 a + 4 ) − 36 = ( a + 2 )2 − 62 = ( a + 2 − 6 ) ( a + 2 + 6 ) = ( a − 4 ) ( a + 8 )
3) b2 − 3 b − 4 = b2 − 3 b − 6.25 + 2, 25 = ( b2 − 3 b + 2, 25 ) − 6, 25 = ( b − 1, 5 )2 − 2, 52 = ( b − 1, 5 − 2, 5 ) ( b − 1, 5 + 2, 5 ) = ( b − 4 ) ( b + 1 )
4) 4 a2 − 12 a + 5 = 4 a2 − 12 a + 9 − 4 = ( 4 a2 − 12 a + 9 ) − 4 = ( 2 a − 3 )2 − 22 = ( 2 a − 3 − 2 ) ( 2 a − 3 + 2 ) = ( 2 a − 5 ) ( 2 a − 1 )
5) 9 x2 − 24 x y + 7 y2 = 9 x2 − 24 x y + 16 y2 − 9 y2 = ( 9 x2 − 24 x y + 16 y2 ) − 9 y2 = ( 3 x − 4 y )2 − ( 3 y )2 = ( 3 x − 4 y − 3 y ) ( 3 x − 4 y + 3 y ) = ( 3 x − 7 y ) ( 3 x − y )
6) 36 m2 − 60 m n + 21 n2 = 36 m2 − 60 m n + 25 n2 − 4 n2 = ( 36 m2 − 60 m n + 25 n2 ) − 4 n2 = ( 6 m − 5 n )2 − ( 2 n )2 = ( 6 m − 5 n − 2 n ) ( 6 m − 5 n + 2 n ) = ( 6 m − 7 n ) ( 6 m − 3 n ) = ( 6 m − 7 n )3 ( 2 m − n ) = 3 ( 6 m − 7 n ) ( 2 m − n )
Задание №735
Разложите на множители многочлен:
1) x2 − 4 x + 3;
2) a2 + 2 a − 24;
3) y2 + 12 y + 35;
4) x2 + x − 6;
5) c2 + 8 c d + 15 d2;
6) 9 x2 − 30 x y + 16 y2.
Решение:
1) x2 − 4 x + 3 = x2 − 4 x + 4 − 1 = ( x2 − 4 x + 4 ) − 1 = ( x − 2 )2 − 1 = ( x − 2 − 1 ) ( x − 2 + 1 ) = ( x − 3 ) ( x − 1 )
2) a2 + 2 a − 24 = a2 + 2 a − 25 + 1 = ( a2 + 2 a + 1 ) − 25 = ( a + 1 )2 − 52 = ( a + 1 − 5 ) ( a + 1 + 5 ) = ( a − 4 ) ( a + 6 )
3) y2 + 12 y + 35 = y2 + 12 y + 36 − 1 = ( y2 + 12 y + 36 ) − 1 = ( y + 6 )2 − 1 = ( y + 6 − 1 ) ( y + 6 + 1 ) = ( y + 5 ) ( y + 7 )
4) x2 + x − 6 = x2 + x − 6, 25 + 0, 25 = ( x2 + x + 0, 25 ) − 6, 25 = ( x + 0, 5 )2 − 2, 52 = ( x + 0, 5 − 2, 5 ) ( x + 0, 5 + 2, 5 ) = ( x − 2 ) ( x + 3 )
5) c2 + 8 c d + 15 d2 = c2 + 8 c d + 16 d2 − d2 = ( c2 + 8 c d + 16 d2 ) − d2 = ( c + 4 d )2 − d2 = ( c + 4 d − d ) ( c + 4 d + d ) = ( c + 3 d ) ( c + 5 d )
6) 9 x2 − 30 x y + 16 y2 = 9 x2 − 30 x y + 25 y2 − 9 y2 = ( 9 x2 − 30 x y + 25 y2 ) − 9 y2 = ( 3 x − 5 y )2 − ( 3 y )2 = ( 3 x − 5 y − 3 y ) ( 3 x − 5 y + 3 y ) = ( 3 x − 8 y ) ( 3 x − 2 y )
Задание №736
Значения переменных
x1 и x2 таковы, что выполняются равенства x1 − x2 = 8, x1 x2 = 5. Найдите значение выражения:
1) x1 x2 2 − x1 2 x2;
2) x1 2 + x2 2;
3) ( x1 + x2 )2;
4) x1 3 − x2 3.
Решение:
1) x1 x22 − x12 x2 = x1 x2 ( x2 − x1 ) = − x1 x2 ( x1 − x2 ) = − 5 ∗ 8 = − 40
2) x12 + x22 = x12 + x22 + 2 x1 x2 − 2 x1 x2 = ( x12 − 2 x1 x2 + x22 ) + 2 x1 x2 = ( x1 − x2 )2 + 2 x1 x2 = 82 + 2 ∗ 5 = 64 + 10 = 74
3) ( x1 + x2 )2 = x12 + 2 x1 x2 + x22 = x12 + 2 x1 x2 + x22 + 2 x1 x2 − 2 x1 x2 = ( x12 − 2 x1 x2 + x22 ) + 2 x1 x2 + 2 x1 x2 = ( x1 − x2 )2 + 4 x1 x2 = 82 + 4 ∗ 5 = 64 + 20 = 84
4) x13 − x23 = ( x1 − x2 ) ( x12 + x1 x2 + x22 ) = 8 ( x12 + 3 x1 x2 − 2 x1 x2 + x22 ) = 8 ( x12 − 2 x1 x2 + x22 ) + 8 ∗ 3 x1 x2 = 8 ( x1 − x2 )2 + 24 x1 x2 = 8 ∗ 82 + 24 ∗ 5 = 8 ∗ 64 + 120 = 512 + 120 = 632
Задание №737
Значения переменных x и y таковы, что выполняются равенства x + y = 6, xy = −3. Найдите значение выражения:
1) x 3 y2 + x2 y 3;
2) ( x − y )2;
3) x4 + y 4.
Решение:
1) x5 y2 + x2 y3 = x2 y2 ( x + y ) = ( x y )2 ( x + y ) = ( − 3 )2 ∗ 6 = 9 ∗ 6 = 54
2) ( x − y )2 = x2 − 2 x y + y2 = x2 − 2 x y + y2 − 2 x y + 2 x y = ( x2 + 2 x y + y2 ) − 2 x y − 2 x y = ( x + y )2 − 4 x y = 62 − 4 ∗ ( − 3 ) = 36 + 12 = 48
3) x4 + y4 = x4 + y4 + 2 x2 y2 − 2 x2 y2 = ( x4 + 2 x2 y2 + y4 ) − 2 x2 y2 = ( x2 + y2 )2 − 2 ( x y )2 = ( x2 + y2 )2 − 2 ( − 3 )2 = ( x2 + y2 )2 − 2 ∗ 9 = ( x2 + y2 )2 − 18 = ( x2 + y2 − 2 x y + 2 x y )2 − 18 = ( ( x2 + 2 x y + y2 ) − 2 x y )2 − 18 = ( ( x + y )2 − 2 x y )2 − 18 = ( 62 − 2 ∗ ( − 3 ) )2 − 18 = ( 36 + 6 )2 − 18 = 422 − 18 = 1764 − 18 = 1746
Задание №738
Докажите, что при любом натуральном n значение выражения
( 2 n − 1 )3 − 4 n2 + 2 n + 1 делится нацело на 16.
Решение:
( 2 n − 1 )3 − 4 n2 + 2 n + 1 = 8 n3 − 12 n2 + 6 n − 1 − 4 n2 + 2 n + 1 = 8 n3 − 16 n2 + 8 n = 8 n ( n2 − 2 n + 1 ) = 8 n ( n − 1 )2
8 − делится нацело на 8;
n ( n − 1 )2 − делится нацело на 2, так как среди чисел n и ( n − 1 )2 одно число обязательно четное, а другое нечетное, а произведение четного и нечетного чисел есть число четное.
Следовательно 8 n ( n − 1 )2 делится нацело на 16 = 8 * 2.
