Задание 1139

Является ли корнем уравнения 4(x + 6) = x + 9 число:
1) −3;
2) 0;
3) 2;
4) −5?

Решение

1) 4(−3 + 6) = −3 + 9
4 * 3 = 6
12 ≠ 6, следовательно x = −3 не является корнем уравнения.
Ответ: нет.

2) 4(0 + 6) = 0 + 9
4 * 6 = 9
12 ≠ 9, следовательно x = 0 не является корнем уравнения.
Ответ: нет.

3) 4(2 + 6) = 2 + 9
4 * 8 = 11
32 ≠ 11, следовательно x = 2 не является корнем уравнения.
Ответ: нет.

4) 4(−5 + 6) = −5 + 9
4 * 1 = 4
4 = 4, следовательно x = −5 является корнем уравнения.
Ответ: да.

Задание 1140

Является ли корнем уравнения $x^2$ = 2x + 3 число:
1) 3;
2) −2;
3) −1;
4) 4?

Решение

1) $3^2$ = 2 ∗ 3 + 3
9 = 6 + 3
9 = 9, следовательно x = 3 является корнем уравнения.
Ответ: да.

2) $(−2)^2$ = 2 ∗ (−2) + 3
4 = −4 + 3
4 ≠ −1, следовательно x = −2 не является корнем уравнения.
Ответ: нет.

3) $(−1)^2$ = 2 ∗ (−1) + 3
1 = −2 + 3
1 = 1, следовательно x = −1 является корнем уравнения.
Ответ: да.

4) $4^2$ = 2 ∗ 4 + 3
16 = 8 + 3
16 ≠ 11, следовательно x = 4 не является корнем уравнения.
Ответ: нет.

Задание 1141

Какие из приведенных уравнений имеют бесконечно много корней, а какие − не имеют корней:
1) 2x − 1 = 3;
2) 3x + 2 = 2;
3) x + 2 = x + 2;
4) 2x + 2 = 2(x + 1);
5) x + 2 = 3 + x;
6) 0 * x = 3?

Решение

1) 2x − 1 = 3
2x = 3 + 1
x = 4 : 2
x = 2, один корень.

2) 3x + 2 = 2
3x = 2 − 2
3x = 0
x = 0, один корень.

3) x + 2 = x + 2
x − x = 2 − 2
0 = 0, бесконечно много корней.

4) 2x + 2 = 2(x + 1)
2x + 2 = 2x + 2
2x − 2x = 2 − 2
0 = 0, бесконечно много корней.

5) x + 2 = 3 + x
x − x = 3 − 2
0 ≠ 1, не имеет корней.

6) 0 * x = 3
0 ≠ 3, не имеет корней.

Задание 1142

В стране Севентаун семь городов, каждый из которых соединен дорогами более чем с двумя городами. Докажите, что из любого города можно доехать до любого другого (возможно, проезжая через другие города).

Решение

Возьмем два города не соединенных между собой. Каждый из них соединен как минимум с тремя городам, тогда получается две отдельные друг от друга ветки по 4 города, то есть 4 + 4 = 8 городов, то невозможно по условию задачи. Значит хотя бы один город из этих двух веток является общим, а значит из любого города можно доехать до любого другого (возможно, проезжая через другие города).