Задание 288. Раскройте скобки:
а) a − (b − (c + 4));
б) x − (3 − (x + 6));
в) a − (a − (a − 10));
г) c − (c − (c − d)).
Решение
а) a − (b − (c + 4)) = a − (b − c − 4) = a − b + c + 4
б) x − (3 − (x + 6)) = x − (3 − x − 6) = x − 3 + x + 6 = 2x + 3
в) a − (a − (a − 10)) = a − (a − a + 10) = a − a + a − 10 = a − 10
г) c − (c − (c − d)) = c − (c − c + d) = c − c + c − d = c − d
Задание 289. Запишите выражения для вычисления площади фигуры (рис.3.9) сначала сложением площадей прямоугольников, а затем вычитанием. Покажите, как можно получить второе выражение из первого с помощью преобразований.
Решение от 7 гуру
S = b(a − c) + c(b − d)
S = ab − cd
b(a − c) + c(b − d) = ba − bc + cb − cd = ab − bc + bc − cd = ab − cd
Задание 290. а) Покажите, что скорость лодки по течению реки больше скорости лодки против течения на удвоенную скорость течения.
б) Покажите, что собственная скорость лодки равна половине суммы скорости движения лодки по течению реки и скорости ее движения против течения.
Решение
а) Пусть:
x (км/ч) − собственная скорость лодки;
y (км/ч) − скорость течения, тогда:
(x + y) (км/ч) − скорость лодки по течению;
(x − y) (км/ч) − скорость лодки против течения;
(x + y) − (x − y) = x + y − x + y = 2y (км/ч) − разность скоростей, что и требовалось доказать.
б) Пусть:
x (км/ч) − собственная скорость лодки;
y (км/ч) − скорость течения, тогда:
(x + y) (км/ч) − скорость лодки против течения;
(x − y) (км/ч) − скорость лодки против течения;
(x + y) + (x − y) = x + y + x − y = 2x (км/ч) − сумма скоростей;
$x = \frac{(x + y) + (x - y)}{2}$ (км/ч), что и требовалось доказать.
Задание 291. Пусть сумма трех последовательных натуральных чисел равна N. Найдите сумму трех следующих натуральных чисел.
Решение
Пусть:
n − первое число;
n + 1 − второе число;
n + 2 − третье число, тогда:
N = n + (n + 1) + (n + 2) = n + n + 1 + n + 2 = 3n + 3
Запишем следующие три последующие натуральные числа:
(n + 3), (n + 4), (n + 5), найдем их сумму:
(n + 3) + (n + 4) + (n + 5) = n + 3 + n + 4 + n + 5 = 3n + 12 = 3n + 3 + 9 = N + 9
Ответ: N + 9
Задание 292. Пусть сумма трех последовательных четных чисел равна A.
Найдите:
а) сумму трех следующих четных чисел;
б) сумму трех следующих нечетных чисел.
Решение
а) Пусть:
2n − первое четное число;
2n + 2 − второе четное число;
2n + 4 − третье четное число, тогда:
A = 2n + (2n + 2) + (2n + 4) = 2n + 2n + 2 + 2n + 4 = 6n + 6
Следующие 3 четных числа:
2n + 6 − четвертое четное число;
2n + 8 − пятое четное число;
2n + 10 − шестое четное число, тогда их сумма равна:
(2n + 6) + (2n + 8) + (2n + 10) = 2n + 6 + 2n + 8 + 2n + 10 = 6n + 24 = 6n + 6 + 18 = A + 18
Ответ: A + 18.
б) Пусть:
2n − первое четное число;
2n + 2 − второе четное число;
2n + 4 − третье четное число, тогда:
A = 2n + (2n + 2) + (2n + 4) = 2n + 2n + 2 + 2n + 4 = 6n + 6
Следующие 3 нечетных числа:
2n + 5 − первое следующее нечетное число;
2n + 7 − второе следующее нечетное число;
2n + 6 − третье следующее нечетное число, тогда их сумма равна:
(2n + 5) + (2n + 7) + (2n + 9) = 2n + 5 + 2n + 7 + 2n + 9 = 6n + 21 = 6n + 6 + 15 = A + 15
Ответ: A + 15.
Задание 293. 1) Выясните, делится ли сумма:
любых двух последовательных натуральных чисел на 2;
любых трех последовательных натуральных чисел на 3;
любых четырех последовательных натуральных чисел на 4;
любых пяти последовательных натуральных чисел на 5;
любых шести последовательных натуральных чисел на 6.
2) Установите закономерность и сформулируйте гипотезу о делимости суммы последовательных натуральных чисел на число слагаемых.
Подсказка.
Каждый шаг в п.1 сначала исследуйте на числовых примерах, а затем обоснуйте свой вывод с помощью букв. При этом вам придется вспомнить свойства делимости суммы.
Решение
1) Пусть даны 2 последовательных натуральных числа: 1 и 2, тогда их сумма:
(2 + 1) : 2 = 3 : 2 − не делится на 2.
Значит сумма двух последовательных натуральных чисел n и n + 1:
n + (n + 1) = n + n + 1 = 2n + 1 − нечетное число, не делится на 2.
Пусть даны 3 последовательных натуральных числа: 1, 2 и 3 тогда их сумма:
(1 + 2 + 3) : 3 = 6 : 3 = 2 − делится на 3.
Значит сумма трех последовательных натуральных чисел n, n + 1, n + 2:
n + (n + 1) + (n + 2) = n + n + 1 + n + 2 = 3n + 3 = 3(n + 3) − делится на 3.
Пусть даны 4 последовательных натуральных числа: 1, 2, 3 и 4 тогда их сумма:
(1 + 2 + 3 + 4) : 4 = 10 : 4 − не делится на 4.
Значит сумма четырех последовательных натуральных чисел n, n + 1, n + 2, n + 3:
n + (n + 1) + (n + 2) + (n + 3) = n + n + 1 + n + 2 + n + 3 = 4n + 6 = 4n + 4 + 2 = 4(n + 4) + 2 − не делится на 4.
Пусть даны 5 последовательных натуральных чисел: 1, 2, 3, 4 и 5 тогда их сумма:
(1 + 2 + 3 + 4 + 5) : 5 = 15 : 5 = 3 − делится на 5.
Значит сумма пяти последовательных натуральных чисел n, n + 1, n + 2, n + 3, n + 4:
n + (n + 1) + (n + 2) + (n + 3) + (n + 4) = n + n + 1 + n + 2 + n + 3 + n + 4 = 5n + 15 = 5(n + 3) − делится на 5.
Пусть даны 6 последовательных натуральных чисел: 1, 2, 3, 4, 5 и 6 тогда их сумма:
(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) : 6 = 21 : 6 − не делится на 6.
Значит сумма шести последовательных натуральных чисел n, n + 1, n + 2, n + 3, n + 4, n + 5:
n + (n + 1) + (n + 2) + (n + 3) + (n + 4) + (n + 5) = n + n + 1 + n + 2 + n + 3 + n + 4 + n + 5 = 6n + 21 = 6n + 18 + 3 = 6(n + 3) + 3 − не делится на 6.
2) Сумма n последовательных натуральных чисел делится на n, если n − нечетное число.
