Задание № 314

Докажите тождество:
1) 4 a 2 − ( 6 a 2 − 2 a b ) + ( 3 a b + 2 a 2 ) = 5 a b;
2) ( 9 x 6 − 4 x 3 ) − ( x 3 − 9 ) − ( 8 x 6 − 5 x 3 ) = x 6 + 9.

Решение:

1) $4a^2-(6a^2-2ab)+(3ab+2a^2)=4a^2-6a^2+2ab+3ab+2a^2=(4a^2-6a^2+2a^2)+(2ab+3ab)=0+5ab=5ab$

2) $(9x^6-4x^3)-(x^3-9)-(8x^6-5x^3)=9x^6-4x^3-x^3+9-8x^6+5x^3=(9x^6-8x^6)+(-4x^3-x^3+5x^3)+9=x^6+0+9=x^6+9$

Задание № 315

Найдите значение выражения:
1) ( 5 a 3 − 20 a 2 ) − ( 4 a 3 − 18 a 2 ), если a = −3;
2) 4 b 2 − ( 7 b 2 − 3 b c ) + ( 3 b 2 − 7 b c ), если b = −1,5, c = 4.

Решение:

1) $(5a^3-20a^2)-(4a^3-18a^2)=5a^3-20a^2-4a^3+18a^2=(5a^3-4a^3)+(-20a^2+18a^2)=a^3-2a^2=(-3)^3-2(-3)^2=-27-2\ast9=-27-18=-45$

2) $4b^2-(7b^2-3bc)+(3b^2-7bc)=4b^2-7b^2+3bc+3b^2-7bc=(4b^2-7b^2+3b^2)+(3bc-7bc)=0+-4bc=-4bc=-4\ast(-1,5)\ast4=24$

Задание № 316

Вычислите значение выражения:
1) ( 5,7 a 2 − 2,1 a b + b 2 ) − ( 3,9 a b − 0,3 a 2 + 2 b 2 ), если a = −1; b = 5;
2) ( 5 m 2 n − m 3 ) + 7 m 3 − ( 6 m 3 − 3 m 2 n ), если m = − 2/3 , n = 3/16.

Решение:

1) $(5,7a^2-2,1ab+b^2)-(3,9ab-0,3a^2+2b^2)=5,7a^2-2,1ab+b^2-3,9ab+0,3a^2-2b^2=(5,7a^2+0,3a^2)+(-2,1ab-3,9ab)+(b^2-2b^2)=6a^2-6ab-b^2=6\ast(-1)^2-6\ast(-1)\ast5-5^2=6\ast1+30-25=6+30-25=11$

2) $(5m^2n-m^3)+7m^3-(6m^3-3m^2n)=5m^2n-m^3+7m^3-6m^3+3m^2n=(5m^2n+3m^2n)+(-m^3+7m^3-6m^3)=8m^2n+0=8\ast(-\frac23)^2\ast\frac3{16}=8\ast\frac49\ast\frac3{16}=1\ast\frac23\ast\frac11=\frac23$

Задание № 317

Докажите, что значение выражения не зависит от значения переменной:
1) 1,6 − 7 a 2 − ( 0,8 − 4 a 2 ) + ( 3 a 2 − 0 , 7 );
2) 3 x 2 − 9 x − ( 8 − 5 x 2 − ( 9 x − 8 x 2 ) ).

Решение:

1) $1,6-7a^2-(0,8-4a^2)+(3a^2-0,7)=1,6-7a^2-0,8+4a^2+3a^2-0,7=(-7a^2+4a^2+3a^2)+(1,6-0,8-0,7)=0+0,1=0,1$
Значит, значение выражения не зависит от значения переменной.

2) $3x^2-9x-(8-5x^2-(9x-8x^2))=3x^2-9x-8+5x^2+9x-8x^2=(3x^2+5x^2-8x^2)+(-9x+9x)-8=0+0-8=-8$
Значит,  значение выражения не зависит от значения переменной.

Задание № 318

Докажите, что значение выражения

( 2 c 2 − 3 c ) + 1,8 − с 2 − ( с 2 − 3 c − 2,2 ) не зависит от значения переменной, входящей в него.

Решение:

$(2c^2-3c)+1,8-{\operatorname с}^2-({\operatorname с}^2-3c-2,2)=2c^2-3c+1,8-{\operatorname с}^2-{\operatorname с}^2+3c+2,2=(2c^2-{\operatorname с}^2-{\operatorname с}^2)+(-3c+3c)+(1,8+2,2)=0+0+4=4$
Значит,  значение выражения не зависит от значения переменной.

Задание № 319

Какой многочлен надо прибавить к трехчлену

2 a 2 − 5 a + 7, чтобы сумма была равна:
1) 5;
2) 0;
3) a 2;
4) −2a?

Решение:

1) ( 2 a2 − 5 a + 7 ) + ( ∗ ) = 5
( ∗ ) = 5 − ( 2 a2 − 5 a + 7 )
( ∗ ) = 5 − 2 a2 + 5 a − 7
( ∗ ) = − 2 a2 + 5 a − 2

2) ( 2 a2 − 5 a + 7 ) + ( ∗ ) = 0
( ∗ ) = 0 − ( 2 a2 − 5 a + 7 )
( ∗ ) = − 2 a2 + 5 a − 7

3) ( 2 a2 − 5 a + 7 ) + ( ∗ ) = a2
( ∗ ) = a2 − ( 2 a2 − 5 a + 7 )
( ∗ ) = a2 − 2 a2 + 5 a − 7
( ∗ ) = − a2 + 5 a − 7

4) ( 2 a 2 − 5 a + 7 ) + ( ∗ ) = − 2 a
( ∗ ) = − 2 a − ( 2 a2 − 5 a + 7 )
( ∗ ) = − 2 a − 2 a2 + 5 a − 7
( ∗ ) = − 2 a2 + 3 a − 7

Задание № 320

Какой многочлен надо вычесть из двучлена

4 a 3 − 8, чтобы разность была равна:
1) −4;
2) 9;
3) − 2 a 3;
4) 3a?

Решение:

1) ( 4 a3 − 8 ) − x = − 4
− x = − 4 − ( 4 a 3 − 8 )
x = ( 4 a3 − 8 ) + 4
x = 4 a3 − 8 + 4
x = 4 a3 − ( 8 − 4 )
x = 4 a3 − 4

2) ( 4 a3 − 8 ) − x = 9
− x = 9 − ( 4 a3 − 8 )
x = ( 4 a3 − 8 ) − 9
x = 4 a3 − 8 − 9
x = 4 a3 − ( 8 − 4 )
x = 4 a3 − 17

3) ( 4 a3 − 8 ) − x = − 2 a3
− x = − 2 a3 − ( 4 a3 − 8 )
x = 2 a3 + ( 4 a3 − 8 )
x = 2 a3 + 4 a3 − 8
x = ( 4 a3 + 2 a3 ) − 8
x = 6 a3 − 8

4) ( 4 a3 − 8 ) − x = 3 a
− x = 3 a − ( 4 a3 − 8 )
x = ( 4 a3 − 8 ) − 3 a
x = 4 a3 − 3 a − 8

Задание № 321

Вместо звездочки запишите такой многочлен, чтобы образовалось тождество:
1) ∗ − ( 3 x 2 − 4 x y + 2 y 2 ) = 9 x 2 + y 2;
2) a 3 − 6 a 2 + 2 a − ( ∗ ) = a 5 + 2 a 2 − 7.

Решение:

1) ∗ − ( 3 x2 − 4 x y + 2 y2 ) = 9 x2 + y2
∗ = 9 x2 + y2 + ( 3 x2 − 4 x y + 2 y2 )
∗ = 9 x2 + y2 + 3 x2 − 4 x y + 2 y2
∗ = ( 9 x2 + 3 x2 ) + ( y2 + 2 y2 ) − 4 x y
∗ = 12 x2 + 3 y2 − 4 x y

2) a3 − 6 a2 + 2 a − ( ∗ ) = a5 + 2 a2 − 7
− ( ∗ ) = ( a5 + 2 a2 − 7 ) − a3 + 6 a2 − 2 a
− ( ∗ ) = a5 + 2 a2 − 7 − a3 + 6 a2 − 2 a
( ∗ ) = − a5 − 2 a2 + 7 + a 3 − 6 a2 + 2 a
( ∗ ) = − a5 + ( − 2 a2 − 6 a2 ) + 7 + a3 + 2 a
( ∗ ) = − a5 − 8 a2 + 7 + a 3 + 2 a

Задание № 322

Вместо звездочки запишите такой многочлен, чтобы образовалось тождество:
1) ( 2 x 2 − 14 x + 9 ) + ( ∗ ) = 20 − 10 x;
2) ( 19 a 4 − 17 a 2 b + b 3 ) − ( ∗ ) = 20 a 4 + 5 a 2 b.

Решение:

1) ( 2 x2 − 14 + 9 ) + ( ∗ ) = 20 − 10 x
( ∗ ) = 20 − 10 x − ( 2 x2 − 14 x + 9 )
( ∗ ) = 20 − 10 x − 2 x2 + 14 x − 9
( ∗ ) = − 2 x2 + ( − 10 x + 14 x ) + ( 20 − 9 )
( ∗ ) = − 2 x2 + 4 x + 11

2) ( 19 a4 − 17 a2 b + b3 ) − ( ∗ ) = 20 a4 + 5 a2 b
− ( ∗ ) = 20 a4 + 5 a2 b − ( 19 a4 − 17 a2 b + b3 )
( ∗ ) = − 20 a4 − 5 a2 b + 19 a4 − 17 a2 b + b3
( ∗ ) = ( − 20 a4 + 19 a4 ) + ( − 5 a2 b − 17 a2 b ) + b3
( ∗ ) = − a4 − 22 a2 b + b3

Задание № 323

Вместо звездочки запишите такой многочлен, чтобы после приведения подобных членов полученный многочлен не содержал переменной a:
1) 4 a 2 − 3 a b + b + 8 + ∗;
2) 9 a 3 − 9 a + 7 a b 2 + b c + b m + ∗.

Решение:

1) ∗ = − ( 4 a2 − 3 a b ) = − 4 a2 + 3 a b, тогда:
4 a2 − 3 a b + b + 8 + ( − 4 a2 + 3 a b ) = 4 a2 − 3 a b + b + 8 − 4 a2 + 3 a b = ( 4 a2 − 4 a2 ) + ( 3 a b − 3 a b ) + b + 8 = b + 8

2) ∗ = − ( 9 a3 − 9 a + 7 a b2 ) = − 9 a3 + 9 a − 7 a b2, тогда:
9 a3 − 9 a + 7 a b2 + b c + b m + ( − 9 a3 + 9 a − 7 a b2 ) = 9 a3 − 9 a + 7 a b2 + b c + b m − 9 a3 + 9 a − 7 a b2 = ( 9 a3 − 9 a3 ) + ( 9 a − 9 a ) + ( 7 a b2 − 7 a b2 ) + b c + b m = b c + b m

Задание № 324

Вместо звездочки запишите такой многочлен, чтобы после приведения подобных членов полученный многочлен

3 x 2 + 5 x 2 y + 7 x − 8 y + 15 + ∗ не содержал:
1) членов с x 2;
2) членов с переменной x;
3) членов с переменной y.

Решение:

1) ∗ = − ( 3 x2 + 5 x2 y ) = − 3 x2 − 5 x2 y, тогда:
$3x^2+5x^2y+7x-8y+15+(-3x^2-5x^2y)=3x^2+5x^2y+7x-8y+15-3x^2-5x^2y=(3x^2-3x^2)+(5x^2y-5x^2y)+7x-8y+15=7x-8y+15$

2) ∗ = − ( 3 x2 + 5 x2 y + 7 x ) = − 3 x2 − 5 x2 y − 7 x, тогда:
$3x^2+5x^2y+7x-8y+15+(-3x^2-5x^2y-7x)=(3x^2-3x^2)+(5x^2y-5x^2y)+(7x-7x)-8y+15=-8y+15$

3) ∗ = − ( 5 x2 y − 8 y ) = − 5 x2 y + 8 y, тогда:
$3x^2+5x^2y+7x-8y+15+(-5x^2y+8y)=3x^2+5x^2y+7x-8y+15-5x^2y+8y=3x^2+(5x^2y-5x^2y)+(8y-8y)+7x+15=3x^2+7x+15$