Задание № 294

Найдите значение многочлена

2 y 3 − 3 y 2 + 4 y − 6 при:
1) y = 1;
2) y = 0;
3) y = −5.

Решение:

2 y3 − 3 y2 + 4 y − 6 = y ( 2 y2 − 3 y + 4 ) − 6 

1) При у = 1
1 ( 2 ∗ 12 − 3 ∗ 1 + 4 ) − 6 = 1 ∗ ( 2 − 3 + 4 ) − 6 = 1 ∗ 3 − 6 = − 3

2) При у = 0
0 ( 2 ∗ 02 − 3 ∗ 0 + 4 ) − 6 = 0 − 6 = − 6

3) При у = -5
− 5 ( 2 ∗ ( − 5 )2 − 3 ∗ ( − 5 ) + 4 ) − 6 = − 5 ∗ ( 50 + 15 + 4 ) − 6 = − 5 ∗ 69 − 6 = − 351

Задание № 295

Преобразуйте выражение в многочлен стандартного вида. Укажите его степень:
1) 4 b 2 + a 2 + 9 a b − 18 b 2 − 9 a b;
2) 8 m 3 − 13 m n − 9 n 2 − 8 m 3 − 2 m n;
3) 2 a 2 b − 7 a b 2 − 3 a 2 b + 2 a b 2;
4) 0,9 с 4 + 1,1 с 2 + с 4 − 0,6 с 2;
5) 3 x 2 + 6 x − 5 − x 2 − 10 x + 3;
6) b 3 − 3 b c + 3 b 3 + 8 b c − 4 b 3.

Решение:

1) $4b^2+a^2+9ab-18b^2-9ab=a^2+(9ab-9ab)+(4b^2-18b^2)=a^2-14b^2$
Степенью многочлена является число 2.

2) $8m^3-13mn-9n^2-8m^3-2mn=(8m^3-8m^3)+(-13mn-2mn)-9n^2=0+(-15mn)-9n^2=-15mn-9n^2$
Степенью многочлена является число 2.

3) $2a^2b-7ab^2-3a^2b+2ab^2=(2a^2b-3a^2b)+(-7ab^2+2ab^2)=-a^2b+(-5ab^2)=-a^2b-5ab^2$
Степенью многочлена является число 2.

4) $0,9{\operatorname с}^4+1,1{\operatorname с}^2+{\operatorname с}^4-0,6{\operatorname с}^2=(0,9{\operatorname с}^4+{\operatorname с}^4)+(1,1{\operatorname с}^2-0,6{\operatorname с}^2)=1,9{\operatorname с}^4+0,5{\operatorname с}^2$
Степенью многочлена является число 4.

5) $3x^2+6x-5-x^2-10x+3=(3x^2-x^2)+(6x-10x)+(-5+3)=2x^2+(-4x)+(-2)=2x^2-4x-2$
Степенью многочлена является число 2.

6) $b^3-3bc+3b^3+8bc-4b^3=(b^3+3b^3-4b^3)+(-3bc+8bc)=0+5bc=5bc$
Степенью многочлена является число 1.

Задание № 296

Преобразуйте выражение в многочлен стандартного вида. Укажите его степень:
1) 5 x 2 − 10 x + 9 − 2 x 2 + 14 x − 20;
2) − m 5 + 2 m 4 − 6 m 5 + 12 m 3 − 18 m 3;
3) 0,2 a 3 + 1,4 a 2 − 2,2 − 0,9 a 3 + 1,8 a 2 + 3;
4) 6 x 2 y − x y 2 − 8 x 2 y + 2 x y 2 − x y + 7.

Решение:

1) $5x^2-10x+9-2x^2+14x-20=(5x^2-2x^2)+(-10x+14x)+(9-20)=3x^2+4x-11$
Степенью многочлена является число 2.

2) $-m^5+2m^4-6m^5+12m^3-18m^3=(-m^5-6m^5)+(12m^3-18m^3)+2m^4=-7m^5-6m^3+2m^4$
Степенью многочлена является число 5.

3) $0,2a^3+1,4a^2-2,2-0,9a^3+1,8a^2+3=(0,2a^3-0,9a^3)+(1,4a^2+1,8a^2)+(-2,2+3)=-0,7a^3+3,2a^2+0,8$
Степенью многочлена является число 3.

4) $6x^2y-xy^2-8x^2y+2xy^2-xy+7=(6x^2y-8x^2y)+(-xy^2+2xy^2)-xy+7=-2x^2y+xy^2-xy+7$
Степенью многочлена является число 2.

Задание № 297

Приведите подобные члены и найдите значение многочлена при указанных значениях переменных:
1) − 3 a 5 + 4 a 3 + 7 a 5 − 10 a 3 + 12 a, если a = −2;
2) x 3 y − 3 x y 2 − 4 x 3 y + 8 x y 2, если x = −1; y = −3;
3) 0,8 x 2 − 0,3 x − x 2 + 1,6 + 1 , 1 x − 0 , 6, если x = 5;
4) 1/3 a 2 c + 3/4 a c 2 + 1/6 a 2 c + 1,25 a c 2, если a = −4; c = 3.

Решение:

1) $-3a^5+4a^3+7a^5-10a^3+12a=(-3a^5+7a^5)+(4a^3-10a^3)+12a=4a^5-6a^3+12a=4\ast(-2)^5-6\ast(-2)^3+12\ast(-2)=4\ast(-32)-6\ast(-8)-24=-128+48-24=-104$

2) $x^3y-3xy^2-4x^3y+8xy^2=(x^3y-4x^3y)+(-3xy^2+8xy^2)=-3x^3y+5xy^2=-3\ast(-1)^3\ast(-3)+5\ast(-1)\ast(-3)^2=-3\ast(-1)\ast(-3)+5\ast(-1)\ast9=-9-45=-54$

3) $0,8x^2-0,3x-x^2+1,6+1,1x-0,6=(0,8x^2-x^2)+(-0,3x+1,1x)+(1,6-0,6)=-0,2x^2+0,8x+1=-0,2\ast5^2+0,8\ast5+1=-0,2\ast25+4+1=-5+5=0$

4) $\frac13a^2c+\frac34ac^2+\frac16a^2c+1,25ac^2=(\frac13a^2c+\frac16a^2c)+(\frac34ac^2+1,25ac^2)=(\frac26a^2c+\frac16a^2c)+(0,75ac^2+1,25ac^2)=\frac12a^2c+2ac^2=0,5a^2c+2ac^2=0,5\ast(-4)^2\ast3+2\ast(-4)\ast3^2=0,5\ast16\ast3+(-8)\ast9=24-72=-48$

Задание № 298

Приведите подобные члены и найдите значение многочлена при указанных значениях переменных:
1) 2 a 3 + 3 a b − b 2 − 6 a 3 − 7 a b + 2 b 2, если a = 2; b = −6;
2) m n − 6 m n 2 − 8 m n − 6 m n 2, если m = 0,5; n = −2;
3) 10 x y 2 − 12 x 2 y + 9 x 2 y − 9 x y 2, если x = 1/3 , y = 9.

Решение:

1) $2a^3+3ab-b^2-6a^3-7ab+2b^2=(2a^3-6a^3)+(3ab-7ab)+(-b^2+2b^2)=-4a^3-4ab+b^2=-4\ast2^3-4\ast2\ast(-6)+(-6)^2=-4\ast8+48+36=-32+84=52$

2) $mn-6mn^2-8mn-6mn^2=(-6mn^2-6mn^2)+(mn-8mn)=-12mn^2-7mn=-12\ast0,5\ast(-2)^2-7\ast0,5\ast(-2)=-6\ast4-7\ast(-1)=-24+7=-17$

3) $10xy^2-12x^2y+9x^2y-9xy^2=(10xy^2-9xy^2)+(-12x^2y+9x^2y)=xy^2-3x^2y=xy(y-3x)=(\frac13\ast9)(9-3\ast\frac13)=3\ast(9-1)=3\ast8=24$

Задание № 299

Из одночленов

4 a , − 3 a b , 7 a 2 , − 8 a 2 , 9 a b , 5 a выберите несколько и составьте из них:
1) многочлен стандартного вида;
2) многочлен, содержащий подобные члены;
3) два многочлена стандартного вида, использовав при этом все данные одночлены.

Решение:

1) 4 a − 3 a b + 7 a2

2) 4 a − 3 a b + 7 a2 − 8 a2 + 9 a b + 5 a

3) 4 a − 3 a b + 7 a2;
− 8 a2 + 9 a b + 5 a.

Задание № 300

Конфеты ценой 70 р. за кг смешали с конфетами ценой 95 р. за 1 кг и получили смесь ценой 80 р. за 1 кг. Какая масса конфет каждого вида содержится в 1 кг смеси?

Решение:

Пусть x кг - количество конфет по 70р. за кг, тогда (1 − х) кг количество в смеси конфет по 95р. за кг.;
70х рублей - стоимость конфет по 70 р. в смеси; 95(1 − х) = 95 − 95х рублей - стоимость конфет по 95 р. в смеси; а  смесь конфет весит 1 кг и стоит 80 р.
Составим уравнение:
70х + 95 − 95х = 80
−25х = 80 − 95
х = 15/25
х = 60/100
х = 0,6
Значит, 0,6 кг = 600 г - количество в смеси конфет по 70 р. за кг.
1 − 0,6 кг = 0,4 кг = 400 г - количество в смеси конфет по 95 р. за кг.
Ответ: 600 г и 400 г.

Задание № 301

На почте продаются 20 разных конвертов и 15 разных марок. Сколько существует вариантов приобретения конверта с маркой?

Решение:

Конверт можно выбрать 20 способами, а марку 15 способами, значит вариантов приобретения конверта с маркой
15 * 20 = 300 
Ответ: 300 вариантов.