Ответы к параграфу 8.4. Преобразование рациональных выражений
Задание 612
Запишите без отрицательных показателей степеней:
а) $a^{-1} + b^{-1}$;
б) $(a + b)^{-2}$;
в) $(a^{-2} - b^{-2})^{-1}$;
г) $(a + a^{-1})^{-1}$.
Решение
а) $a^{-1} + b^{-1} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{b + a}{ab} = \frac{a + b}{ab}$
б) $(a + b)^{-2} = \frac{1}{(a + b)^2}$
в) $(a^{-2} - b^{-2})^{-1} = \frac{1}{a^{-2} - b^{-2}} = \frac{1}{\frac{1}{a^2} - \frac{1}{b^2}} = \frac{1}{\frac{b^2 - a^2}{a^2b^2}} = \frac{a^2b^2}{b^2 - a^2}$
г) $(a + a^{-1})^{-1} = \frac{1}{a + a^{-1}} = \frac{1}{a + \frac{1}{a}} = \frac{1}{\frac{a^2 + 1}{a}} = \frac{a}{a^2 + 1}$.
Задание 613
Вычислите:
а) $5^{-1} + 10^{-1}$;
б) $(0,5 + 1)^{-2}$;
в) $(2^{-4} + 4^{-2})^{-1}$;
г) $(2 - 2^{-1})^{-1}$;
д) $3^{-1} + 9^{-1}$;
е) $(0,2 + 1)^{-1}$;
ж) $(4^{-2} - 4^{-3})^{-1}$;
з) $(3 - 3^{-1})^{-2}$.
Решение
а) $5^{-1} + 10^{-1} = \frac{1}{5} + \frac{1}{10} = \frac{2 + 1}{10} = \frac{3}{10}$
б) $(0,5 + 1)^{-2} = 1,5^{-2} = \frac{1}{1,5^2} = \frac{1}{2,25} = \frac{100}{225} = \frac{4}{9}$
в) $(2^{-4} + 4^{-2})^{-1} = (\frac{1}{2^4} + \frac{1}{4^2})^{-1} = (\frac{1}{16} + \frac{1}{16})^{-1} = (\frac{1}{8})^{-1} = 8$
г) $(2 - 2^{-1})^{-1} = (2 - \frac{1}{2})^{-1} = (1\frac{1}{2})^{-1} = (\frac{3}{2})^{-1} = \frac{2}{3}$
д) $3^{-1} + 9^{-1} = \frac{1}{3} + \frac{1}{9} = \frac{3 + 1}{9} = \frac{4}{9}$
е) $(0,2 + 1)^{-1} = 1,2^(-1) = (\frac{1}{1,2})^1 = \frac{10}{12} = \frac{5}{6}$
ж) $(4^{-2} - 4^{-3})^{-1} = (\frac{1}{4^2} - \frac{1}{4^3})^{-1} = (\frac{1}{16} - \frac{1}{64})^{-1} = (\frac{4 - 1}{64})^{-1} = (\frac{3}{64})^{-1} = \frac{64}{3} = 21\frac{1}{3}$
з) $(3 - 3^{-1})^{-2} = (3 - \frac{1}{3})^{-2} = (2\frac{2}{3})^{-2} = (\frac{8}{3})^{-2} = (\frac{3}{8})^2 = \frac{9}{64}$
Задание 614
Докажите, что верно равенство:
а) $(a^{-1} + b^{-1})^2 = a^{-2} + 2a^{-1}b^{-1} + b^{-2}$;
б) $(a^{-1} - b^{-1})^2 = a^{-2} - 2a^{-1}b^{-1} + b^{-2}$;
в) $(a^{-1} - b^{-1})(a^{-1} + b^{-1}) = a^{-2} - b^{-2}$;
г) $(a^{-1} - b^{-1})(a^{-2} + a^{-1}b^{-1} + b^{-2}) = a^{-3} - b^{-3}$;
д) г) $(a^{-1} + b^{-1})(a^{-2} - a^{-1}b^{-1} + b^{-2}) = a^{-3} + b^{-3}$.
Решение
а) $(a^{-1} + b^{-1})^2 = a^{-2} + 2a^{-1}b^{-1} + b^{-2}$
пусть $a^{-1} = x, b^{-1} = y$, тогда:
$(a^{-1} + b^{-1})^2 = (x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 = (a^{-1})^2 + 2a^{-1}b^{-1} + (b^{-1})^2 = a^{-2} + 2a^{-1}b^{-1} + b^{-2}$
Утверждение доказано.
б) $(a^{-1} - b^{-1})^2 = a^{-2} - 2a^{-1}b^{-1} + b^{-2}$
пусть $a^{-1} = x, b^{-1} = y$, тогда:
$(a^{-1} - b^{-1})^2 = (x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2 = (a^{-1})^2 - 2a^{-1}b^{-1} + (b^{-1})^2 = a^{-2} - 2a^{-1}b^{-1} + b^{-2}$
Утверждение доказано.
в) $(a^{-1} - b^{-1})(a^{-1} + b^{-1}) = a^{-2} - b^{-2}$
пусть $a^{-1} = x, b^{-1} = y$, тогда:
$(a^{-1} - b^{-1})(a^{-1} + b^{-1}) = (x - y)(x + y) = x^2 - y^2 = (a^{-1})^2 - (b^{-1})^2 = a^{-2} - b^{-2}$
Утверждение доказано.
г) $(a^{-1} - b^{-1})(a^{-2} + a^{-1}b^{-1} + b^{-2}) = a^{-3} - b^{-3}$
пусть $a^{-1} = x, b^{-1} = y$, тогда:
$(a^{-1} - b^{-1})(a^{-2} + a^{-1}b^{-1} + b^{-2}) = (x - y)(x^2 + xy + y^2) = x^3 - y^3 = (a^{-1})^3 - (b^{-1})^3 = a^{-3} - b^{-3}$
Утверждение доказано.
д) г) $(a^{-1} + b^{-1})(a^{-2} - a^{-1}b^{-1} + b^{-2}) = a^{-3} + b^{-3}$
пусть $a^{-1} = x, b^{-1} = y$, тогда:
$(a^{-1} + b^{-1})(a^{-2} - a^{-1}b^{-1} + b^{-2}) = (x + y)(x^2 - xy + y^2) = x^3 + y^3 = (a^{-1})^3 + (b^{-1})^3 = a^{-3} + b^{-3}$
Утверждение доказано.
Задание 615
Упростите выражение:
а) $\frac{a^{-2} - b^{-2}}{a^{-1} + b^{-1}}$;
б) $\frac{a^{-3} + b^{-3}}{a^{-1} + b^{-1}}$;
в) $\frac{a^{-3} - b^{-3}}{a^{-1} - b^{-1}}$;
г) $\frac{a^{-4} - b^{-4}}{a^{-2} + b^{-2}}$.
Решение
а) $\frac{a^{-2} - b^{-2}}{a^{-1} + b^{-1}} = \frac{(a^{-1})^2 - (b^{-1})^2}{a^{-1} + b^{-1}} = \frac{(a^{-1} - b^{-1})(a^{-1} + b^{-1})}{a^{-1} + b^{-1}} = a^{-1} - b^{-1}$
б) $\frac{a^{-3} + b^{-3}}{a^{-1} + b^{-1}} = \frac{(a^{-1})^3 + (b^{-1})^3}{a^{-1} + b^{-1}} = \frac{(a^{-1} + b^{-1})(a^{-2} - a^{-1}b^{-1} + b^{-2})}{a^{-1} + b^{-1}} = a^{-2} - a^{-1}b^{-1} + b^{-2}$
в) $\frac{a^{-3} - b^{-3}}{a^{-1} - b^{-1}} = \frac{(a^{-1})^3 - (b^{-1})^3}{a^{-1} - b^{-1}} = \frac{(a^{-1} - b^{-1})(a^{-2} + a^{-1}b^{-1} + b^{-2})}{a^{-1} - b^{-1}} = a^{-2} + a^{-1}b^{-1} + b^{-2}$
г) $\frac{a^{-4} - b^{-4}}{a^{-2} + b^{-2}} = \frac{(a^{-2})^2 - (b^{-2})^2}{a^{-2} + b^{-2}} = \frac{(a^{-2} - b^{-2})(a^{-2} + b^{-2})}{a^{-2} + b^{-2}} = a^{-2} + b^{-2}$
Задание 616
При каких значениях a и b равно 0 выражение:
а) $\frac{(a + 3)^2}{(a - 3)^{-2}} - \frac{(a - 3)^2}{(a + 3)^{-2}}$;
б) $(\frac{a + b}{a - b})^{7} - (\frac{a - b}{a + b})^{-7}$.
Решение
а) $\frac{(a + 3)^2}{(a - 3)^{-2}} - \frac{(a - 3)^2}{(a + 3)^{-2}} = (a + 3)^2(a - 3)^2 - (a - 3)^2(a + 3)^2 = 0$
a − 3 ≠ 0
a ≠ 3
a + 3 ≠ 0
a ≠ −3
Выражение равно 0 при любых значениях a, кроме a = 3 и a = −3.
б) $(\frac{a + b}{a - b})^{7} - (\frac{a - b}{a + b})^{-7} = (\frac{a + b}{a - b})^7 - (\frac{a + b}{a - b})^7 = 0$
a − b ≠ 0
a ≠ b
a + b ≠ 0
a ≠ −b
Выражение равно 0 при любых значениях a, кроме a = b и a = −b.
Задание 617
Упростите выражение:
а) $\frac{a^{-2} + 2a^{-1}b^{-1} + b^{-2}}{a^{-2} - b^{-2}}$;
б) $\frac{a^{-3} + b^{-3}}{a^{-2} - a^{-1}b^{-1} + b^{-2}}$;
в) $(\frac{a^3 - b^3}{a^3 + b^3})^5 * (\frac{a^3 - b^3}{a^3 + b^3})^{-5}$;
г) $(\frac{a^2 - a^2}{a^2 + a^{-2}})^7 : (\frac{a^2 + a^{-2}}{a^2 - a^{-2}})^{-7}$;
д) $\frac{\frac{1}{a^2} + \frac{2}{ab} + \frac{1}{b^2}}{\frac{1}{a^2} - \frac{1}{b^2}}$;
е) $\frac{\frac{1}{a^2} - \frac{2}{ab} + \frac{1}{b^2}}{\frac{1}{a^3} - \frac{3}{a^2b} + \frac{3}{ab^2} - \frac{1}{b^3}}$.
Решение
а) $\frac{a^{-2} + 2a^{-1}b^{-1} + b^{-2}}{a^{-2} - b^{-2}} = \frac{(a^{-1} + b^{-1})^2}{(a^{-1} - b^{-1})(a^{-1} + b^{-1})} = \frac{a^{-1} + b^{-1}}{a^{-1} - b^{-1}} = \frac{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}}{\frac{1}{a} - \frac{1}{b}} = \frac{\frac{b + a}{ab}}{\frac{b - a}{ab}} = \frac{b + a}{ab} * \frac{ab}{b - a} = \frac{b + a}{b - a}$
б) $\frac{a^{-3} + b^{-3}}{a^{-2} - a^{-1}b^{-1} + b^{-2}} = \frac{(a^{-1} + b^{-1})(a^{-2} - a^{-1}b^{-1} + b^{-2})}{a^{-2} - a^{-1}b^{-1} + b^{-2}} = a^{-1} + b^{-1} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{b + a}{ab}$
в) $(\frac{a^3 - b^3}{a^3 + b^3})^5 * (\frac{a^3 - b^3}{a^3 + b^3})^{-5} = (\frac{a^3 - b^3}{a^3 + b^3})^5 * (\frac{a^3 + b^3}{a^3 - b^3})^5 = (\frac{a^3 - b^3}{a^3 + b^3} * \frac{a^3 + b^3}{a^3 - b^3})^5 = 1^5 = 1$
г) $(\frac{a^2 - a^2}{a^2 + a^{-2}})^7 : (\frac{a^2 + a^{-2}}{a^2 - a^{-2}})^{-7} = (\frac{a^2 - a^{-2}}{a^2 + a^{-2}})^7 : (\frac{a^2 - a^{-2}}{a^2 - a^{-2}})^7 = (\frac{a^2 - a^{-2}}{a^2 + a^{-2}})^7 * (\frac{a^2 + a^{-2}}{a^2 - a^{-2}})^7 = (\frac{a^2 - a^{-2}}{a^2 + a^{-2}} * \frac{a^2 + a^{-2}}{a^2 - a^{-2}})^7 = 1^7 = 1$
д) $\frac{\frac{1}{a^2} + \frac{2}{ab} + \frac{1}{b^2}}{\frac{1}{a^2} - \frac{1}{b^2}} = \frac{\frac{b^2 + 2ab + a^2}{a^2b^2}}{\frac{b^2 - a^2}{a^2b^2}} = \frac{(b + a)^2}{a^2b^2} : \frac{(b - a)(b + a)}{a^2b^2} = \frac{(b + a)^2}{a^2b^2} * \frac{a^2b^2}{(b - a)(b + a)} = \frac{b + a}{b - a}$
е) $\frac{\frac{1}{a^2} - \frac{2}{ab} + \frac{1}{b^2}}{\frac{1}{a^3} - \frac{3}{a^2b} + \frac{3}{ab^2} - \frac{1}{b^3}} = \frac{\frac{b^2 - 2ab + a^2}{a^2b^2}}{\frac{b^3 - 3ab^2 + 3a^2b - a^3}{a^3b^3}} = \frac{(b - a)^2}{a^2b^2} : \frac{(b - a)^3}{a^3b^3} = \frac{(b - a)^2}{a^2b^2} * \frac{a^3b^3}{(b - a)^3} = \frac{ab}{b - a}$
