Ответы к параграфу 8.2. Свойства степени с целым показателем
Задание 585
а) По какому правилу умножают степени с целыми показателями одного и того же числа?
б) По какому правилу делят степени с целыми показателями одного и того же числа?
в) По какому правилу возводят в степень с целым показателем степень числа?
г) По какому правилу находят степень с целым показателем произведения двух чисел?
д) По какому правилу находят степень с целым показателем частного двух чисел?
Решение
а) При умножении степеней одного и того же числа показатели степеней складывают.
б) При делении степеней одного и того же числа показатели степеней вычитают.
в) При возведении степени числа в степень показатели степеней перемножают.
г) Степень произведения двух чисел равна произведению тех же степеней этих чисел.
д) Степень частного двух чисел равна частному тех же степеней этих чисел.
Задание 586
Представьте в виде степени с целым показателем:
а) $a^{-3} * b^{-3}$;
б) $7^2 * 2^{-3} * 7$.
Решение
а) $a^{-3} * b^{-3} = ab^{-3}$
б) $7^2 * 2^{-3} * 7 = 7^{2 + 1} * 2^{-3} = 7^3 * (\frac{1}{2})^3 = (7 * \frac{1}{2})^3 = (\frac{7}{2})^3 = (3\frac{1}{2})^3$
Задание 587
Представьте выражение в виде произведения степеней:
а) $(a^2b^{-5})^3$;
б) $(a^{-7}b^{2})^{-2}$;
в) $(a^{-3}b^{-5})^{-4}$.
Решение
а) $(a^2b^{-5})^3 = (a^2)^3 * (b^{-5})^3 = a^{2 * 3} * b^{-5 * 3} = a^6b^{-15}$
б) $(a^{-7}b^{2})^{-2} = (a^{-7})^{-2} * (b^2)^{-2} = a^{-7 * (-2)} * b^{2 * (-2)} = a^{14}b^{-4}$
в) $(a^{-3}b^{-5})^{-4} = (a^{-3})^{-4} * (b^{-5})^{-4} = a^{-3 * (-4)} * b^{-5 * (-4)} = a^{12}b^{20}$
Задание 588
Докажите, что если a ≠ 0 и m, n, k − целые числа, то:
а) $(a * b * c)^n = a^n * b^n * c^n$;
б) $a^m * a^n * a^k = a^{m + n + k}$;
в) $((a^m)^n)^k = a^{m * n * k}$.
Решение
а) $(a * b * c)^n = (a * b)^n * c^n = a^n * b^n * c^n$
утверждение доказано
б) $a^m * a^n * a^k = (a^m * a^n) * a^k = a^{m + n} * a^k = a^{m + n + k}$
утверждение доказано
в) $((a^m)^n)^k = (a^{mn})^k = a^{m * n * k}$
утверждение доказано
Задание 589
Запишите в виде степени с целым показателем, если a ≠ 0:
а) $2^3 * 2^4$;
б) $5 * 5^6$;
в) $4^3 * 4^2 * 4$;
г) $7^2 * 7 * 7^5$;
д) $3^6 * 3^7 * 3 * 3$;
е) $6^4 * 6^4 * 6^3 * 6^2$;
ж) $11^2 * 11^2 * 11^2$;
з) $9^3 * 9^6 * 9^2 * 9^4 * 9$.
Решение
а) $2^3 * 2^4 = 2^{3 + 4} = 2^7$
б) $5 * 5^6 = 5^{1 + 6} = 5^7$
в) $4^3 * 4^2 * 4 = 4^{3 + 2 + 1} = 4^{6}$
г) $7^2 * 7 * 7^5 = 7^{2 + 1 + 5} = 7^8$
д) $3^6 * 3^7 * 3 * 3 = 3^{6 + 7 + 1 + 1} = 3^{15}$
е) $6^4 * 6^4 * 6^3 * 6^2 = 6^{4 + 4 + 3 + 2} = 6^{13}$
ж) $11^2 * 11^2 * 11^2 = 11^{2 + 2 + 2} = 11^{6}$
з) $9^3 * 9^6 * 9^2 * 9^4 * 9 = 9^{3 + 6 + 2 + 4 + 1} = 9^{16}$
Задание 590
Запишите в виде степени с целым показателем, если a ≠ 0:
а) $a^5 * a^4$;
б) $a^3 * a^8$;
в) $a^{10} * a$;
г) $a * a^7$;
д) $a * a$;
е) $a * a^2 * a^3 * a^4$.
Решение
а) $a^5 * a^4 = a^{5 + 4} = a^9$
б) $a^3 * a^8 = a^{3 + 8} = a^{11}$
в) $a^{10} * a = a^{10 + 1} = a^{11}$
г) $a * a^7 = a^{1 + 7} = a^{8}$
д) $a * a = a^{1 + 1} = a^2$
е) $a * a^2 * a^3 * a^4 = a^{1 + 2 + 3 + 4} = a^{10}$
Задание 591
Запишите в виде степени с целым показателем, если a ≠ 0:
а) $2^5 : 2^4$;
б) $3^7 : 3^8$;
в) $5^9 : 5$;
г) $\frac{10^3}{10}$;
д) $\frac{5^7}{5^{13}}$;
е) $\frac{8^{12}}{8^{10}}$.
Решение
а) $2^5 : 2^4 = 2^{5 - 4} = 2^1$
б) $3^7 : 3^8 = 3^{7 - 8} = 3^{-1}$
в) $5^9 : 5 = 5^{9 - 1} = 5^8$
г) $\frac{10^3}{10} = 10^{3 - 1} = 10^2$
д) $\frac{5^7}{5^{13}} = 5^{7 - 13} = 5^{-6}$
е) $\frac{8^{12}}{8^{10}} = 8^{12 - 10} = 8^2$
Задание 592
Запишите в виде степени с целым показателем, если a ≠ 0:
а) $a^7 : a^3$;
б) $a^8 : a^{12}$;
в) $a^6 : a$;
г) $\frac{a^{12}}{a^4}$;
д) $\frac{a^{20}}{a^{22}}$;
е) $\frac{a^{20}}{a}$.
Решение
а) $a^7 : a^3 = a^{7 - 3} = a^{4}$
б) $a^8 : a^{12} = a^{8 - 12} = a^{-4}$
в) $a^6 : a = a^{6 - 1} = a^5$
г) $\frac{a^{12}}{a^4} = a^{12 - 4} = a^8$
д) $\frac{a^{20}}{a^{22}} = a^{20 - 22} = a^{-2}$
е) \frac{a^{20}}{a} = a^{20 − 1} = a^{19}$
Задание 593
Запишите в виде степени с целым показателем, если a ≠ 0:
а) $\frac{10^2}{12^2}$;
б) $\frac{4^3}{5^6}$;
в) $\frac{25^4}{7^8}$;
г) $\frac{(m^3)^4}{(a^4)^3}$;
д) $\frac{m^3m^5}{a^8}$;
е) $\frac{(n^6)^2}{a^{12}}$.
Решение
а) $\frac{10^2}{12^2} = (\frac{10}{12})^2$
б) $\frac{4^3}{5^6} = \frac{(2^2)^3}{5^6} = \frac{2^6}{5^6} = (\frac{2}{5})^6$
в) $\frac{25^4}{7^8} = \frac{(5^2)^4}{7^8} = \frac{5^8}{7^8} = (\frac{5}{7})^8$
г) $\frac{(m^3)^4}{(a^4)^3} = \frac{m^{12}}{a^{12}} = (\frac{m}{a})^{12}$
д) $\frac{m^3m^5}{a^8} = \frac{m^{3 + 5}}{a^8} = \frac{m^{8}}{a^8} = (\frac{m}{a})^{8}$
е) $\frac{(n^6)^2}{a^{12}} = \frac{n^{6 * 2}}{a^{12}} = \frac{n^{12}}{a^{12}} = (\frac{n}{a})^{12}$
Задание 594
Сравните:
а) $3^4$ и $4^3$;
б) $2^4$ и $4^2$;
в) $10^{20}$ и $20^{10}$;
г) $100^{200}$ и $200^{100}$;
д) $1999^{2000}$ и $1998^{1999}$.
Решение
а) $3^4 = (3^2)^2 = 9^2$
$4^3 = (2^2)^3 = (2^3)^2 = 8^2$
$9^2 > 8^2$
$3^4 > 4^3$
б) $4^2 = (2^2)^2 = 2^4$
$2^4 = 2^4$
$2^4 = 4^2$
в) $10^{20} = (10^2)^{10} = 100^{10}$
$100^{10} > 20^{10}$
$10^{20} > 20^{10}$
г) $100^{200} = (100^2)^{100} = 10000^{100}$
$10000^{100} > 200^{100}$
$100^{200} > 200^{100}$
д) сравним основания степени: 1999 > 1998
сравним показатели степени: 2000 > 1999
$1999^{2000} > 1998^{1999}$
Задание 595
Представьте в виде степени с основанием a^2:
а) $(a^5)^2$;
б) $(a^3)^4$;
в) $(a^6)^7$.
Решение
а) $(a^5)^2 = (a^2)^5$
б) $(a^3)^4 = (a^4)^3 = ((a^2)^2)^3 = (a^2)^6$
в) $(a^6)^7 = ((a^2)^3)^7 = (a^2)^{21}$
Задание 596
Представьте $a^50$ в виде степени с основанием:
а) $a^5$;
б) $a^2$;
в) $a^{10}$.
Решение
а) $a^{50} = (a^5)^{10}$
б) $a^{50} = (a^2)^25$
в) $a^{50} = (a^{10})^5$
Задание 597
Представьте в виде квадрата:
а) $a^4$;
б) $a^{20}$;
в) $a^{50}$.
Решение
а) $a^4 = (a^2)^2$
б) $a^{20} = (a^{10})^2$
в) $a^{50} = (a^{25})^2$
Задание 598
Разложите на два множителя хотя бы одним способом:
а) $7^{10}$;
б) $a^{6}$;
в) $(cd)^{7}$.
Решение
а) $7^{10} = 7^{9} * 7$
б) $a^{6} = a^3 * a^3$
в) $(cd)^{7} = c^7 * d^7$
Задание 599
Разложите на три множителя хотя бы одним способом:
а) $5^{6}$;
б) $b^{5}$;
в) $(ab)^{4}$.
Решение
а) $5^{6} = 5 * 5^2 * 5^3$
б) $b^{5} = b^2 * b^2 * b$
в) $(ab)^{4} = a^2 * a^2 * b^4$
