Задание № 1167
а) Два пешехода вышли из одного пункта в противоположных направлениях со скоростями 4 км/ч и 5 км/ч. Через сколько часов между ними будет 45 км?
б) Расстояние между городами равно 510 км. Два поезда вышли из этих городов одновременно навстречу друг другу со скоростями 80 км/ч и 90 км/ч. Через сколько часов они встретятся?
в) Через сколько часов после начала движения расстояние между поездами в предыдущей задаче составит 170 км?
г) Скорость моторной лодки по течению 38 км/ч, а против течения − 33 км/ч. Какова скорость течения реки?
д) Расстояние между пристанями, равное 40 км, моторная лодка прошла по течению за 2 1/2 ч, против течения − за 4 ч. Какова скорость течения реки?
Решение
а) 1) 4 + 5 = 9 (км/ч) − скорость удаления пешеходов;
2) 45 : 9 = 5 (ч) − время, через которое расстояние между ними станет 45 км.
Ответ: через 5 часов
б) 1) 80 + 90 = 170 (км/ч) − скорость сближения поездов;
2) 510 : 170 = 3 (ч) − время, через которое поезда встретятся.
Ответ: через 3 часа.
в) 1) 80 + 90 = 170 (км/ч) − скорость сближения поездов;
2) 170 : 170 = 1 (ч) − время, через которое расстояние между поездами станет 170 км.
Ответ: через 1 час.
г) 1) 38 − 33 = 5 (км/ч) − удвоенная скорость течения реки;
2) $5:2=\frac52=2\frac12$ (км/ч) − скорость течения реки.
Ответ: $2\frac12$ км/ч.
д) 1) $40:2\frac12=40\ast\frac25=16$ (км/ч) − скорость лодки по течению;
2) 40 : 4 = 10 (км/ч) − скорость лодки против течения;
3) (16 − 10) : 2 = 3 (км/ч) − скорость течения реки.
Ответ: 3 км/ч.
Задание № 1168
а) В классе 32 учащихся, 3/4 их числа учатся на "4" и "5". Сколько учащихся учится на "4" и "5"?
б) В классе 18 человек учатся без троек − это составляет 3/5 всех учащихся класса. Сколько учащихся в классе?
в) В классе 12 девочек и 16 мальчиков. Какую часть класса составляют девочки? Какую − мальчики?
Решение
а) $32\ast\frac34=8\ast3=24$ (учащихся) − учатся на "4" и "5"
Ответ: 24 учащихся.
б) $18:\frac35=18\ast\frac53=6\ast5=30$ (учащихся) − в классе.
Ответ: 30 учащихся
в) 1) 12 + 16 = 28 (учеников) − всего в классе;
2) $\frac{12}{28}=\frac37$ (класса) − составляют девочки;
3) $\frac{16}{28}=\frac47$ (класса) − составляют мальчики.
Ответ: 3/7 девочки, 4/7 мальчики.
Задание № 1169
а) первое слагаемое составляет 2/3 второго, а их сумма равна 45. Найдите слагаемые.
б) Первое слагаемое составляет 2/3 суммы и на 45 больше второго слагаемого. Найдите слагаемые.
в) Первое слагаемое равно 45, а второе составляет 2/3 суммы двух слагаемых. Найдите сумму.
г) Вычитаемое составляет 2/3 уменьшаемого, а их разность равна 45. Найдите уменьшаемое и вычитаемое.
Решение
а) Примем второе слагаемое за единицу, тогда:
1) $1+\frac23=1\frac23$ − сумма, равна 45;
2) $45:1\frac23=45:\frac53=45\ast\frac35=9\ast3=27$ − второе слагаемое;
3) 45 − 27 = 18 − первое слагаемое.
Ответ: 18 и 27.
б) Примем сумму за единицу, тогда:
1) $1-\frac23=\frac33-\frac23=\frac13$ − второе слагаемое;
2) $\frac23-\frac13=\frac13$ − разница между слагаемыми, равная 45;
3) $45:\frac13=45\ast3=135$ − сумма;
4) $135\ast\frac23=45\ast2=90$ − первое слагаемое;
5) 135 − 90 = 45 − второе слагаемое.
Ответ: 90 и 45
в) Примем сумму за единицу, тогда:
1) $1-\frac23=\frac13$ − первое слагаемое, равное 45;
2) $45:\frac13=45\ast3=135$ − сумма.
Ответ: 135.
г) Примем уменьшаемое за 1, тогда разность равна:
1) $1-\frac23=\frac13$ − разность, равная 45;
2) $45:\frac13=45\ast3=135$ − уменьшаемое;
3) 135 − 45 = 90 − вычитаемое.
Ответ: уменьшаемое 135, вычитаемое 90.
Задание № 1170
а) Из первого крана бак наполняется за 4 мин, а из второго − за 12 мин. За сколько минут наполнится бак, если открыть оба крана одновременно?
б) Грузовая машина проедет расстояние между городами за 60 мин, а легковая − за 40 мин. Через сколько минут встретятся машины, если выедут из этих городов одновременно навстречу друг другу?
в) Два пешехода вышли одновременно из пунктов A и B навстречу друг другу и встретились через 20 мин, а еще через 25 мин первый пешеход пришел в пункт B. Через сколько минут после встречи второй пешеход пришел в пункт A?
г) Если бы не было дырки в баке, то он наполнился бы из крана за 7 мин. Вся вода вытекает из полного бака за 56 мин. Определите, за сколько минут наполнится этот дырявый бак из того же крана? Считайте, что вода из бака вытекает равномерно.
Решение
а) Примем весь бак за единицу, тогда:
1) $1:4=\frac14$ (бака) − наполняет за 1 минуту первый кран;
2) $1:12=\frac1{12}$ (бака) − наполняет за 1 минуту второй кран;
3) $\frac14+\frac1{12}=\frac4{12}=\frac13$ (бака) − наполняют за минуту оба крана;
4) $1:\frac13=1\ast3=3$ (мин) − время, за которое заполнят бак оба крана.
Ответ: за 3 минуты.
б) 1) $1:60=\frac1{60}$ (пути) − проедет за 1 минуту грузовая машина;
2) $1:40=\frac1{40}$ (пути) − проедет за 1 минуту легковая машина;
3) $\frac1{60}+\frac1{40}=\frac{2+3}{120}=\frac5{120}=\frac1{24}$ (пути) − скорость сближения машин;
4) $1:\frac1{24}=1\ast24=24$ (мин) − время, через которое встретятся машины.
Ответ: через 24 минуты.
в) 1) 20 + 25 = 45 (мин) − время, за которое первый пешеход прошел AB;
Примем расстояние между A и B за единицу, тогда:
2) $1:20=\frac1{20}$ (пути/мин) − скорость сближения пешеходов;
3) $1:45=\frac1{45}$ (пути/мин) − скорость первого пешехода;
4) $\frac1{20}-\frac1{45}=\frac{9-4}{180}=\frac5{180}=\frac1{36}$ (пути/мин) − скорость второго пешехода;
5) $1:\frac1{36}=1\ast36=36$ (мин) − время, за которое второй пешеход проходит AB;
6) 36 − 20 = 16 (мин) − время, за которое второй пешеход пришел в пункт A после встречи.
Ответ: через 16 минут.
г) Примем объем бака за единицу, тогда:
1) $1:7=\frac17$ (бака) − наполняется за 1 минуту;
2) $1:56=\frac1{56}$ (бака) − вытекает за 1 минуту;
3) $\frac17-\frac1{56}=\frac7{56}=\frac18$ (бака) − наполняется за минуту с учетом дырки;
4) $1:\frac18=1\ast8=8$ (мин) − время наполнения дырявого бака.
Ответ: за 8 минут.