Задание 429

За два художественных альбома заплатили 344 р., причем один альбом стоил на 15% дороже, чем другой. Определите цену каждого альбома.

Решение

Пусть x (р.) − стоил дешевый альбом, тогда:
x + 0,15x = 1,15x (р.) − стоит дорогой альбом.
Так как, два альбома стоят 344 рубля, то:
x + 1,15x = 344
2,15x = 344
x = 344 : 2,15
x = 160 (р.) − стоил дешевый альбом;
1,15x = 1,15 * 160 = 184 (р.) − стоит дорогой альбом.
Ответ: 160 рублей и 184 рублей.

Задание 430

Фотоаппарат дороже фотопленки в 12 раз. Сколько стоит фотоаппарат и сколько фотопленка, если за 2 фотоаппарата и 6 фотопленок заплатили 2250 р.?

Решение

Пусть x (р.) − стоит фотопленка, тогда:
12x (р.) − стоит фотоаппарат.
Так как, за 2 фотоаппарата и 6 фотопленок заплатили 2250 р., то:
2 * 12x + 6x = 2250
24x + 6x = 2250
30x = 2250
x = 2250 : 30
x = 75 (р.) − стоит фотопленка;
12x = 12 * 75 = 900 (р.) − стоит фотоаппарат.
Ответ: 900 р. стоит фотоаппарат, 75 р. стоит фотопленка.

Задание 431

Несколько друзей хотят купить волейбольный мяч. Если каждый из них даст 20 р., то на покупку не хватит 40 р. Если же каждый даст 30 р., то у них останется 60 р. Сколько было друзей? Сколько стоит мяч?

Решение

Пусть x (друзей) − было всего, тогда:
20x + 40 (р.) − стоит мяч;
30x − 60 (р.) − стоит мяч.
Так как, стоимость мяча постоянна, то:
20x + 40 = 30x − 60
20x − 30x = −60 − 40
−10x = −100
x = 100 : 10
x = 10 (друзей) − было всего;
20x + 40 = 20 * 10 + 40 = 200 + 40 = 240 (р.) − стоит мяч.
Ответ: 10 друзей; 240 рублей.

Задание 432

В магазине смешали конфеты по 110 р. и по 150 р. за килограмм и получили смесь по 120 р. за килограмм. Сколько конфет того и другого сорта содержится в килограмме смеси?

Решение

Пусть x (г) − конфет было по 110 р., тогда:
1000 − x (г) − конфет было по 150 р.;
110x + 150(1000 − x) (р.) − стоимость смеси.
Так как, стоимость смеси 120 р. за 1 килограмм, то:
110x + 150(1000 − x) = 120 * 1000
110x + 150000 − 150x = 120000
−40x = 120000 − 150000
−40x = −30000
x = 30000 : 40
x = 750 (г) − конфет было по 110 р.;
1000 − x = 1000 − 750 = 250 (г) − конфет было по 150 р.
Ответ: 750 г по 110 р.; 250 г по 150 р.

Задание 433

Дима сказал: "Толя в 2 раза старше меня. В то же время я на 4 года младше Коли, а Коля на 4 года младше Толи". Сколько лет Диме?

Решение

Пусть x (лет) − Диме, тогда:
x + 4 (лет) − Коле;
x + 4 + 4 = x + 8 (лет) − Толе.
Так как, Толя в 2 раза старше Димы, и в то же время на 8 лет старше Димы, то:
2x = x + 8
2x − x = 8
x = 8 (лет) − Диме.
Ответ: 8 лет.

Задание 434

а) Антон младше своего брата на 4 года и в 5 раз младше своей матери. А его брат в 4 раза младше отца. Сколько лет каждому из братьев, если всем четверым вместе 86 лет?
б) Ольга младше своего мужа на 8 лет. Ее сын старше ее дочери на 5 лет и младше Ольги в 4 раза. Сколько лет каждому, если всем четверым вместе 73 года?

Решение

а) Пусть x (лет) − Антону, тогда:
x + 4 (лет) − брату;
5x (лет) − матери;
4(x + 4) (лет) − отцу.
Так как, всем вместе 86 лет, то:
x + x + 4 + 5x + 4(x + 4) = 86
2x + 4 + 5x + 4x + 16 = 86
11x = 86 − 4 − 16
11x = 66
x = 66 : 11
x = 6 (лет) − Антону;
x + 4 = 6 + 4 = 10 (лет) − брату.
Ответ: 6 и 10 лет.

б) Пусть x (лет) − дочери, тогда:
x + 5 (лет) − сыну;
4(x + 5) (лет) − Ольге;
4(x + 5) + 8 (лет) − мужу.
Так как, всем им вместе 73 года, то:
x + x + 5 + 4(x + 5) + 8 = 73
2x + 5 + 4x + 20 + 4x + 20 + 8 = 73
2x + 5 + 4x + 20 + 4x + 20 + 8 = 73
10x = 73 − 53
10x = 20
x = 20 : 10
x = 2 (года) − дочери;
x + 5 = 2 + 5 = 7 (лет) − сыну;
4(x + 5) = 4(2 + 5) = 4 * 7 = 28 (лет) − Ольге;
4(x + 5) + 8 = 4(2 + 5) + 8 = 28 + 8 = 36 (лет) − мужу.
Ответ: 2 года, 7 лет, 28 лет и 36 лет.

Задание 435

а) Брат старше сестры в 3 раза, а через 10 лет он будет старше сестры в 2 раза. Сколько лет брату, сколько сестре?
б) Отец старше сына на 24 года, а через 5 лет он будет старше сына в 4 раза. Сколько лет отцу, сколько сыну?

Решение

а) Пусть x (лет) − сейчас сестре, тогда:
3x (лет) − сейчас брату;
x + 10 (лет) − будет сестре;
3x + 10 (лет) − будет брату.
Так как, брат будет старше сестры в 2 раза, то:
3x + 10 = 2(x + 10)
3x + 10 = 2x + 20
3x − 2x = 20 − 10
x = 10 (лет) − сейчас сестре;
3x = 3 * 10 = 30 (лет) − сейчас брату.
Ответ: 10 лет сестре; 30 лет брату.

б) Пусть x (лет) − сейчас сыну, тогда:
x + 24 (лет) − сейчас отцу;
x + 5 (лет) − будет сыну;
x + 24 + 5 = x + 29 (лет) − будет отцу.
Так как, через 5 лет отец будет в 4 раза старше сына, то:
4(x + 5) = x + 29
4x + 20 = x + 29
4x − x = 29 − 20
3x = 9
x = 9 : 3
x = 3 (года) − сейчас сыну;
x + 24 = 3 + 24 = 27 (лет) − сейчас отцу.
Ответ: 3 года сыну, 27 лет отцу.

Ответы к теме Чему вы научились (после главы 4)

Это надо знать

1. Что называется корнем уравнения: Что значит "решить уравнение"?

Решение

Корнем уравнения называется число, при подстановке которого в уравнение получается второе числовое равенство.
Решить уравнение − это значит найти все его корни или доказать, что корней нет.

2. Сформулируйте два основных правила преобразования уравнений.

Решение

1) В уравнении можно перенести слагаемые из одной части в другую, изменив при этом его знак на противоположный.
2) Обе части уравнения можно умножить или разделить на одно и то же, не равное нулю число.

3. Опишите по шагам решение уравнения
5(x − 4) = 3x + 10.

Решение

5(x − 4) = 3x + 10
применяем распределительный закон:
5x − 20 = 3x + 10
переносим слагаемые с переменной x в левую часть, а без переменной − в правую часть уравнения, изменив при этом их знаки на противоположные:
5x − 3x = 10 + 20
решаем получившееся уравнение:
2x = 30
x = 30 : 2
x = 15

4. Какое уравнение называется линейным? Приведите пример линейного уравнения.

Решение

Уравнение вида ax = b, где a и b − числа a ≠ 0, x − переменная, называется линейным уравнением.
Например:
8x = 56

5. Разъясните суть алгебраического метода решения задач на примере следующей задачи:
"Ученик задумал число, умножил его на 4, из результата вычел 5 и получил удвоенное задуманное число. Какое число задумал ученик?"

Решение

Неизвестное задуманное число обозначим буквой x.
По условию задачи составим уравнение:
4x − 5 = 2x
Решаем уравнение:
4x − 2x = 5
2x = 5
x = 2,5 − задуманное число.