Задание 400
а) Существуют ли три последовательных четных числа, сумма которых равна 74?
б) Существует ли три последовательных нечетных числа, сумма которых равна 69?
Решение
а) Пусть 2n − первое четное число, тогда:
2n + 2 − второе четное число;
2n + 4 − третье четное число.
Так как, сумма трех последовательных четных чисел равна 74, то:
2n + (2n + 2) + (2n + 4) = 74
2n + 2n + 2 + 2n + 4 = 74
6n = 74 − 2 − 4
6n = 68
$n=68:6=\frac{68}6=\frac{34}3$
$2n=2\ast\frac{34}3=\frac{68}3$ − не является натуральным числом, значит таких чисел не существует.
Ответ: нет, не существует.
б) Пусть 2n + 1 − первое нечетное число, тогда:
2n + 3 − второе нечетное число;
2n + 5 − третье нечетное число.
Так как, сумма трех последовательных нечетных чисел равна 69, то:
(2n + 1) + (2n + 3) + (2n + 5) = 69
2n + 1 + 2n + 3 + 2n + 5 = 69
6n = 69 − 1 − 3 − 5
6n = 60
n = 60 : 6
n = 10
2n + 1 = 2 * 10 + 1 = 20 + 1 = 21 − первое нечетное число;
2n + 3 = 2 * 10 + 3 = 20 + 3 = 23 − второе нечетное число;
2n + 5 = 2 * 10 + 5 = 20 + 5 = 25 − третье нечетное число.
Ответ: да существуют, так как 21 + 23 + 25 = 69
Задание 401
а) В саду растут яблони, груши и сливы, всего 130 деревьев. Определите, сколько в саду деревьев каждого вида, если известно, что яблонь в 3 раза больше, чем груш, а слив на 10 больше, чем груш.
б) Купили карандаши, кисти и линейки, всего 43 штуки. Линеек купили на 7 штук меньше, чем кистей, и в 4 раза меньше, чем карандашей. Сколько купили карандашей, кистей и линеек в отдельности?
Решение
а) Пусть x (груш) − было в саду, тогда:
3x (яблонь) − было в саду;
x + 10 (слив) − было в саду.
Так как, всего в саду было 130 деревьев, то:
x + 3x + x + 10 = 130
5x = 130 − 10
5x = 120
x = 120 : 5
x = 24 (груши) − было в саду;
3x = 3 * 24 = 72 (яблони) − было в саду;
x + 10 = 24 + 10 = 34 (сливы) − было в саду.
Ответ: 24 груши, 72 яблони, 34 сливы.
б) Пусть x (линеек) − купили, тогда:
x + 7 (кистей) − купили;
4x (карандашей) − купили.
Так как, всего купили 43 предмета, то:
x + x + 7 + 4x = 43
6x = 43 − 7
6x = 36
x = 36 : 6
x = 6 (линеек) − купили;
x + 7 = 6 + 7 = 13 (кистей) − купили;
4x = 4 * 6 = 24 (карандаша) − купили.
Ответ: 6 линеек, 13 кистей, 24 карандаша.
Задание 402
а) Для трех аквариумов требуется 61 л воды. Первый аквариум вмещает воды в 1,5 раза больше, чем третий, а второй − на 5 л больше, чем третий. Сколько литров воды вмещает каждый аквариум?
б) Продавец разложил гречневую крупу в четыре пакета. В первый пакет он насыпал в 1,5 раза больше крупы, чем во второй, а еще в каждый из двух пакетов, т.е. в третий и четвертый, − на 0,5 кг больше, чем во второй. Сколько килограммов гречневой крупы в каждом пакете, если масса всех четырех пакетов вместе 14,5 кг?
Решение
а) Пусть x (л) − вмещает 3 аквариум, тогда:
1,5x (л) − вмещает 1 аквариум;
x + 5 (л) − вмещает 2 аквариум.
Так как, для трех аквариумов требуется 61 л воды, то:
x + 1,5x + x + 5 = 61
3,5x = 61 − 5
3,5x = 56
x = 56 : 3,5
x = 16 (л) − вмещает 3 аквариум;
1,5x = 1,5 * 16 = 24 (л) − вмещает 1 аквариум;
x + 5 = 16 + 5 = 21 (л) − вмещает 2 аквариум.
Ответ: 24 л, 21 л и 16 л.
б) Пусть x (кг) − было во 2 пакете, тогда:
1,5x (кг) − было в 1 пакете;
x + 0,5 (кг) − было в 3 пакете;
x + 0,5 (кг) − было в 4 пакете.
Так как, масса всех четырех пакетов вместе 14,5 кг, то:
x + 1,5x + x + 0,5 + x + 0,5 = 14,5
4,5x = 14,5 − 0,5 − 0,5
4,5x = 13,5
x = 13,5 : 4,5
x = 3 (кг) − было во 2 пакете;
1,5x = 1,5 * 3 = 4,5 (кг) − было в 1 пакете;
x + 0,5 = 3 + 0,5 = 3,5 (кг) − было в 3 пакете;
x + 0,5 = 3 + 0,5 = 3,5 (кг) − было в 4 пакете.
Ответ: 4,5 кг, 3 кг, 3,5 и 3,5 кг.
Задание 403
а) Из поселка в город одновременно выехали мотоциклист со скоростью 40 км/ч и велосипедист со скоростью 10 км/ч. Определите, какое время затратил на путь велосипедист, если известно, что он прибыл в город на 1,5 ч позже мотоциклиста.
б) Из туристического лагеря к станции вышел пешеход со скоростью 4 км/ч. Через час вслед за ним выехал велосипедист со скоростью 10 км/ч. Он приехал на станцию на 0,5 ч раньше пешехода. Определите расстояние от туристического лагеря до станции.
Решение
а) Пусть x (ч) − затратил на путь велосипедист, тогда:
x − 1,5 (ч) − затратил на путь мотоциклист;
10x (км) − проехал велосипедист;
40(x − 1,5) (км) − проехал мотоциклист.
Так как, и велосипедист и мотоциклист проехали одинаковое расстояние, то:
10x = 40(x − 1,5)
10x = 40x − 60
10x − 40x = −60
−30x = −60
x = 60 : 30
x = 2 (ч) − затратил на путь велосипедист.
Ответ: 2 часа.
б) Пусть x (ч) − был в пути пешеход, тогда:
x − 1 − 0,5 = x − 1,5 (ч) − был в пути велосипедист;
4x (км) − прошел пешеход;
10(x − 1,5) (км) − проехал велосипедист.
Так как, пешеход и велосипедист преодолели равное расстояние, то:
4x = 10(x − 1,5)
4x = 10x − 15
4x − 10x = −15
−6x = −15
x = 15 : 6
x = 2,5 (ч) − был в пути пешеход;
4x = 4 * 2,5 = 10 (км) − расстояние от туристического лагеря до станции.
Ответ: 10 км.
Задание 404
а) На одном и том же расстоянии маленький обруч делает 15 оборотов, а большой − 9 оборотов. Длина окружности маленького обруча на 2 м меньше длины окружности большого обруча. Определите длину окружности каждого обруча.
б) Длина окружности маленького обруча 3 м, а большого − 4 м. На одном и том же расстоянии маленький обруч делает на 10 оборотов больше, чем большой. Определите это расстояние.
Решение
а) Пусть x (м) − длина окружности маленького обруча, тогда:
x + 2 (м) − длина окружности большого обруча;
15x (м) − расстояние которое проделал маленький обруч;
9(x + 2) (м) − расстояние которое проделал большой обруч.
Так как, каждый обруч проделал одинаковое расстояние, то:
15x = 9(x + 2)
15x = 9x + 18
15x − 9x = 18
6x = 18
x = 18 : 6
x = 3 (м) − длина окружности маленького обруча;
x + 2 = 3 + 2 = 5 (м) − длина окружности большого обруча.
Ответ: 3 м и 5 м.
б) Пусть x (оборотов) − делает большой обруч, тогда:
x + 10 (оборотов) − делает маленький обруч;
4x (м) − расстояние, которое проделал большой обруч;
3(x + 10) (м) − расстояние, которое проделал маленький обруч.
Так как, каждый обруч проделал одинаковое расстояние, то:
4x = 3(x + 10)
4x = 3x + 30
4x − 3x = 30
x = 30 (оборотов) − делает большой обруч;
4x = 4 * 30 = 120 (м) − расстояние, которое проделал каждый обруч.
Ответ: 120 метров.
Задание 405
Провод длиной 9,9 м разрезали на две части. Определите длину каждой части, если известно, что:
а) одна из них на 20% короче другой;
б) одна из них на 20% длиннее другой.
Решение
а) 100% − 20% = 80% − от большей части составляет меньшая часть.
Пусть x (м) − длина большей части, тогда:
0,8x (м) − длина меньшей части.
Так как, длина всего провода 9,9 м, то:
x + 0,8x = 9,9
1,8x = 9,9
x = 9,9 : 1,8
x = 5,5 (м) − длина большей части;
0,8x = 0,8 * 5,5 = 4,4 (м) − длина меньшей части.
Ответ: 5,5 м и 4,4 м.
б) 100% + 20% = 120% − от первой части составляет вторая часть.
Пусть x (м) − длина меньшей части, тогда:
1,2x (м) − длина большей части.
Так как, длина всего провода 9,9 м, то:
x + 1,2x = 9,9
2,2x = 9,9
x = 9,9 : 2,2
x = 4,5 (м) − длина меньшей части;
1,2x = 1,2 * 4,5 = 5,4 (м) − длина большей части.
Ответ: 5,4 м и 4,5 м.