Задание 360. Воспользовавшись результатом предыдущего задание, определите, делится ли:
а) разность 77 − 49 на 7;
б) разность 99 − 23 на 11;
в) разность 220 − 85 на 10;
г) разность 3500 − 2700 на 100.
Решение
а) 77 − 49 = 7 * 11 − 7 * 7 = 7 * (11 − 7)
Ответ: делится на 7
б) 99 − 23 = 11 * 9 − 23
Ответ: не делится, т.к. 23 не делится на 11.
в) 220 − 85 = 10 * 22 − 85
Ответ: не делится, т.к. 85 не делится на 10.
г) 3500 − 2700 = 100 * 35 − 100 * 27 = 100 * (35 − 27)
Ответ: делится на 100.
Задание 361. а) Назовите четыре делителя суммы 5 * 29 + 5 * 17.
б) Назовите пять делителей разности 47 * 7 − 17 * 7.
Решение
а) 5 * 29 + 5 * 17 = 5 * (29 + 17) = 5 * 46 = 5 * (2 * 23)
Ответ: 2, 5, 23, 46
б) 41 * 7 − 17 * 7 = 7 * (41 − 17) = 7 * 24 = 7 * 2 * 12 = 7 * 2 * 3 * 4
Ответ: 2, 3, 4, 7, 12.
Задание 362. Известно, что каждое слагаемое в некоторой сумме делится на 16. Укажите еще несколько делителей этой суммы. Можно ли утверждать, что эта сумма не делится на 5?
Решение
$16 = 2 * 2 * 2 * 2 = 2 * 8 = 4 * 4$
Делители: 2, 4, 8.
Нельзя утверждать, делится ли эта сумма на 5, так как нам не сказано, что оно делится на какое−то число, кратное 5.
Задание 363. Докажите, что сумма:
а) двух четных чисел − четное число;
б) четного и нечетного чисел − нечетное число.
Решение
а) Если каждое из слагаемых делится на число, то и сумма делится на число. Так как слагаемые четные, то каждое из них делится на 2, а значит и сумма делится на 2, следовательно является четным числом.
б) Если каждое из слагаемых делится на число, то и сумма делится на число. Так как одно из слагаемых число нечетное, то оно не делится на 2, а значит и сумма не делится на 2, следовательно является нечетным числом.
Задание 364. Докажите, что значение данного выражения есть число составное:
а) $51^2 + 17$;
б) $11 + 22^2 + 33^3$.
Решение
а) $51^2 + 17 = (17 * 3)^2 + 17$
Сумма делится на 1, 17, и на значение выражения, поэтому значение данного выражения число составное.
б) $11 + 22^2 + 33^3 = 11 + (11 * 2)^2 + (11 * 3)^3$
Сумма делится на 1, 11, и на значение выражения, поэтому значение данного выражения число составное.
Задание 365. Не выполняя деления, докажите, что:
а) число 358 не делится на 17;
б) число 238 не делится на 22.
Подсказка.
Представьте рассматриваемое число в виде суммы двух слагаемых, одно из которых делится на указанное число.
Решение
а) 358 = 17 + 341
341 не делится на 17, значит число не делится на 17.
б) 238 = 22 + 216
216 не делится на 22, значит число не делится на 22.
Задание 366. Приведите контрпример для утверждения:
а) любое четное число имеет только четные делители;
б) любое нечетное число делится на 3.
Решение
а) делители числа 6: 1, 2, 3, 6;
делители числа 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12.
б) 7 не делится на 3;
13 не делится на 3;
Любое простое нечетное число больше трех не делится на 3.
Задание 367. Опровергните утверждение:
а) любой четырехугольник имеет прямой угол;
б) число диагоналей выпуклого пятиугольника равно трем.
Решение
Задание 368. Опровергните утверждение:
а) если сумма делится на некоторое число, то и каждое слагаемое делится на это число;
б) если произведение делится на некоторое число, то и какой−нибудь из входящих в него множителей делится на это число.
Решение
а) 7 + 5 = 12
12 делится на 2, а 7 и 5 не делятся на 2.
б) 2 * 6 = 12
12 делится на 4, а 2 и 6 не делятся на 4.
Задание 369. Какое из следующих утверждений неверно:
1) если число делится на 9, то оно делится на 3;
2) если число делится на 3, то оно делится на 9?
Верное утверждение обоснуйте, а неверное опровергните.
Решение
1) 9 = 3 * 3 − значит, если число делится на 9, оно делится на 3;
2) если число делится на 3, то оно не обязательно делится на 9, например:
6 делится на 3, но не делится на 9;
12 делится на 3, но не делится на 9.
Ответ: неверно второе утверждение.
Задание 370. Опровергните утверждение:
если при округлении числа получилось число с тремя нулями на конце, то округление выполняли до разряда тысяч.
Решение
Не обязательно, например:
7998 ≈ 8000 − округлено до десятков;
6952 ≈ 7000 − округлено до сотен.
