Ответы к теме Подведем итоги после главы 1
Задание 1. Сформулируйте основное свойство дроби. Опираясь на это свойство, приведите дробь $\frac{2}{3}$ к знаменателю 24; сократите дробь $\frac{98}{112}$.
Решение
Основное свойство дроби: если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же число, отличное от нуля, то получится дробь, равная данной.
$\frac{2}{3} = \frac{2 * 8}{3 * 8} = \frac{16}{24}$;
$\frac{98}{112} = \frac{7 * 14}{8 * 14} = \frac{7}{8}$.
Задание 2. Сформулируйте правила сложения и вычитания дробей; умножения дробей; деления дробей. Проиллюстрируйте эти правила на примерах вычисления значения выражений:
а) $\frac{7}{12} - \frac{5}{12}$;
б) $\frac{5}{9} + \frac{1}{6}$;
в) $\frac{5}{7} * \frac{14}{15}$;
г) $\frac{10}{21} : \frac{5}{6}$.
Правила
Чтобы найти сумму (или разность) дробей с одинаковыми знаменателями, нужно найти сумму (или разность) их числителей, а знаменатель оставить прежним.
$\frac{a}{c} + \frac{c}{b} = \frac{a + c}{b}$;
$\frac{a}{b} - \frac{c}{b} = \frac{a - c}{b}$.
Чтобы найти сумму (или разность) дробей с разными знаменателями, нужно сначала привести эти дроби к общему знаменателю, а затем воспользоваться правилом сложения дробей с одинаковыми знаменателями.
Чтобы умножить дробь на дробь, нужно перемножить числители дробей и их знаменатели и первое произведение записать в числителе, а второе − в знаменателе.
$\frac{a}{b} * \frac{c}{d} = \frac{a * c}{b * d}$.
Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй.
$\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} * \frac{d}{c} = \frac{a * d}{b * c}$
Решение
а) $\frac{7}{12} - \frac{5}{12} = \frac{7 - 5}{12} = \frac{2}{12} = \frac{2 * 1}{2 * 6} = \frac{1}{6}$
б) $\frac{5}{9} + \frac{1}{6} = \frac{5 * 2 + 1 * 3}{18} = \frac{13}{18}$
в) $\frac{5}{7} * \frac{14}{15} = \frac{1}{1} * \frac{2}{3} = \frac{2}{3}$
г) $\frac{10}{21} : \frac{5}{6} = \frac{10}{21} * \frac{6}{5} = \frac{2}{7} * \frac{2}{1} = \frac{4}{7}$
Задание 3. Вычислите произведение $24 * \frac{3}{8}$ и частное $\frac{5}{6} : 30$.
Решение
$24 * \frac{3}{8} = 3 * 3 = 9$;
$\frac{5}{6} : 30 = \frac{5}{6} * \frac{1}{30} = \frac{1}{6} * \frac{1}{6} = \frac{1}{36}$.
Задание 4. Определите порядок действий и найдите значение выражения
$(2 - \frac{7}{10}) : (\frac{5}{7} + \frac{3}{14})$.
Решение
$(2 - \frac{7}{10}) : (\frac{5}{7} + \frac{3}{14}) = (1\frac{10}{10} - \frac{7}{10}) : \frac{5 * 2 + 3}{14} = 1\frac{3}{10} : \frac{13}{14} = \frac{13}{10} * \frac{14}{13} = \frac{1}{5} * \frac{7}{1} = \frac{7}{5} = 1\frac{3}{5}$
Задание 5. Найдите разными способами значение выражения
$\frac{\frac{1}{4} + \frac{1}{2}}{3}$.
Решение
1) $\frac{\frac{1}{4} + \frac{1}{2}}{3} = \frac{\frac{1}{4} + \frac{2}{4}}{3} = \frac{\frac{3}{4}}{3} = \frac{3}{4} * \frac{1}{3} = \frac{1}{4}$;
2) $\frac{\frac{1}{4} + \frac{1}{2}}{3} = \frac{1}{4} * \frac{1}{3} + \frac{1}{2} * \frac{1}{3} = \frac{1}{12} + \frac{1}{6} = \frac{1 + 1 * 2}{12} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$
Задание 6. Расскажите, как найти дробь от числа; число по его дроби. Решите задачу: "На теплоходе 120 мест. Во время поездки пассажирами было занято $\frac{2}{5}$ всех мест. Сколько свободных мест оказалось на теплоходе?"
Решение
Чтобы найти дробь от числа, нужно число умножить на дробь. Чтобы найти число по его дроби, нужно значение дроби разделить на эту дробь.
1) $120 * \frac{2}{5} = 24 * 2 = 48$ (мест) − было занято;
2) 120 − 48 = 72 (места) − было свободно.
Ответ: 72 места.
Задание 7. Как узнать, какую часть одно число составляет от другого? Ответьте на вопрос задачи: "В учебнике 160 страниц. Какую часть учебника составляет глава, в которой 24 страниц?"
Решение
Чтобы узнать, какую часть одно число составляет от второго, нужно первое число разделить на второе.
$24 : 160 = \frac{24}{160} = \frac{3}{20}$ (учебника) − составляет глава.
Ответ: $\frac{3}{20}$ учебника
Задание 8. Что такое процент? Выразите дробью 17% 80%. Выразите в процентах $\frac{7}{100}$ стоимости товара; $\frac{33}{100}$ стоимости товара. Что больше: 46% или половина стоимости товара?
Решение
Процент − это сотая часть числа.
17% = $\frac{17}{100}$;
80% = $\frac{80}{100} = \frac{4}{5}$;
$\frac{7}{100}$ = 7% стоимости товара;
$\frac{33}{100}$ = 33% стоимости товара;
Половина = $\frac{1}{2} = \frac{50}{100}$ = 50% > 46%.
Задание 9. Решите задачу:
а) Из 200 участников конкурса 17% − дети. Каков процент взрослых в этом конкурсе? Сколько детей и сколько взрослых участвует в конкурсе?
б) Во время распродажи цену ботинок снизили на 30 %. Сколько стали стоить ботинки, цена которых до распродажи была 1200 р.?
Решение
а) 1) 200 : 100 = 2 (участника) − составляет 1%;
2) 2 * 17 = 34 (ребенка) − участвует в конкурсе;
3) 100% − 17% = 83% (участников) − составляют взрослые;
4) 200 − 34 = 166 (взрослых) − участвует в конкурсе.
Ответ: взрослых в конкурсе 83%; в конкурсе участвует 34 ребенка и 166 взрослых.
б) 1) 1200 : 100 = 12 (р.) − составляет 1%;
2) 12 * 30 = 360 (р.) − составляет скидка;
3) 1200 − 360 = 840 (р.) − стали стоить ботинки.
Ответ: 840 рублей.
Задание 10. Какие виды диаграмм вы знаете? Пользуясь диаграммой на рисунке 1.3, определите, машин каких заводов − ВАЗ или ГАЗ − было продано больше в апреле и на сколько.
Решение
Мы знаем столбчатые и круговые диаграммы.
120 (автомобилей) − ВАЗ было продано в апреле;
80 (автомобилей) − ГАЗ было продано в апреле.
120 − 80 = на 40 (автомобилей) − ВАЗ было продано в апреле больше, чем автомобилей ГАЗ.
Комментарии