ГДЗ Математика учебник 6 класс Мерзляк, Полонский, Якир 2021

Зеленый, внешне ничем не примечательный учебник математики, фамилии авторов которого ученики вспоминают с трудом, а это А.Г.Мерзляк, В.Б.Полонский, М.СЯкир. Кто учился по Мерзляку в пятом классе, как правило, учатся по нему и в шестом, и далее. Современный учебник, несколько упрощенная программа математики, никак не для изучения оной углубленно. Опять же, все темы "разжевываются", задания не сложные, на некоторые из них даны ответы в конце учебника, но они никак не заменят ГДЗ, поскольку решение там, естественно, не написано, а значит, если ученик шестого класса не понял, как решать то или иное задание, нужно разъяснить, а не сунуть ответ под нос. В нашем решебнике на 7 гуру учителя математики вам объяснят, как правильно выполнить задания и решить задачи из этого учебника. Все ГДЗ проверены, ответы только правильные.

Начинается учебник для шестого класса с повторения изученного ранее, признаков делимости чисел, далее очень плотно займемся нахождением НОД и НОК, научимся оперировать с дробями, приводить их к общему знаменателю и решать примеры. В третьей главе учебника математики, автор которого Мерзляк, рассмотрим отношения и пропорции, вспомним, как строить диаграммы. А последняя глава - рациональные числа. Будем много считать, а задач будет не очень много, жаль. Для вашего удобства весь решебник мы разбили на страницы точно так же, как это сделано в учебнике математики Мерзляк за шестой класс.

Если задания вызовут у вас затруднения или есть необходимость проверить себя по решебнику, милости просим на ГДЗ от 7 гуру!

Страница 6

Ответы к странице 6

Страница 9

Задание № 38. Выразите делимое через неполное частное, делитель и остаток в виде равенства a = bq + r, где a − делимое, b − делитель, q − неполное частное, r − остаток:
1) 83 : 7;
2) 171 : 17.

Решение

1) 83 : 7 = 11 * 7 + 6
2) 171 : 17 = 10 * 17 + 1

Задача от мудрой совы

Задача № 39. Сложите из шести спичек четыре равносторонних треугольника со стороной, равной длине одной спички.

Решение

Выкладываем на столе треугольник из 3-х спичек. Затем в каждый угол ставим по спичке и наклоняем их другим концом друг на друга. Получится треугольная пирамида. Её стороны - 4 треугольника.

11

Страница 11

Задание № 40. Заполните таблицу (поставьте знак "+" в случае утвердительно ответа или знак "−" в ином случае).

Задание № 41. Из чисел 34, 467, 435, 860, 648, 5465, 8216, 2405, 1020, 246370 выпишите те, которые делятся нацело:
1) на 2;
2) на 5;
3) на 10.

Решение

1) 34, 860, 648, 8216, 1020, 246370.
2) 435, 860, 5465, 2405, 1020, 246370.
3) 860, 1020, 246370.

Задание № 42. Какие из чисел 68, 395, 760, 943, 1270, 2625, 9042, 7121, 1734:
1) не делится нацело на 2;
2) кратны 10;
3) делятся нацело на 5, но не делятся нацело на 10?

1) Сумма двух натуральных чисел является нечетным числом. Четным или нечетным числом будет их произведение?
2) Сумма двух натуральных чисел является четным числом. Обязательно ли их произведение будет четным числом.

Ответы

1) Произведение будет четным.
2) Нет, не обязательно.

13

14

Страница 14

Задание № 69. По состоянию на 2008 год в России было 57 естественнонаучных и научно−технических музеев. Сколько всего музеев каждого из этих видов, если научно−технических музеев в 2 раза меньше, чем естественнонаучных?

Решение

Пусть научно−технических музеев х, тогда естественнонаучных 2х всего музеев всего музеев 57.
х + 2х = 57
3х = 57
х = 19 научно−технических музеев;
2х = 19 * 2 = 38 естественнонаучных музеев.

Задание № 70. По состоянию на 2008 год в России был 141 государственный природный заповедник и национальный парк. Сколько в России природных заповедников и сколько национальных парков, если заповедников на 61 больше, чем парков?

Решение

Пусть всего парков было х, тогда заповедников х + 61.
Составим уравнение:
х + (х + 61) = 141
2х = 141 − 61
х = 80 : 2 = 40 парков.
х + 61 = 40 + 61 = 101 заповедников.

Задание № 71. Выполните действия:
1) (69 * 0,63 − 10,098 : 5,4 − 20,54) : 0,324;
2) 0,98 * 3,8 − 0,132 : 5,5 − 2,45.

Ответ

(69 * 0,63 − 10,098 : 5,4 − 20,54) : 0,324 = (43,47 − 1,87 − 20,54) : 0,324 = 21,06 : 0,324 = 65
0,98 * 3,8 − 0,132 : 5,5 − 2,45 = 3,724 − 0,024 − 2,45 = 3,7 − 2,45 = 1,25

Записываем решение по действиям:

Задача от мудрой совы

Задание № 72. В клетках таблицы размером 3 Х 3 стоят нули. Разрешается выбрать любой квадрат размером 2 Х 2 клетки и увеличить числа во всех его клетках на единицу. Можно ли после нескольких таких операций получить таблицу, изображенную на рисунке 1?

4 6 5
7 18 9
6 10 7

Решение

В центре таблицы число 18, значит было произведено 18 операций.
Тогда сумма чисел по углам должна быть равна 18, а она равна 4 + 5 + 6 + 7 = 22.
Значит получить таблицу, изображенную на рисунке 1, нельзя.

15

Страница 15

Задание № 73. Заполните таблицу (поставьте знак "+" в случае утвердительного ответа или знак "−" в ином случае).

Задание № 74. Заполните таблицу (поставьте знак "+" в случае утвердительного ответа или знак "−" в ином случае).

Какую цифру можно поставить вместо звездочки в записи 627*, чтобы полученное число делилось нацело на 3, и на 5?

Ответ

Задание № 83

Какую цифру можно поставить вместо звездочки в записи 2185*, чтобы полученное число делилось нацело на 3, но не делилось нацело на 2?

Ответ

Какое наименьшее число надо прибавить к данному, чтобы получить число, кратное 9:
1) 1275;
2) 333;
3) 25718;
4) 987652;
5) 1020300;
6) 19191919191?

Ответ

1) 3
2) 9
3) 4
4) 8
5) 8
6) 3

17

Ответ

Число 2

24

Задание № 135. Найдите значение степени: 1) 3⁴ ; 2) 6² ; 3) 5³ ; 4) 2⁷ ; 5) 7³ ; 6) 11² .

Решение

3⁴ = 81
6² = 36
5³ = 75
2⁷ = 128
7³ = 343
11² = 121

Задание № 136. Из чисел 348, 975, 1026, 2531, 12120, 43674, 58121 выпишите те, которые делятся нацело:
1) на 2;
2) на 3;
3) на 5.

Решение

1) 348, 1026, 12120, 43674.
2) 348, 975, 1026, 12120, 43674.
3) 975, 12120.

Задача от мудрой совы

Задание № 137. Шахматный конь начинает свой маршрут в левом нижнем углу доски, а заканчивает в правом верхнем углу. Может ли конь при этом побывать на всех полях доски по одному разу?

Решение

Нет, не может.
За каждый ход конь меняет цвет клетки. Для прохождения необходимо 63 хода (всего на шахматной доске 64 клетки, на одной из них конь уже стоит), то есть нечетное число ходов. А это значит, что последняя клетка не будет того же цвета, что и начальная, а по условию задачи последняя клетка того же цвета, что и начальная.

30

Страница 30

Задание № 150

Используя цифры 2, 3, 4, запишите все возможные двузначные числа (цифры в каждом двузначном числе должны быть различными). Из полученных чисел выпишите пары взаимно простых чисел.

Решение

43; 42; 24; 23; 32; 34.
Взаимно простые:
23 и 24;
24 и 43;
23 и 32;
32 и 43;
23 и 34;
34 и 43;
23 и 42;
42 и 43;
23 и 43.

31

Число 48.
480 − 48 = 432

Задание № 161. Найдите числа, которых недостает в цепочке вычислений:

Решение

1) 0,05; 2,24; 0,04.
2) 1,5; 0,4; 0,05.

Задача от мудрой совы

Задача № 162. Барон Мюнхгаузен рассказывал, что он разрезал арбуз на четыре части, а после того, как его съели, осталось пять корок. Может ли такое быть, если корки не ломать?

Решение

Да, можно. Нужно сначала в центре арбуза насквозь вырезать цилиндр, который будет иметь 2 корки снизу и сверху.
Оставшийся арбуз разрезается на ровные 3 части, каждая из которых будет иметь по одной корке.
Таким образом получится 4 части и 5 корок.

34

Страница 34

Задание № 163. Найдите наименьшее общее кратное чисел:
1) 8 и 12;
2) 12 и 16;
3) 6 и 12;
4) 10 и 21;
5) 24 и 36;
6) 6,8 и 12.

Решение

Задание № 164. Найдите наименьшее общее кратное чисел:
1) 6 и 10;
2) 9 и 12;
3) 14 и 28;
4) 8 и 9;
5) 32 и 48;
6) 8,9 и 15.

Решение

Задание № 165. Найдите наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное чисел a и b:
1) a = 2³ * 3 * 5 и b = 2 * 3² * 5 ;
2) a = 2⁴ * 3 * 11 и b = 2² * 3³ * 13 .

Решение

1) НОД (a;b) = 2 * 3 * 5 = 30
НОК (a;b) = 2³ * 3² * 5 = 360

2) НОД (a;b) = 2² * 3 = 12
НОК (a;b) = 2⁴ * 3³ * 11 * 13 = 61776

Задание № 166. Найдите наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное чисел a и b:
1) a = 3 * 5² и b = 3 * 5 * 7 ;
2) a = 2³ * 3² * 5⁴ и b = 2² * 3³ * 5² .

Решение

1) НОД(a;b) = 3 * 5 = 15
НОК ( a ; b ) = 3 * 5² * 7 = 525

2) НОД ( a ; b ) = 2² * 3² * 5² = 900
НОК ( a ; b ) = 2³ * 3³ * 5⁴ = 135000

Задание № 167. Найдите наименьшее общее кратное чисел:
1) 56 и 70;
2) 78 и 792;
3) 320 и 720;
4) 252 и 840.

Решение

Задание № 168. Найдите наименьшее общее кратное чисел:
1) 42 и 63;
2) 120 и 324;
3) 675 и 945;
4) 924 и 396.

Решение

35

Страница 35

Задание № 169. Найдите наименьшее общее кратное знаменателей дробей: 1) 11/12 и 4/15 ; 2) 97/100 и 1/125 .

Решение

Задача № 178. Готовя подарки к Новому году, члены родительского комитета 6 класса увидели, что имеющиеся конфеты можно разложить поровну по 15 штук или по 20 штук в один подарок. Сколько было конфет, если известно, что их было больше 600 и меньше 700?.

Решение

НОК (15;20) = 2² * 3 * 5 = 60 (к.) минимальное число в подарке
Наибольшее число меньше 700 и больше 600 делящееся нацело на 60 будет 660, таким образом было 660 конфет в 660 : 60 = 11 подарках.
15 | 3
5 | 5
1

20 | 2
10 | 2
5 | 5
1
Ответ: 660 конфет.

36

Страница 36

Задание № 179. Если к данному числу прибавить 2, то полученное число будет кратно 5. Чему равен остаток от деления данного числа на 5?

Ответ 7 гуру

5 − 2 = 3 − остаток от деления данного числа на 5.

Задача № 180. Белый аист пролетел 48 км со скоростью 40 км/ч. Сколько взмахов крыльями сделал при этом аист, если каждую секунду он делает два взмаха?

Решение задачи

48 : 40 = 1,2 часа * 3600 = 4320 (с.) летел аист
4320 * 2 = 8640 (вз.) крыльями сделал при этом аист.
Ответ: 4320 секунд, 8640 взмахов.

Задача № 181. В коробке лежит 14 шаров, из которых 5 − синего цвета. Какую часть всех шаров составляют синие?

Ответ

5
14 всех шаров составляют синие.

Задача № 182. В коробке лежит 14 шаров, из которых 3/7 составляют шары красного цвета. Сколько красных шаров в коробке?

Решение задачи

14 * 3 = 6 (ш.) - красных в коробке.
7
Ответ: 6 шаров.

Задача № 183. В коробке лежат шары, 6 из которых белого цвета. Сколько всего шаров в коробке, если белые составляют 3/7 всех шаров?

Решение

6 : 3/7 = 6 * 7/3 = 2 * 7 = 14 (ш.) всего в коробке.
Ответ: 14 шаров.

Задание № 184. Укажите, какие из дробей 12/17,12/7, 5/13,374/10,53/8,53/54,72/71:
1) правильные;
2) неправильные.
Неправильные дроби преобразуйте в смешанные числа.

Решение

Задание № 185. Начертите координатный луч, взяв за единичный отрезок, длина которого в раз больше стороны клетки тетради. Отметьте на луче точки, соответствующие числам: 1/6;3/6;4/6;5/6;6/6;7/6;11/6;12/6;13/6.

Задача от мудрой совы

Задание № 186. На чудо дереве садовник вырастил 85 бананов и 70 апельсинов. Каждый день он срывает два плода, и сразу на дереве вырастает один новый. Если садовник срывает два одинаковых фрукта, то вырастает апельсин, а если два разных − то банан. Каким окажется последний фрукт на этом дереве?

Решение задачи

Останется банан, так как количество бананов всегда будет нечетно.

42

Страница 42

Задание № 187. Начертите координатный луч, взяв за единичный отрезок, длина которого в 20 раз больше стороны клетки тетради. Отметьте на луче точки, соответствующие числам...

Задание № 188. Начертите координатный луч, взяв за единичный отрезок, длина которого в 18 раз больше стороны клетки тетради. Отметьте на луче точки, соответствующие числам...

Задание № 189. Умножьте на 4 числитель и знаменатель каждой из дробей:
1/2, 1/3, 5/6, 4/7, 10/19.

Решение

Задание № 190. Разделите на 3 числитель и знаменатель каждой из дробей:
3/9, 12/33, 30/45, 15/36, 99/240.

Решение

43

Задание № 197. Запишите:
1) число 3 в виде дроби, знаменатель которой равен 6;
2) число 13 в виде дроби, знаменатель которой равен 5;
3) число 1 в виде дроби, знаменатель которой равен 29.

Решение

3 = 18
6

13 = 65
5

1 = 29
29

Задание № 198. Запишите:
1) число 5 в виде дроби, знаменатель которой равен 8;
2) число 10 в виде дроби, знаменатель которой равен 14;
3) число 16 в виде дроби, знаменатель которой равен 16.

Решение

40 = 5
8

140 = 10
14

256 = 16
16

Задание № 199. Пользуясь основным свойством дроби, найдите значение a, при котором верно равенство:
1) a/6=9/54;
2) 7/a=49/28;
3) 27/45=3/a;
4) a/32=5/8.

Решение

Задание № 200. Пользуясь основным свойством дроби, найдите значение a, при котором верно равенство:
1) a/5=6/15;
2) 1/12=4/a;
3) 56/70=8/a;
4) a/60=6/5.

Решение

1) а = 2
2) а = 48
3) а = 10
4) а = 72

44

Страница 44

Задание № 201. Решите уравнение.

Задание № 202. Решите уравнение.

Задача № 203. Леденец стоит 16 р. У Димы есть 20 монет по 10 р. Какое наибольшее количество леденцов может купить Дима, чтобы продавцу не нужно было давать ему сдачу?

Решение задачи

20 * 10 = 200 (р.) - всего у Димы;
Для того, чтобы продавцу не надо было сдавать сдачу, сумма, которую отдаст Дима за леденцы, должна нацело делится на 10. Наибольшая такая сумма равна 160 рублей.
160 : 16 = 10 (л.) - может купить Дима, чтобы продавцу не нужно было давать ему сдачу.
Ответ: 10 леденцов.

Задание № 204. Число делится нацело на 2, на 5 и на 9. Каким числам кратно это число?

Решение

НОК (2;5;9) = 90
90 кратно 18, 10, 45.

Задача № 205. В среднем сердце человека делает 75 ударов в минуту. Сколько ударов делает сердце в течение суток? Сколько литров крови оно перекачивает за 1 мин, если сердце перекачивает за сутки 8640 л крови?

Решение задачи

75 * 60 мин * 24 ч = 108000 (уд.) - делает сердце в стуки.
8640 : 24 : 60 = 6 (л.) крови перекачивает сердце за 1 минуту.
Ответ: 108000 ударов, 6 литров крови.

Задание № 206. Начертите острый угол ABC. Проведите луч BD так, чтобы угол ABD был прямым, а угол CBD:
1) тупым;
2) острым.

Задача № 207. От пристани отправился теплоход со скоростью 18 км/ч. Через 3 ч после этого от пристани в том же направлении отправился второй теплоход, который догнал первый через 9 ч после своего выхода. Найдите скорость второго теплохода.

Решение задачи

18 * 3 = 54 (км) - проплыл первый теплоход за 3 часа.
54 : 9 + 18 = 24 (км/ч) - скорость второго теплохода.
Ответ: 24 км/ч.

Задача № 208. Из одного города в другой со скоростью 60 км/ч выехал автомобиль. Через 3 ч из другого города навстречу ему выехал второй автомобиль. Они встретились через 7 ч после начала движения первого автомобиля. Найдите скорость второго автомобиля, если расстояние между городами равно 700 км.

Решение задачи

60 * 3 = 180 (км) − проехал 1 автомобиль до начала движения второго.
700 − 180 = 520 (км) - прошли оба автомобиля с момента выезда второго.
520 : (7 − 4) = 520 : 4 = 130 (км/ч) - скорость сближения автомобилей.
130 − 60 = 70 (км/ч) - скорость второго автомобиля.
Ответ: 70 км/ч.

Задача от мудрой совы

Задание № 209. На поле размером 10 Х 10 клеток для игры в "Морской бой" поставили корабль в прямоугольник размером 1 Х 3 клетки. Можно ли, сделав 33 выстрела, наверняка в него попасть?

Решение

Можно, так как всего клеток 10 * 10 = 100, то делая каждый выстрел через 2 клетки за 33 выстрела можно покрыть 33 * 3 = 99 клеток, что значит наверняка попасть в корабль.

46

Страница 46

Задание № 210. Сократите дробь.

Задание № 211. Сократите дробь.

Задание № 212. Какие из дробей 11/12; 7/42; 9/111; 5/42; 12/68; 13/36 несократимы?

Ответ 7 гуру

11/2 и 5/42 − несократимы, так как не имеют общего делителя.

47

Страница 47

Задание № 213. Какие из дробей 15/25;24/99;28/45;26/51;16/42;22/69 несократимы?

Ответ 7 гуру

28/45, 26/51 и 22/69 − несократимы, так как не имеют общего делителя.

Задание № 214. Запишите десятичную дробь в виде обыкновенной дроби и результат, если возможно, сократите:
1) 0,4;
2) 0,5;
3) 0,12;
4) 0,84;
5) 0,16;
6) 0,59;
7) 0,128;
8) 0,96;
9) 0,2348;
10) 0,975.

Решение

Задание № 215. Найдите среде данных дробей равные между собой.

Задание № 222. Выполните действия и сократите результат.

Задание № 223. Запишите все правильные и несократимые дроби со знаменателем 18.

Решение

1/18; 5/18; 7/18; 11/18; 13/18; 17/18.

Задание № 224. Запишите все неправильные и несократимые дроби с числителем 20.

Решение

20/1; 20/3; 20/7; 20/9; 20/11; 20/13; 20/17; 20/19.

Задание № 225. Сократите.

48

Страница 48

Задание № 226. Сократите.

Задание № 227. Сократите (буквами обозначены натуральные числа).

1 5 9 10 14 16
19 19 19 19 19 19

Задание № 234. Сравните:
1) 10/21 и 8/21;
2) 8/19 и 8/9;
3) 4/7 и 1;
4) 7/4 и 1;
5) 1 и 11/15;
6) 11/15 и 15/11;
7) 2 и 5/3;
8) 2 и 7/3.

Ответ

49

Страница 49

Задача от мудрой совы

Задача № 235. Из старинной книги выпала часть страниц, идущих подряд. Первая выпавшая страница имеет номер 251, а номер последней записан теми же цифрами в другом порядке. Какой номер последней выпавшей страницы?

Ответ к задаче

Существует два решения:
1) страница № 512;
2) страница № 521.

Поскольку первая выпавшая из книги страница - это уже 251, то следующие выпавшие не могут начинаться ни на 1**, ни на 21*, а значит, это будет 5**. Подставляем оставшиеся цифры, получаем 512 и 521.

51

Страница 51

Задание № 236. Приведите дроби:
1) 1/2;3/4;4/5;9/10 к знаменателю 20;
2) 3/4;1/6;7/18;8/9 к знаменателю 36;
3) 1/2;2/4;3/8;5/32 к знаменателю 64;
4) 1/5;1/4;7/25;63/50 к знаменателю 100.

Решение

Задание № 237. Приведите дробь:
1) 7/9 к знаменателю 27;
2) 3/5 к знаменателю 40;
3) 4/13 к знаменателю 78;
4) 12/17 к знаменателю 102;
5) 4/23 к знаменателю 69;
6) 5/24 к знаменателю 144.

Решение

52

53

Задание № 258. Укажите два числа, каждое из которых:
1) больше 1/5, но меньше 1/4;
2) больше 1/7, но меньше 1/6;
3) больше 1/10, но меньше 1/9;
4) больше 3/7, но меньше 5/7.

Решение

54

Пусть искомые числа будут x и y, тогда по условию получаем следующее уравнение:
x + y = 374, при этом x = 10y, тогда
10y + y = 374
11y = 374
y = 374 : 11 = 34
x = 10y = 10 * 34 = 340

Задание № 265. Вычислите...

Задание № 266. Решите уравнение...

Задача от мудрой совы

Задание № 267. Из чашки с молоком одну ложку молока переливают в чашку с кофе и тщательно размешивают. После этого одну ложку смеси переливают в чашку с молоком. Чего теперь больше: кофе в чашке с молоком или молока в чашке с кофе?

Решение

Молока в чашке с кофе больше, чем кофе в чашке с молоком. Так как в чашку с кофе налили ложку только молока, а в чашку с молоком налили ложку смеси (кофе + молоко).

57

Страница 57

Задание № 268. Вычислите:
1) 3/7+4/9;
2) 8/9−7/8;
3) 13/15−2/3;
4) 20/21+3/7;
5) 17/18−11/12;
6) 7/16+1/6;
7) 2/9+5/6;
8) 10/21+9/14;9) 7/9−4/15;
10) 9/14−3/7+15/28;
11) 1/6+1/4−1/8;
12) 13/18−29/45+8/15.

Ответы 7 гуру

Задание № 269. Вычислите:
1) 1/4+3/5;
2) 9/11−2/5;
3) 13/16−9/32;
4) 3/28+5/14;
5) 14/15−7/10;
6) 3/8+1/6;
7) 9/25−7/20;
8) 37/42−17/24;
9) 11/24−3/16;
10) 9/16+7/24−3/8;
11) 1/3−1/6+1/4;
12) 2/5+4/15−5/9.

Решение

Задание № 270. Найдите значение выражения, предварительно сократив дроби:
1) 25/80+45/60;
2) 20/45+26/54;
3) 36/300+12/40−350/1000;
4) 14/24−39/90+15/100;
5) 42/120+20/32−28/160;
6) 45/72−33/144−20/64.

Решение

Задача № 271. В одной банке было 3/10 л сметаны, а в другой − 4/15 л. В какой банке было больше сметаны и на сколько литров?

Решение задачи

Ответ: в первой на 1/30 л больше.

Задача № 272. Окунев поймал рыбу длиной 8/25 м, а Щукин − длиной 13/40м. Кто из них поймал рыбу длиннее и на сколько метров?

Решение от 7 гуру

Ответ: Щукин поймал рыбу длиннее на 1/200 метра.

Задача № 273. Золушка 11/20 ч убирала комнаты, что на 2/15 ч больше времени, которое она затратила на мытье посуды. Сколько времени заняли у Золушки уборка и мытье посуды?

Решение задачи

Ответ: 58 минут.

58

Страница 58

Задача № 274. На завтрак Винни−Пух съел 2/9 горшочка меда, что на 2/15 горшочка меньше, чем он съел на обед. Какую часть горшочка меда Винни−Пух съел на завтрак и на обед?

Решение задачи

Ответ: 16, 26.
45 45

Задание № 285. Преобразуйте десятичные дроби в обыкновенные и вычислите:
1) 0,5 + 1/3;
2) 2/3 − 0,25;
3) 0,125 + 5/12;
4) 3,25 − 2 9/14.

Решение

59

Страница 59

Задача № 286. Собственная скорость теплохода составляет 20 2/7 км/ч, а скорость течения реки − 2 11/14 км/ч. Найдите скорость теплохода по течению реки и его скорость против течения.

Решение задачи

Задача № 287. Скорость катера по течению составляет 27 1/3 км/ч, а скорость течения − 1 4/9 км/ч. Найдите собственную скорость катера и скорость катера против течения реки.

Решение задачи

Задание № 288. Расшифруйте фамилию выдающегося русского математика, жившего на рубеже XIX и XX вв., академика Петербургской Академии наук, вице−президента Академии наук СССР, основателя школы математической физики, чьё имя носит Математический институт Российской академии наук в Москве. Номер примера соответствует месту, на котором стоит буква в слове.

1) 2/9 + 5/6;
2) 1 − 5/17;
3) 6 − 1 4/9;
4) 2 1/3 − 1 1/2;
5) 1 1/7 + 2 3/28;
6) 5 1/6 − 4 1/4;
7) 1/4+1/12+2/3.

Решение от 7 гуру

Фамилия математика: СТЕКЛОВ.

Задание № 289. Вычислите значение выражения наиболее удобным способом:
1) 3/7 + 14/19 + 4/7 + 5/19;
2) 7/16 + 11/42 + 9/16 + 17/42;
3) 5/18 + 4/81 + 7/18 + 5/81;
4) 9/40 + 13/50+ 12/50 + 11/40;
5) 3 5/11 + 1 3/16 + 2 5/16 + 4 6/11;
6) 1 17/24 + 3 1/36 + 5 4/24 + 2 8/36.

Решение

Задание № 290. Решите уравнение:
1) (x + 5/12) − 9/20 = 11/15;
2) (x − 11/30) − 16/45 = 2/9;
3) (x − 7/15) + 5/8 = 17/24;
4) 4/5 − (x+ 1/60)= 2/3;
5) 4 3/4 − (x − 2 5/8) = 3 5/6;
6) 9 9/28 − (4 5/21 − x) = 6 2/7.

Решение

60

Задача № 297. Для приготовления 12 кг мороженого взяли 7 4/15 кг воды, 2 11/20 кг молочного жира, 1 23/30 кг сахара и фруктовой сироп. Сколько килограммов сиропа взяли для изготовления мороженого?

Решение

61

Весь бассейн равен 1, тогда:
1/3 часть бассейна можно наполнить через две трубы за 1 ч;
1/5 часть бассейна можно наполнить через одну трубу за 1 ч;
1/3−1/5=5/15−3/15=2/15 части бассейна можно наполнить за 1 ч через вторую трубу.
Ответ: 2/15 части бассейна.

62

63

Страница 63

Задание № 316. Какое натуральное число является корнем уравнения:
1) a + 1/a = 7 1/7;
2) b − 1/b= 14 14/15?

Ответ от 7 гуру

1) a = 7
2) b = 15

Задание № 317. При каких наименьших натуральных значениях a и b верно равенство:
1) 1/2 * 3 = a/2 − b/3;
2) 4/3 * 5 = a/3 − b/5?

Ответ

1) a = b = 1 или a = 3, b = 4.
2) a = b = 2 или a = 5, b = 7.

Задание № 318. Увеличится или уменьшится значение дроби и на сколько, если ее числитель увеличить на знаменатель?

Ответ

Увеличится на 1.

Задание № 319. Вычислите значение выражения:
1/2*3 + 1/3*4 + 1/4*5 +...+ 1/19*20.

Ответ

Задание № 320. Вычислите значение выражения:
2/3*5 + 2/5*7 +... + 2/29*31.

Ответ

Задание № 321. Докажите, что
1/10 + 1/11 + 1/12 +...+ 1/18 > 1/2.

Решение

64

Страница 64

Задание № 328. Найдите произведение дробей 3/5 и 3/4, предварительно преобразовав их в десятичные. Результат запишите в виде обыкновенной дроби.

Решение от 7 гуру

3 = 6 = 0,6
5   10

3 = 75 = 0,75
4   100

0,6 * 0,75 = 0,45 = 45 = 9
                              100   20

Задание № 329. Упростите выражение:
1) 12 * 3a;
2) 0,6a * 7b;
3) 0,8m * 0,5n * 4p.

Решение

1) 2 * 3a = 6a
2) 0,6a * 7b = 4,2ab
3) 0,8m * 0,5n * 4p = 1,6mnp

Задание № 330. Раскройте скобки:
1) 2(x + 7);
2) 7(5 − a);
3) (c − 0,4) * 1,2.

Ответ

1) 2(x + 7) = 2x + 14
2) 7(5 − a) = 35 − 7a
3) (c − 0,4) * 1,2 = 1,2с − 0,48

Задание № 331. Упростите выражение:
1) 1,6b − 0,5b;
2) 3x + 17x − 5x;
3) 5,6a + 0,4a − 2.

Ответ

1) 1,6b − 0,5b = 1,1b
2) 3x + 17x − 5x = 15x
3) 5,6a + 0,4a − 2 = 6a − 2

Задача от мудрой совы

Задание № 332. Сережа и Саша играют в такую игру: они по очереди берут камешки из кучки, в которой лежит 100 камешков. За один ход каждому разрешается взять или 1 камешек, или 3. Кто из них возьмет последний камешек, если игру начинает Сережа?

Решение задачи

После хода у Сережи всегда будет получаться нечетное число камешков, следовательно 100−й камень возьмет Саша.

67

Страница 67

Ответы к параграфу 11. Умножение дробей

Решение

1) $9\frac35\ast\frac{10}{21}=\frac{48}5\ast\frac{10}{21}=\frac{16}1\ast\frac27=\frac{32}7=4\frac47$

2) $3\frac{11}{12}\ast\frac9{94}=\frac{47}{12}\ast\frac9{94}=\frac14\ast\frac32=\frac38$

3) $1\frac57\ast6\frac18=\frac{12}7\ast\frac{49}8=\frac31\ast\frac72=\frac{21}2=10\frac12$

4) $3\frac59\ast5\frac14=\frac{32}9\ast\frac{21}4=\frac83\ast\frac71=\frac{56}3=18\frac23$

5) $1\frac{13}{15}\ast\frac58\ast2\frac27=\frac{28}{15}\ast\frac58\ast\frac{16}7=\frac43\ast\frac11\ast\frac21=\frac83=2\frac23$

6) $2\frac14\ast\frac{16}{27}\ast4\frac13=\frac94\ast\frac{16}{27}\ast\frac{13}3=\frac11\ast\frac43\ast\frac{13}3=\frac{52}9=5\frac79$

Задание 339. Найдите произведение:
1) 0,4 ∗ 5/9;
2) 8/27 ∗ 0 , 75;
3) 1,5 ∗ 1/6;
4) 2 1/7 ∗ 2,8.

Решение

1) $0,4\ast\frac59=\frac25\ast\frac59=\frac21\ast\frac19=\frac29$

2) $\frac8{27}\ast0,75=\frac8{27}\ast\frac34=\frac29\ast\frac11=\frac29$

3) $1,5\ast\frac16=\frac32\ast\frac16=\frac12\ast\frac12=\frac14$

4) $2\frac17\ast2,8=\frac{15}7\ast\frac{14}5=\frac31\ast\frac21=6$

Задание 340. Найдите произведение:
1) 0,8 ∗ 7/12;
2) 1 2/3 ∗ 0,6;
3) 1,25 ∗ 32/45;
4) 4,5 ∗ 3 1/3.

Решение

70

72

По условию задачи число кустов должно быть кратно и 4 и 6. Это число 96. Следовательно 96 кустов смородины решил посадить фермер.

73

Страница 73

Задание 381. С одного аэродрома в одном направлении с интервалом 0,4 ч вылетели два самолета. Первый самолет летел со скоростью 640 км/ч, а второй − 720 км/ч. Через сколько часов после своего вылета второй самолет будет впереди первого на расстоянии 24 км?

Решение задачи

1) 0,4 * 640 = 256 (км) пролетел первый самолет до вылета первого;
2) 256 + 24 = 280 (км) необходимо сократить второму самолету, чтобы быть на 24 км впереди первого;
3) 720 − 640 = 80 (км/ч) скорость приближения второго самолета к первому;
4) $280:80=\frac{28}8=\frac72=3\frac12$ ч потребуется пролететь второму самолету, чтобы быть на 24 км впереди первого.
Ответ: $3\frac12$ ч.

1) 0,12 = 12%
2) 0,05 = 5%
3) 0,5 = 50%
4) 0,324 = 32,4%
5) 0,467 = 46,7%
6) 4 = 400%
7) 1,12 = 112%
8) $1\frac1{25}=1,04=104$%

Задание 388. Задача от мудрой совы. На доске написаны три двузначных числа. Первая слева цифра одного из них − 5, второго − 6, а третьего − 7. Учитель попросил троих учащихся сложить любые два из этих чисел. Первый учащийся получил в сумме число 147, второй и третий − разные трехзначные числа, первые слева две цифры которых 1 и 2. Какие числа написаны на доске?

Решение задачи

У первого ученика могут быть числа 59, 69 и 79. Складываем их попарно: 59 + 69 ≠ 147. Остается 6* + 7* = 147, то есть 69 + 78 = 147 или 68 + 79 = 147.
Второй ученик складывал 5* + 69, третий 5* + 78, то есть подбором получаем число 51.

75

Задание 396. Отряд из 120 человек отправился в поход на лодках. В каждую лодку село 12,5% отряда. Сколько человек было в каждой лодке? На скольких лодках отряд отправился в поход?

Решение

1) $9\frac13\ast\frac5{14}=\frac{28}3\ast\frac5{14}=\frac23\ast\frac51=\frac{10}3=3\frac13$ (футов) - высота забора;
2) $9\frac13\ast3\frac13=\frac{28}3\ast\frac{10}3=\frac{280}9=31\frac19$ (кв. футов) - площадь забора;
3) $31\frac19\ast4\frac12=\frac{280}9\ast\frac92=140$ (фунтов) - краски израсходовал Том.
Ответ: 140 фунтов краски.

Задание 413. Для банка заказали новый сейф, имеющий форму прямоугольного параллелепипеда. Длина сейфа равна 3 м, ширина составляет 13/50 длины, а высота − 15/26 ширины. Сколько слитков золота, имеющих форму куба с ребром 6 см, можно положить в этот сейф?

Решение задачи от 7 гуру

1) $3\ast\frac{13}{50}=\frac{39}{50}=\frac{78}{100}$ (м) = 78 см - ширина сейфа;
2) $\frac{39}{50}\ast\frac{15}{26}=\frac3{10}\ast\frac32=\frac9{20}=\frac{45}{100}$ (м) = 45 см - высота сейфа;
3) 300 : 6 = 50 (сл.) - поместится в длину;
4) 78 : 6 = 13 (ряд.) - в ширину;
5) $45:6=\frac{45}6=\frac{15}2=7\frac12$ (слоев) - можно уложить только 7 слоев;
6) 50 * 13 * 7 = 4550 (сл.) можно положить в сейф.
Ответ: 4550 слитков.

Задание 414. Банк "Ломаный грош" получил в июне 200 сольдо прибыли, в июле − 0,65 прибыли июня, в августе − 16/13 прибыли июля. Сколько сольдо составляла прибыль банка за три летних месяца?

Решение задачи

1) 200 * 0,65 = 130 (сольдо) - прибыль в июле;
2) $130\ast\frac{16}{13}=10\ast16=160$ (сольдо) - прибыль в августе;
3) 200 + 130 + 160 = 490 (сольдо) - прибыль банка за три летних месяца.
Ответ: 490 сольдо.

Задание 415. Акционерное общество "Поле чудес" имело в декабре 1200 сольдо убытков, в январе − 135% от убытков декабря, в феврале − 25/18 убытков января. Сколько сольдо составили убытки АО "Поле чудес" за три зимних месяца?

Решение задачи

1) 1200 * 135% = 1200 * 1,35 = 1620 (сольдо) - в январе;
2) $1620\ast\frac{25}{18}=90\ast25=2250$ (сольдо) - в декабре;
3) 1200 + 1620 + 2250 = 5070 (сольдо) - составили убытки АО "Поле чудес" за три зимних месяца.
Ответ: 5070 сольдо.

Задание 416. В столовую привезли 405 кг овощей: капусту, морковь и картофель. Морковь составляла 32% массы капусты, картофель − 138% массы капусты. Сколько килограммов капусты привезли в столовую?

Решение

Пусть капусты привезли x кг.
x + 0,32x + 1,3x = 405
2,7x = 405
x = 405 : 2,7
х = 150
Ответ: 150 кг капусты привезли в столовую.

78

Задание 425. Контрольную работу по математике писали менее 50 шестиклассников. Оценку "5" получили 1/7 учащихся, писавших работу, оценку "4" − 1/3 учащихся, оценку "3" − 1/2 учащихся. Остальные, к сожалению, получили оценку "2". Сколько учащихся получили оценку "2"?

Решение задачи

Пусть количество писавших работу учеников равно 1, тогда:
1) $1-(\frac6{42}+\frac{14}{42}+\frac{21}{42})=1-\frac{41}{42}=\frac1{42}$
Ответ: всего писало работу 42 ученика, один из которых получил оценку "2".

79

Чтобы вернуться в точку старта, черепахе придется повернуть на 360°.
360° : 90° = 4 раза ей надо повернуть.
15 * 4 = 60 минут = 1 ч потребуется черепахе для того, чтобы сделать 4 поворота.

81

Страница 81

Ответы к параграфу 13. Взаимно обратные числа

Задание 434. Являются ли взаимно обратными числа:

Решение

Задание 435. Укажите число, обратное числу:
1) 3/5;
2) 12;
3) 3 2/9;
4) 0,16;
5) 1/17;
6) 2,3.

Решение

1) 5/3
2) 1/12
3) 9/29
4) $\frac{100}{16}=\frac{25}4=6\frac14$
5) 17
6) 10/23

Задание 436.Укажите число, обратное числу:
1) 7/11;
2) 6;
3) 2 2/5;
4) 0,23;
5) 1/9;
6) 3,6.

Решение

82-83

Задание 444. Решите уравнение:

Решение

Задание 445. Вася и Саша играют в такую игру: они по очереди (Вася первым) ломают шоколадку, имеющую 6 X 8 квадратных долек. За один ход разрешается сделать прямолинейный разлом любого куска вдоль углубления между дольками шоколадки. Проигрывает тот, кто в очередной раз не сможет этого сделать. Кто из них выиграет?

Решение

8 * 6 = 48 долек всего, и для того чтобы разломать шоколадку полностью потребуется 47 разломов.
Так как число разломов нечетное, то выиграет (последним отломит дольку) тот, кто начнет первым, значит выиграет Вася.

85

Страница 85

Ответы к параграфу 14. Деление дробей

Задание 446. Выполните деление:

Решение

1) $\frac37:\frac56=\frac37\ast\frac65=\frac{18}{35}$

2) $\frac3{14}:\frac2{21}=\frac3{14}\ast\frac{21}2=\frac32\ast\frac32=\frac94=2\frac14$

3) $\frac7{16}:\frac{42}{43}=\frac7{16}\ast\frac{43}{42}=\frac1{16}\ast\frac{43}6=\frac{43}{96}$

4) $\frac34:\frac{21}{40}=\frac34\ast\frac{40}{21}=\frac11\ast\frac{10}7=1\frac37$

5) $\frac9{25}:\frac{27}{50}=\frac9{25}\ast\frac{50}{27}=\frac11\ast\frac23=\frac23$

6) $\frac{45}{56}:\frac{63}{64}=\frac{45}{56}\ast\frac{64}{63}=\frac57\ast\frac87=\frac{40}{49}$

7) $\frac23:\frac16=\frac23\ast\frac61=2\ast2=4$

8) $\frac{65}{98}:\frac{26}{49}=\frac{65}{98}\ast\frac{49}{26}=\frac{65}2\ast\frac1{26}=\frac{65}{52}=1\frac{13}{52}$

Задание 447. Выполните деление:

Решение

1) $\frac{11}{15}:\frac38=\frac{11}{15}\ast\frac83=\frac{88}{45}=1\frac{43}{45}$

2) $\frac6{35}:\frac{18}{25}=\frac6{35}\ast\frac{25}{18}=\frac17\ast\frac53=\frac5{21}$

3) $\frac{12}{55}:\frac{48}{77}=\frac{12}{55}\ast\frac{77}{48}=\frac15\ast\frac74=\frac7{20}$

4) $\frac{21}{40}:\frac34=\frac{21}{40}\ast\frac43=\frac7{10}\ast\frac11=\frac7{10}$

5) $\frac{27}{50}:\frac9{25}=\frac{27}{50}\ast\frac{25}9=\frac32\ast\frac11=1\frac12$

6) $\frac{63}{64}:\frac{45}{56}=\frac{63}{64}\ast\frac{56}{45}=\frac78\ast\frac75=\frac{49}{40}=1\frac9{40}$

7) $\frac58:\frac5{32}=\frac58\ast\frac{32}5=\frac11\ast\frac41=4$

8) $\frac{14}{55}:\frac15=\frac{14}{55}\ast\frac51=\frac{14}{11}\ast\frac11=1\frac3{11}$

Задание 448. Найдите частное:

Решение от 7 гуру

1) $10:\frac56=10\ast\frac65=2\ast6=12$

2) $12:\frac{15}{16}=12\ast\frac{16}{15}=4\ast\frac{16}5=\frac{64}5=12\frac45$

3) $\frac34:2=\frac34\ast\frac12=\frac38$

4) $\frac{10}{11}:10=\frac{10}{11}\ast\frac1{10}=\frac1{11}$

5) $1:\frac78=1\ast\frac87=1\frac17$

6) $7\frac35:\frac{19}{25}=\frac{38}5\ast\frac{25}{19}=\frac21\ast\frac51=10$

7) $1\frac78:2\frac{11}{32}=\frac{15}8\ast\frac{32}{75}=\frac11\ast\frac45=\frac45$

8) $5\frac13:1\frac59=\frac{16}3\ast\frac9{14}=\frac81\ast\frac37=\frac{24}7=3\frac37$

Задание 449. Найдите частное:

87

Страница 87

Задание № 459

В двух контейнерах 90 кг яблок. Сколько килограммов яблок в каждом контейнере, если в одном из них в 2 1/3 раза меньше, чем в другом?

Решение

Пусть в одном контейнере x кг яблок, тогда в другом $2\frac13x$ кг яблок.
Составим уравнение:
$x+2\frac13x=90$
$\frac{10}3x=90$
$x=90:\frac{10}3$
$x=90\ast\frac3{10}$
x = 9 * 3
х = 27 (кг) яблок в одном контейнере;
90 − 27 = 53 (кг) яблок в другом контейнере.
Ответ: 27 кг и 53 кг.

Задание № 460

Найдите среднее арифметическое чисел:
1) 5/6 и 7/20
2) 1 3/7 и 2 5/21;
3) 2 3/5, 3 3/10 и 2 1/2;
4) 7 5/24, 6 7/24 и 8 1/6.

Решение

1) $(\frac56+\frac7{20}):2=(\frac{50}{60}+\frac{21}{60}):2=\frac{71}{60}\ast\frac12=\frac{71}{120}$

2) $(1\frac37+2\frac5{21}):2=(1\frac37+2\frac5{21}):2=(1\frac9{21}+2\frac5{21})\ast\frac12=3\frac23\ast\frac12=\frac{11}3\ast\frac12=\frac{11}6=1\frac56$

3) $(2\frac35+3\frac3{10}+2\frac12):3=(2\frac6{10}+3\frac3{10}+2\frac5{10}):3=8\frac25:3=\frac{42}5\ast\frac13=\frac{14}5=2\frac45$

4) $(7\frac5{24}+6\frac7{24}+8\frac16):3=(7\frac5{24}+6\frac7{24}+8\frac4{24}):3=21\frac23\ast\frac13=\frac{65}3\ast\frac13=\frac{65}9=7\frac29$

461. Найдите значение выражения:

1) $(2\frac{13}{48}+2\frac5{12}):3\frac34-9\frac34:12=4\frac{33}{48}\ast\frac4{15}-\frac{39}4\ast\frac1{12}=4\frac{11}{16}\ast\frac45-\frac34\ast\frac14=\frac{75}{16}\ast\frac4{15}-\frac34\ast\frac14=\frac54\ast\frac11-\frac34\ast\frac14=\frac54-\frac3{16}=\frac{20}{16}-\frac3{16}=\frac{17}{16}=1\frac1{16}$

2) $(8:2\frac{10}{19}-1\frac{13}{15}\ast1\frac6{49}):(3\frac1{12}-1\frac{25}{36})=(8\ast\frac{19}{48}-\frac{28}{15}\ast\frac{55}{49}):(2\frac{39}{36}-1\frac{25}{36})=(1\ast\frac{19}6-\frac43\ast\frac{11}7):1\frac{14}{36}=(\frac{19}6-\frac{44}{21}):1\frac7{18}=(\frac{133}{42}-\frac{88}{42}):\frac{18}{25}=\frac{45}{42}\ast\frac{18}{25}=\frac97\ast\frac35=\frac{27}{35}$

Задание № 462

Найдите значение выражения:

1) $(2\frac59-1\frac{20}{21}):1\frac8{49}+1\frac89:6=(1\frac{98}{63}-1\frac{60}{63}):\frac{57}{49}+\frac{17}9\ast\frac16=(1\frac{98}{63}-1\frac{60}{63}):\frac{57}{49}+\frac{17}9\ast\frac16=\frac{38}{63}\ast\frac{49}{57}+\frac{17}{54}=\frac29\ast\frac73+\frac{17}{54}=\frac{14}{27}+\frac{17}{54}=\frac{28}{54}+\frac{17}{54}=\frac{45}{54}=\frac56$

2) $(1\frac{17}{18}\ast1\frac{13}{14}-2\frac58:1\frac{19}{20}):(2\frac{25}{78}-1\frac1{26})=(\frac{35}{18}\ast\frac{27}{14}-\frac{21}8:\frac{39}{20}):(2\frac{25}{78}-1\frac3{78})=(\frac52\ast\frac32-\frac{21}8\ast\frac{20}{39}):1\frac{11}{39}=(\frac{15}4-\frac72\ast\frac5{13}):\frac{50}{39}=(\frac{15}4-\frac{35}{26})\ast\frac{39}{50}=(\frac{195}{52}-\frac{70}{52})\ast\frac{39}{50}=\frac{125}{52}\ast\frac{39}{50}=\frac5{52}\ast\frac{39}2=\frac{195}{104}=1\frac{91}{104}=1\frac78$

Задание № 463

Решите уравнение:
1) $5\frac{11}{14}x-\frac8{15}=\frac5{21}$
2) $7\frac3{10}+\frac{25}{28}x=8\frac{13}{35}$
3) $3\frac13-1\frac1{20}x=1\frac{14}{15}$
4) $\frac38x+\frac7{12}x-\frac56x=\frac9{32}$
5) $2\frac13:x-1\frac16=1\frac59$
6) $2\frac13:(x+1\frac16)=1\frac59$
7) $27:(31\frac37-2\frac{11}{14}x)=1\frac18$
8) $48:(3\frac45x-25)=1\frac12$

Решение

Задание № 464 с ответами

Решите уравнение:

Задание № 465

Автомобиль едет со скоростью 80 км/ч. Сколько километров он проезжает за 1 мин? Выразите скорость автомобиля в метрах в минуту.

Решение

1) $80:60=\frac{80}{60}=\frac86=\frac43=1\frac13$ (км/мин)
2) $1\frac13\ast1000=\frac{4000}3=1333\frac13$ (м/мин)
Ответ: $1\frac13 км/мин, 1333\frac13 м/мин$.

Задание № 466

Пешеход двигался со скоростью 5 км/ч. Выразите его скорость в метрах в минуту и в метрах в секунду.

Решение

1) $\frac39=\frac13$ заказа выполнила первая бригада
2) $1-\frac13=\frac23$ заказа выполнила вторая бригада.
3) $12\ast\frac23=4\ast2=8$ (д.) потребуется второй бригаде на выполнение своей части заказа.
4) 3 + 8 = 11 (д.) потребуется на выполнение всего заказа.
Ответ: за 11 дней.

Задание № 484

Выполните деление (буквами обозначены натуральные числа):

1) $\frac{2a}{21}:\frac{4b}{49}=\frac{2a}{21}\ast\frac{49}{4b}=\frac a3\ast\frac7{2b}=\frac{7a}{6b}=1\frac a{6b}$

2) $\frac{11m}{9n}:\frac{22n}{27m}=\frac{11m}{9n}\ast\frac{27m}{22n}=\frac mn\ast\frac{3m}{2n}=\frac{3m^2}{2n^2}=1\frac{m^2}{2n^2}$

3) $\frac{36ab}{17c}:\frac{21b}{34c}=\frac{36ab}{17c}\ast\frac{34c}{21b}=\frac{12a}1\ast\frac27=\frac{24a}7=3\frac{3a}7$

4) $\frac{51x}{32y}:\frac{17x}{16y}=\frac{51x}{32y}\ast\frac{16y}{17x}=\frac32\ast\frac11=1\frac12$

Задание № 485

Найдите наименьшее натуральное число, при делении которого на 4/5 и на 6/7 в результате получим натуральные числа.

Решение

Число должно нацело делится на 4 и на 6, тогда:
НОК(4;6) = 12

Задание № 486

Который сейчас час, если до конца суток осталось 4/5 того времени, что уже прошло от начала суток?

Решение

Пусть прошло x ч, тогда $\frac45x$ осталось.

Задание № 487

Найдите наименьшее натуральное число, при делении которого на 6/11, на 8/17 и на 12/19 в результате получим натуральные числа.

Решение

Число должно нацело делится на 6, на 8 и на 12, тогда:
НОК(6;8;12) = 24

90

Страница 90

Задание № 488 с ответами

Найдите значение выражения:

1) $1-\frac2{3+\frac12}=1-\frac2{3\frac12}=1-2:3\frac12=1-2\ast\frac27=1-\frac47=\frac37$

2) $\frac{8-\frac1{\frac12-\frac13}}{8+\frac1{\frac12-\frac13}}=\frac{8-\frac1{\frac16}}{8+\frac1{\frac56}}=\frac{8-6}{8+\frac56}=\frac2{9\frac15}=2:\frac{47}5=2\ast\frac5{47}=\frac{10}{47}$

3) $\frac1{1+\frac1{1+\frac1{1+\frac12}}}=\frac1{1+\frac1{1+\frac1{\frac32}}}=\frac1{1+\frac1{\frac53}}=\frac1{1+\frac35}=\frac1{1\frac35}=\frac1{\frac85}=\frac58$

Задание можно оформлять двумя способами. Ориентируйтесь на требования вашего учителя. Примеры оформления третьего примера из задания №488:

Угол ABC − прямой, луч BM проведен так, что ∠MBC = 120°, луч BK − биссектриса угла ABC. Вычислите градусную меру угла MBK. Сколько решений имеет задача?

Решение

Задача имеет два решения:
1)

∠CBK = 90° : 2 = 45°
∠MBK = ∠MBC + ∠CBK = 120° + 45° = 165°
2)

∠CBK = 90° : 2 = 45°
∠MBK = ∠MBC − ∠CBK = 120° − 45° = 75°

Задание № 496

Задача от мудрой совы. В один ряд расположены 1000 фишек. Любые две фишки, расположенные через одну, разрешается поменять местами. Можно ли переставить фишки в обратном порядке?

Решение

Нет, нельзя. По условию, местами можем поменять или только четные, или только нечетные фишки. Последняя фишка: 1000 − четная, первая: 1 − нечетная, поэтому они не могут поменяться местами.

92

Страница 92

Ответы к параграфу 15. Нахождение числа по заданному значению его дроби

Задание № 497

Найдите число, если:
1) 1/3;
2) 1/4;
3) 0,4;
4) 4/9;
5) 12/13;
6) 24/25 его равняется 48.

Решение

Задание № 498

Найдите число, если:
1) 1/2;
2) 0,2;
3) 2/3;
4) 7/8;
5) 8/11;
6) 14/13 его равняется 56.

Решение

Задание № 499

Найдите число:
1) 3/4 которого равны 12;
2) 6/13 которого равны 24;
3) 7/9 которого равны 63;
4) 0,9 которого равны 81;
5) 9/7 которого равны 7 1/14;
6) 5/7 которого равны 5/7.

Решение

Задание № 500

Найдите число:
1) 8/15 которого равны 40;
2) 5/27 которого равны 4 4/9;
3) 15/8 которого равны 120;
4) 3/5 которого равны 9/10.

Решение

Задание № 501

Найдите число, если:
1) 24% этого числа равны 48;
2) 75% этого числа равны 1/4;
3) 3 1/3% этого числа равны 5;
4) 108% этого числа равны 86,4.

Решение

1) 48 : 24% = 48 : 0,24 = 200

2) $\frac14:75\%=\frac14:\frac{75}{100}=\frac14:\frac43=\frac13$

3) $5:3\frac13\%=5:(\frac{10}3\ast\frac1{100})=5:\frac1{30}=5\ast330=150$

4) 86,4 : 108% = 86,4 : 1,08 = 80

Задание № 502

Найдите число, если:
1) 13% этого числа равны 52;
2) 80% этого числа равны 3/5.

Решение

1) Одно из двух слагаемых равно 320, что составляет 40/51 их суммы. Найдите второе слагаемое.
2) Найдите разность двух чисел, если вычитаемое равно 49, что составляет 7/12 уменьшаемого.

Решение

Найдите значение выражения:

1) $\frac59+\frac49\ast3\frac16\ast(\frac4{19}+1\frac5{38}-\frac{75}{76})=\frac59+\frac49\ast\frac{19}6\ast(\frac{16}{76}+\frac{86}{76}-\frac{75}{76})=\frac59+\frac49\ast\frac{19}6\ast\frac{27}{76}=\frac59+\frac11\ast\frac12\ast\frac11=\frac59+\frac12=\frac{10}{18}+\frac9{18}=\frac{19}{18}=1\frac1{18}$

2) $(1\frac5{54}-\frac{11}{36})\ast3\frac35\ast2\frac27-1\frac27\ast1\frac59=(\frac{118}{108}-\frac{33}{108})\ast\frac{18}5\ast\frac{16}7-\frac97\ast\frac{14}9=\frac{85}{108}\ast\frac{18}5\ast\frac{16}7-\frac11\ast\frac21=\frac{17}3\ast\frac11\ast\frac87-2=\frac{136}{21}-2=6\frac{10}{21}-2=4\frac{10}{21}$

Задание № 534

Решите уравнение:
1) 2/3 x = 1;
2) 5x = 1/6;
3) 4x = 1/4;
4) 7x = 20.

Решение

Задание № 535

Найдите координату точки A (рис.11).

Решение

а) $A(\frac16)$
б) $A(\frac78)$
в) $A(\frac{11}{12})$

97

Страница 97

Задание № 536

Вместо звездочек поставьте такие цифры, чтобы трехзначное число 8 делилось нацло на 9. Найдите все возможные решения.

Решение

180; 189; 981; 288; 882; 387; 783; 486; 684; 585.

Задание № 537

Из чисел 20, 45, 50, 64, 505 выберите те, разложение которых на простые множители содержит только числа 2 и 5.

Решение

20; 50; 125; 64.

Задание № 538

Можно ли несократимую дробь со знаменателем 3 привести к дроби со знаменателем 10? 100? 1000? Ответ обоснуйте.

Решение

Нет. Числа: 10; 100; 1000 не являются кратными числу 3.

Задание № 539

Задача от мудрой совы. После того как кусок мыла, имеющего форму прямоугольного параллелепипеда, использовали для стирки семь раз, его длина, ширина и высота уменьшились вдвое. На сколько стирок хватит оставшегося куска мыла?

Решение задачи

Наглядно кусок мыла можно представить так:

Если каждую сторону поделить пополам и убрать лишние кубики (их 7), останется 1 из 8. Если 7 кубиков хватило на 7 стирок, то 1-го кубика хватит на 1 стирку.

1) 2 * 2 * 2 = в 8 раз после семи стирок уменьшился объем мыла, следовательно осталось 1/8 объема мыла.
2) $1-\frac18=\frac78$ объема мыла истратили за семь стирок.
3) $\frac78:7=\frac78\ast\frac17=\frac18$ объема мыла тратится за одну стирку, следовательно остатка мыла хватит на одну стирку.
Ответ: на 1 стирку.

99

Страница 99

Ответы к параграфу 16. Преобразование обыкновенной дроби в десятичную

Задание № 540

Какие из данных обыкновенных дробей можно преобразовать в десятичные:
1) 4/5;
2) 2/3;
3) 7/8;
4) 13/400;
5) 9/125;
6) 18/150.

Решение

Задание № 541

Какие из данных обыкновенных дробей можно преобразовать в десятичные:
1) 11/16;
2) 17/200;
3) 5/12;
4) 14/625;
5) 23/600;
6) 84/140.

Решение

Задание № 542

Преобразуйте в десятичную дробь:
1) 13/20;
2) 3/25;
3) 9/40;
4) 7/16;
5) 97/80;
6) 42/15.

Решение

1) $\frac{13}{20}=\frac{13\ast5}{20\ast5}=\frac{65}{100}=0,65$

2) $\frac3{25}=\frac{3\ast4}{25\ast4}=\frac{12}{100}=0,12$

3) $\frac9{40}=\frac{9\ast25}{40\ast25}=\frac{225}{1000}=0,225$

4) $\frac7{16}=\frac{7\ast625}{16\ast625}=\frac{4375}{10000}=0,4375$

5) $\frac{97}{80}=\frac{97\ast125}{80\ast125}=\frac{12125}{10000}=1,2125$

6) $\frac{42}{15}=\frac{14}5=\frac{28}{10}=2,8$

Задание № 543

Преобразуйте в десятичную дробь:
1) 3/8;
2) 32/125;
3) 159/200;
4) 1/25;
5) 53/50;
6) 56/175.

Решение

1) $\frac38=\frac{3\ast125}{8\ast125}=\frac{375}{1000}=0,375$

2) $\frac{32}{125}=\frac{32\ast8}{125\ast8}=\frac{256}{1000}=0,256$

3) $\frac{159}{200}=\frac{159\ast5}{200\ast5}=\frac{795}{1000}=0,795$

4) $\frac1{25}=\frac{1\ast4}{25\ast4}=\frac4{100}=0,04$

5) $\frac{53}{50}=\frac{53\ast2}{50\ast2}=\frac{106}{100}=1,06$

6) $\frac{56}{175}=\frac8{25}=\frac{32}{100}=0,32$

Задание № 544

Преобразуйте обыкновенные дроби в десятичные и вычислите :
1) 0,29 + 6/25;
2) 4 5/8 − 3,94;
3) 8,22 − 4 7/50;
4) 15,63 + 1 9/16.

Решение

Страница 102

Ответы к параграфу 17. Бесконечные периодические десятичные дроби

Задание № 550

Прочитайте периодическую дробь и назовите ее период:
1) 0,(5);
2) 2,4(3);
3) 0,0(2);
4) 0,(32);
5) 1,(976);
6) 9,0(45);
7) 0,444...;
8) 3,424242...;
9) 0,567567...;
10) 0,137474...;
11) 4,101010...;
12) 2,1231212....

Решение

1) 0 целых 5 в периоде, период 5.
2) 2 целых 4 десятых и 3 в периоде, период 3.
3) 0 целых 2 сотых в периоде, период 2.
4) 0 целых 32 в периоде, период 32.
5) 1 целая 976 в периоде, период 976.
6) 9 целых 0 десятых 45 в периоде, период 45.
7) 0 целых 4 в периоде, период 4.
8) 3 целых 42 в периоде, период 42.
9) 0 целых 567 в периоде, период 567.
10) 0 целых 13 сотых и 74 в периоде, период 74.
11) 4 целых 10 в периоде, период 10.
12) 2 целых 123 тысячных и 12 в периоде, период 12.

Задание № 551

Запишите в виде бесконечной периодической десятичной дроби частное:
1) 1 : 9;
2) 4 : 11;
3) 47 : 12;
4) 12,4 : 27.

Решение

1) $1:9=\frac19=0,(1)$
2) $4:11=\frac4{11}=0,(36)$
3) $47:12=\frac{47}{12}=3,91(6)$
4) $12,4:27=\frac{124}{270}=0,4(592)$

Задание № 552

Запишите в виде бесконечной периодической десятичной дроби частное:
1) 5 : 6;
2) 19 : 11;
3) 86 : 15;
4) 6,32 : 18.

Решение

1) $5:6=\frac56=0,8(3)$
2) $19:11=\frac{19}{11}=1,(72)$
3) $86:15=\frac{86}{15}=5,7(3)$
4) $6,32:18=\frac{632}{1800}=0,35(1)$

Задание № 553

Преобразуйте обыкновенную дробь в бесконечную периодическую десятичную дробь и укажите ее период:
1) 7/9;
2) 11/30;
3) 13/18;
4) 31/33;
5) 49/54.

Решение

1) $\frac79=0,(7)$

2) $\frac{11}{30}=0,3(6)$

3) $\frac{13}{18}=0,7(2)$

4) $\frac{31}{33}=0,(93)$

5) $\frac{49}{54}=0,9(074)$

Задание № 554

Преобразуйте обыкновенную дробь в бесконечную периодическую десятичную дробь и укажите ее период:
1) 5/12;
2) 11/15;
3) 9/11;
4) 19/36;
5) 39/44.

Решение

1) $\frac5{12}=0,41(6)$

2) $\frac{11}{15}=0,7(3)$

3) $\frac9{11}=0,(81)$

4) $\frac{19}{36}=0,52(7)$

5) $\frac{39}{44}=0,88(63)$

103

Страница 103

Задание № 555

Сравните дроби, записав предварительно обыкновенные дроби в виде десятичной дроби или бесконечной периодической десятичной дроби:
1) 1/6 и 0,2;
2) 4/7 и 5/8;
3) 22/7 и 3,14;
4) 5/13 и 387/1000.

Решение

1) $\frac16=0,1(6)<0,2$

2) $\frac47=0,(571428)<\frac58=0,625$

3) $\frac{22}7=3,(142857)>3,14$

4) $\frac5{13}=0,(384615)<\frac{387}{1000}=0,387$

Задание № 556

Сравните дроби, записав предварительно обыкновенные дроби в виде десятичной дроби или бесконечной периодической десятичной дроби:
1) 3/11 и 0,269;
2) 7/9 и 77/100;
3) 11/12 и 19/20;
4) 47/15 и 119/36.

Решение

1) $\frac3{11}=0,(27)>0,269$

2) $\frac79=0,(7)>\frac{77}{100}$

3) $\frac{11}{12}=0,91(6)<\frac{19}{20}=0,95$

4) $\frac{47}{15}=3,1(3)<\frac{119}{36}=3,30(5)$

Задание № 557

Найдите значение выражения:

1) $\frac5{16}:1,25\ast0,36:1\frac45=\frac5{16}:\frac54\ast\frac9{25}:\frac95=\frac5{16}\ast\frac45\ast\frac9{25}\ast\frac59=\frac14\ast\frac11\ast\frac15\ast\frac11=\frac1{20}$

2) $\frac78:(0,75\ast\frac{14}{15}:1,2)=\frac78:(\frac34\ast\frac{14}{15}:\frac65)=\frac78:(\frac12\ast\frac75\ast\frac56)=\frac78:(\frac12\ast\frac71\ast\frac16)=\frac78:\frac7{12}=\frac78\ast\frac{12}7=\frac12\ast\frac31=\frac32=1\frac12$

Задание № 558

Из двух городов расстояние между которыми 108 км, одновременно навстречу друг другу выехали царь Салтан и царевич Гвидон. Карета царя Салтана двигалась со скоростью 10 км/ч, что составляло 5/7 скорости, с которой на коне ехал царевич Гвидон. Через сколько часов после выезда они встретятся?

Решение

1) $10:\frac57=10\ast\frac75=2\ast7=14$ км/ч скорость кареты;
2) 14 + 10 = 24 км/ч скорость приближения;
3) $108:24=\frac{108}{24}=\frac92=4\frac12$ (ч) или 4,5 часа - через столько часов карета царя Салтана встретится с царевичем Гвидоном.
Ответ: через 4,5 часа.

Задание № 559

Округлите дроби:
1) 9,486; 12,78; 0,5498; 10,333; 1,89 до десятых;
2) 3,405; 4,326; 82,2048; 0,2349; 0,999 до сотых;
3) 0,6372; 2,2981; 6,55555; 4,6767 до тысячных.

Решение

1)
9,486 ≈ 9,5;
12,78 ≈ 12,8;
0,5498 ≈ 0,5;
10,333 ≈ 10,3;
1,89 ≈ 1,9.
2)
3,405 ≈ 3,41;
4,326 ≈ 4,33;
82,2048 ≈ 82,20;
0,2349 ≈ 0,23;
0,999 ≈ 1,00.
3)
0,6372 ≈ 0,637;
2,2981 ≈ 2,298;
6,55555 ≈ 6,556;
4,6767 ≈ 4,677.

Задание № 560

Задача от мудрой совы. На доске написаны числа 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0. Разрешается к любым двум записанным числам прибавить одно и то же натуральное число. Можно ли, выполнив такую операции. несколько раз, достичь того, чтобы все записанные числа оказались равными?

Решение

Нет. Сумма всех чисел, написанных на доске, не четна. При прибавлении того же числа она будет оставаться нечетной. Чтобы все числа стали равны, сумма должна быть четной.

Найдите десятичное приближение до сотых корня уравнения:
1) 9x = 5;
2) 8 : x = 125;
3) 3x = 4;
4) 2/7 x = 1 1/6.

Решение

Задание № 569

Найдите десятичное приближение до сотых корня уравнения:
1) 12x = 7;
2) 5 : x = 8;
3) 7x = 16;
4) 3/8 x = 1 9/16.

Решение

106

Страница 106

Задание № 570 с ответами

Страница 114

Глава 3. Отношения и пропорции
Ответы к параграфу 19. Отношения

Задание № 586

Расстояние между городами Яблоневое и Грушевое равно 240 км. Каким будет расстояние между этими городами на карте с масштабом 1 : 600000?

Решение

Размеры участка прямоугольной формы составляют 48 м и 30 м. Начертите в тетради план этого участка в масштабе 1 : 600.

Решение

48 м = 4800 см;
$\frac{4800}{600}=8$ (см) длина участка на плане.
30 м = 3000 см;
$\frac{3000}{600}=5$ (см) ширина участка на плане.

Задание № 595

На плане, масштаб которого равен 1 : 15000, длина прямоугольного участка равна 12 см, а ширина − 8 см. Сколько тонн семян пшеницы надо, чтобы засеять этот участок, если на 1 га земли высевают 0,24 т семян?

Решение

1) 12 * 15000 = 180000 (см) - длина участка на местности;
180000 см = 1800 м
2) 8 * 15000 = 120000 (см) - ширина участка на местности;
120000 см = 1200 м
3) 1800 * 1200 = 2160000 ($м^2$) - площадь участка на местности;
2160000 $м^2$ = 216 га
4) 216 * 0,24 = 51,84 (т) - семян пшеницы надо, чтобы засеять этот участок.
Ответ: 51,84 тонны семян.

Задание № 596

Расстояние между селениями Приречное и Приозерное на местности составляет 288 км, а на карте − 9,6 см. Какое расстояние между селениями Кленовое и Калиновое на этой же карте, если расстояние на местности между ними равно 324 км?

Решение

288 км = 288000000 мм;
9,6 см = 96 мм.
$\frac{96}{288000000}=\frac1{3000000}$ масштаб карты.
324 км = 32400000 см.
$\frac{32400000}{3000000}=\frac{324}{30}=\frac{108}{10}=10,8$ см расстояние между селениями Кленовое и Калиновое на этой карте.
Ответ: 10,8 см.

116

Страница 116

Задание № 597

Расстояние между селами Рябиновка и Ольшанка на местности равно 98 км, а на карте − 4,9 см. Расстояние между селами Крапивня и Камышовое на этой же карте равно 7,6 см. Какое расстояние между селами Крапивня и Камышовое на местности?

Решение

98 км = 98000000 мм;
4,9 см = 49 мм.
$\frac{49}{98000000}=\frac1{2000000}$ - масштаб карты;
7,6 * 2000000 = 15200000 (см) - расстояние между селами Крапивня и Камышовое на местности.
15200000 см = 152 км
Ответ: 152 км.

Задание № 598

Число 414 кратно числу 18. Найдите:
1) три числа, следующих за 414 и кратных 18;
2) два числа, предыдущих 414 и кратных 18.

Запишите в виде пропорции утверждение:
1) 2 относится к 7, как 6 относится к 21;
2) отношение 7,2 к 0,8 равно отношению 0,09 к 0,01;
3) 2/3 относится к 1 1/9, как 4/21 относится к 20/63.

Решение

1) 2 : 7 = 6 : 21
2) 7,2 : 0,8 = 0,09 : 0,01
3) $\frac23:1\frac19=\frac4{21}:\frac{20}{63}$

Задание № 604

Вычислив данные отношения, установите, можно ли из них составить пропорцию:
1) 2,8 : 0,7 и 152 : 38;
2) 6/11 : 3/22 и 12/17 : 5/34.
В случае утвердительного ответа запишите эту пропорцию.

Решение

1) 2,8 : 0,7 = 4;
152 : 38 = 4;
4 = 4, следовательно пропорцию:
2,8 : 0,7 = 152 : 38 составить можно.
2) $\frac6{11}:\frac3{22}=\frac6{11}\ast\frac{22}3=\frac21\ast\frac21=4$
$\frac{12}{17}:\frac5{34}=\frac{12}{17}\ast\frac{34}5=\frac{12}1\ast\frac25=\frac{24}5=4\frac45$
$4\neq4\frac45$
пропорцию составить нельзя.

Задание № 605

Вычислив данные отношения, установите, можно ли из них составить пропорцию:
1) 15 : 1,8 и 15/16 : 3/20;
2) 5 1/4 : 3 1/16 и 1 11/19 : 35/38.
В случае утвердительного ответа запишите эту пропорцию.

Решение

120

1) Пусть x костюмов можно сшить из 84 м ткани.

$\frac{14}x=\frac{49}{84}$
4x = 14 * 84
$x=\frac{14\ast84}{49}$
$x=\frac{2\ast12}1$
x = 24
Значит, 24 костюма можно сшить из 84 м ткани.
Ответ: 24 костюма.

2) Пусть за x часов в бассейн нальется 288 л воды.

$\frac7x=\frac{224}{288}$
224x = 7 * 288
$x=\frac{7\ast288}{224}$
$x=\frac{1\ast72}8$
x = 9
Значит, 9 часов в бассейн будет наливаться 288 л воды.
Ответ: 9 часов.

3) Пусть x кг крахмала получат из 420 кг картофеля.

$\frac{27}x=\frac{150}{420}$
150x = 27 * 420
$x=\frac{27\ast420}{150}$
$x=\frac{27\ast14}5$
$x=\frac{378}5$
$x=\frac{756}{10}=75,6$
Значит, 75,6 кг крахмала получат из 420 кг картофеля.
Ответ: 75,6 кг крахмала.

Пусть x кг картофеля необходимо, чтобы получить 30,6 кг крахмала.

$\frac{27}{30,6}=\frac{150}x$
27x = 30,6 * 150
$x=\frac{30,6\ast150}{27}$
$x=\frac{3,4\ast50}1$
x = 170
Значит, 170 кг картофеля необходимо, чтобы получить 30,6 кг крахмала.
Ответ: 170 кг картофеля.

4) Пусть x яблонь растет в саду.
К-во деревьев Проценты
320 д 100 %
х д 40 %
$\frac{320}x=\frac{100}{40}$
100x = 320 * 40
$x=\frac{320\ast40}{100}$
$x=\frac{32\ast4}1$
x = 128
Значит, 128 яблонь растет в саду
Ответ: 128 яблонь.

5) Пусть x килограммов раствора необходимо взять, чтобы он содержал 96 кг соли.

$\frac{100}{24}=\frac x{96}$
24x = 100 * 96
$x=\frac{100\ast96}{24}$
$x=\frac{100\ast4}1$
x = 400
Значит, 400 килограммов раствора необходимо взять, чтобы он содержал 96 кг соли.
Ответ: 400 кг.

121

Страница 121

Задание № 620 с ответами

Решите уравнение:

122

$10:8=\frac{10}8=\frac54$ , то есть в 5/4 раза скорость мальчика из Заозерного больше, чем скорость мальчика из Заречного;
$18\ast\frac54=9\ast\frac52=\frac{45}2=22,5$ , то есть через 22,5 минуты после своего выхода из Заозерного второй мальчик придет в Заречное.
Ответ: через 22,5 минуты.

Задание № 629 с ответами

Найдите значение выражения:

1) $(3\frac13+2,5)\ast(4,6-2\frac13)=(3\frac13+2\frac12)\ast(4\frac35-2\frac13)=(3\frac26+2\frac36)\ast(4\frac9{15}-2\frac5{15})=5\frac56\ast2\frac4{15}=\frac{35}6\ast\frac{34}{15}=\frac73\ast\frac{17}3=\frac{119}9=13\frac29$

2) $(4,5\ast1\frac23-6,75)\ast(1\frac13)^3=(\frac92\ast\frac53-6\frac34)\ast(\frac43\ast\frac43\ast\frac43)=(7\frac12-6\frac34)\ast\frac{64}{27}=(6\frac64-6\frac34)\ast\frac{64}{27}=\frac34\ast\frac{64}{27}=\frac11\ast\frac{16}9=1\frac79$

Задание № 630

В саду растет 56 деревьев, из них 14 деревьев составляют яблони. Какую часть деревьев сада составляют яблони?

Решение

$\frac{14}{56}=\frac14$ (часть)
Ответ: $\frac14$ часть деревьев сада составляют яблони.

123

Страница 123

Задание № 631

В саду растет 56 деревьев, из них 14 деревьев составляют яблони, а остальные деревья − груши. Какую часть от количества груш составляет количество яблонь?

Решение

56 − 14 = 42 груш растет в саду;
$\frac{14}{42}=\frac13$ (часть)
Ответ: $\frac13$ часть от количества груш составляет количество яблонь.

Задание № 632

Задача от мудрой совы. На столе лежат четыре черные палочки разной длины, причем сумма их длин равна 40 см, и пять белых палочек, сумма длин которых также равна 40 см. Можно ли разрезать те и другие палочки так, чтобы потом расположить их парами, в каждой из которых длины палочек будут одинаковыми, а цвета разными?

Решение

Да, можно.
Сначала смотрим, есть ли среди палочек одинаковые по длине, но разного цвета. Если да, откладываем их в пару. Теперь выбираем самую короткую палочку одного цвета и обрезаем до нужной длины короткую палочку другого цвета. Откладываем их в пару. Продолжаем действовать таким же образом до последней пары палочек.

125

Страница 125

Задание № 633

Сколько процентов числа составляет его:
1) половина;
2) четверть;
3) десятая часть;
4) пятая часть?

Решение

1) 1/2 * 100 = 50 (%)
2) 1/4 * 100 = 25 (%)
3) 1/10 * 100 = 10 (%)
4) 1/5 * 100 = 20 (%)

Задание № 634

Сколько процентов составляет:
1) число 4 от числа 8;
2) число 2 от числа 10;
3) число 12 от числа 48;
4) число 45 от числа 300;
5) число 64 от числа 400;
6) число 138 от числа 120.

Решение

Задание № 635

Сколько процентов число 40 составляет от числа:
1) 100;
2) 80;
3) 160;
4) 10?

Решение

Задание № 636

1) Вика прочитала 169 страниц книги, в которой 260 страниц. Сколько процентов страниц книги прочитала Вика?
2) У Маши было 340 р. За 238 р. она купила подарок маме. Какой процент денег истратила Маша на подарок?
3) Найдите процент содержания олова в руде, если 80 т этой руды содержит 6,4 т олова?
4) За каникулы Витя планировал решить 60 задач по математике, а решил 102 задачи. На сколько процентов Витя выполнил "план по решению задач"?
5) Определите процент содержания сахара в растворе, если 250 г раствора содержит 115 г сахара.

Решение

Задание № 637

1)Из 36 учеников 6 класса девять учащихся получили за контрольную работу по математике оценку "5". Сколько процентов учащихся получили оценку "5"?
2) Найдите процент содержания соли в растворе, если 400 г раствора содержат 34 г соли?
3) Посеяли 240 семян, из которых взошло 228. Найдите процент всхожести семян.

Решение

126

Страница 126

Задание № 638

На сколько процентов изменилось значение величины, если она изменилась:
1) от 3 кг до 6 кг;
2) от 2 м до 3 м;
3) от 40 к. до 70 к.;
4) от 80 м до 72 м;
5) от 100 р. до 115 р.;
6) от 60 мин до 42 мин?

Решение

1) 6 − 3 = 3 величина изменения значения;
3/3 * 100 = 100 (%)

2) 3 − 2 = 1 величина изменения значения;
1/2 * 100 = 50 (%)

3) 70 − 40 = 30 величина изменения значения;
30/40 * 100 = 75 (%)

4) 80 − 72 = 8 величина изменения значения;
8/80 * 100 = 10 (%)

5) 115 − 100 = 15 величина изменения значения;
15/100 * 100 = 15 (%)

6) 60 − 42 = 18 величина изменения значения;
18/60 * 100 = 30 (%)

Задание № 639

1) Цена товара повысилась со 140 р. до 175 р. На сколько процентов повысилась цена товара?
2) Цена товара снизилась со 175 р. до 140 р. На сколько процентов снизилась цена товара?

Решение

1) 175 − 140 = 35 рублей величина повышения цены товара;
35/140 * 100 = 1/4 * 100 = 25 (%), то есть на 25% повысилась цена товара.

2) 175 − 140 = 35 рублей величина снижения цены товара;
35/175 * 100 = 1/5 * 100 = 20 (%), то есть на 20% понизилась цена товара.

Решение через пропорции

1)
140 р. - 100 %
175 р. - х %
140/175 = 100/х
140х = 100 * 175
х = 17500/140
х = 125
125 - 100 = 25 (%)
Ответ: на 25% повысилась цена товара.

2)
175 р. - 100 %
140 р. - х %
175/140 = 100/х
175х = 100 * 140
х = 14000/175
х = 80
100 - 80 = 20 (%)
Ответ: на 20% понизилась цена товара.

Задание № 640

Известно, что 380 кг руды первого вида содержит 68,4 кг железа, а 420 кг руды второго вида − 96,6 кг железа. В какой руде, первого или второго вида, выше процентное содержание железа?

Решение

68,4/380 * 100 = 684/38 = 18 (%) - содержание железа в руде первого вида;
96,6/420 * 100 = 966/42 = 23 (%) - содержание железа в руде второго вида;
23 − 18 = 5 (%) - на столько содержание железа в руде второго вида больше содержания железа в руде первого вида.
Ответ: на 5% содержание железа в руде второго вида больше.

Задание № 641

Известно, что 280 г первого раствора содержит 98 г соли, а 220 г второго раствора − 88 г соли. В каком растворе, первом или втором, выше процентное содержание соли?

Решение

98/280 * 100 = 7/20 * 100 = 7 * 5 = 35 (%) - содержание соли в первом растворе;
88/220 * 100 = 2/5 * 100 = 2 * 20 = 40 (%) - содержание соли во втором растворе;
40 − 35 = 5 (%) - содержание соли в первом растворе больше содержания соли во втором растворе.
Ответ: на 5 %.

Задание № 642

По данным на первое полугодие 2009 г., общая численность населения Российской Федерации составляла 141,91 млн. человек, из них 103,71 млн − жители городов. Сколько процентов всего населения России составляет городское население? Ответ округлите до десятых.

Решение

103,71/141,91 * 100 = 10371/14191 * 100 ≈ 73,1 (%) населения России составляет городское население.
Ответ: 73,1%.

Задание № 643

Костюм стоил 1800 р. Сначала его цену повысили на 20%, а потом новую цену снизили на 10%. Какой стала цена костюма после этих изменений? На сколько процентов изменилась начальная цена костюма?

Решение

1800 р. - 100 %
х р. - 20 %
1800/х = 100/20
100х = 1800 * 20
х = 360
1800 + 360 = 2160 (р.) - цена после повышения на 20 %

2160 р. - 100 %
х р. - 10 %
2160/х = 100/10
100х = 2160 *10
х = 216
2160 - 216 = 1944 (р.) - стал стоить костюм после понижения цены
1944 − 1800 = 144 (р.) - величина изменения начальной цены костюма;
144/1800 * 100 = 12/150 * 100 = 2/25 * 100 = 8 (%),
Ответ: на 8 % изменилась начальная цена костюма.

Задание № 644

$\frac38;1\frac15;9\frac16;9\frac18$

Задание № 657

Из городов Солнечный и Счастливый одновременно навстречу друг другу отправились пешеход и велосипедист, которые встретились через 2 ч после начала движения. Через 4 ч после встречи пешеход прибыл в город Счастливый. Сколько времени затратил велосипедист на путь из Счастливого в Солнечный?

Решение

Задание № 661

За некоторое время поезд прошел 320 км. Какое расстояние пройдет поезд за то же время, если его скорость:
1) увеличить в 3 раза;
2) уменьшить в 4 раза.

Решение

1) 320 * 3 = 960 (км) пройдет поезд при увеличении скорости в 3 раза.
2) 320 : 4 = 80 (км) пройдет поезд при уменьшении скорости в 4 раза.

Задание № 662

Площадь прямоугольника равна 60 см². Какой станет его площадь, если ширина останется без изменений, а длину:
1) увеличить в 5 раз;
2) уменьшить в 12 раз?

Решение

1) 60 * 5 = 300 (см²) станет площадь прямоугольника после увеличения его длины в 5 раз.
2) 60 : 12 = 5 (см²) станет площадь прямоугольника после уменьшения его длины в 12 раз.

Задание № 663

За несколько метров ткани заплатили 540 р. Сколько надо было бы заплатить за такую ткань, если бы ее купили:
1) в 6 раз меньше;
2) в 2 раза больше?

Решение

1) 540 : 6 = 90 (р.) надо было бы заплатить за такую ткань, если бы ее купили в 6 раз меньше.
2) 540 * 2 = 1080 (р.) надо было бы заплатить за такую ткань, если бы ее купили в 2 раза больше.

Задание № 664

Двое рабочих изготовили за некоторое время 24 детали.
1) Скольким рабочим необходимо работать, чтобы за то же время изготовить 48 деталей; 120 деталей?
2) Сколько деталей изготовят эти двое рабочих за время в 3 раза большее? в 4 раза меньшее?
Дайте ответы на поставленные вопросы, считая, что производительность труда всех рабочих одинакова.

Решение

1) Пусть x рабочих изготовили 48 деталей.
↓ 2 р. - 24 д. ↓
х р. - 48 д.
$\frac2x=\frac{24}{48}$
24x = 48 * 2
x = 96 : 24
x = 4 рабочим необходимо работать, чтобы за то же время изготовить 48 деталей.

Пусть x рабочих изготовили 120 деталей.
↓ 2 р. - 24 д. ↓
х р. - 120 д.
$\frac2x=\frac{24}{120}$
24x = 120 * 2
x = 240 : 24
x = 10
Значит, 10 рабочим необходимо работать, чтобы за то же время изготовить 120 деталей.
Ответ: 10 рабочим.

2) 24 * 3 = 72 детали изготовят эти двое рабочих за время в 3 раза большее;
24 : 4 = 6 деталей изготовят эти двое рабочих за время в 4 раза меньшее.

Задание № 665

В таблице приведены соответствующие значения величин x и y. Установите, являются ли эти величины прямо пропорциональными.

Решение

135

Страница 135

Задание № 666

Автомобиль проезжает некоторое расстояние за 10 ч. За какое время он проедет это же расстояние если его скорость:
1) увеличится в 2 раза;
2) уменьшится в 1,2 раза?

Решение

1) 10 : 2 = 5 (ч)
2) 10 * 1,2 = 12 (ч)
Ответ: за 5 ч, за 12 ч.

Задание № 667

Длина прямоугольника равна 30 см. Какой станет длина, если при неизменной площади ширину прямоугольника:
1) увеличить в 1,5 раза;
2) уменьшить в 3,2 раза?

Решение

1) 30 : 1,5 = 20 см
2) 30 * 3,2 = 96 см

Задание № 668

Заполните таблицу, если величина y прямо пропорциональна величине x.

Решение

9,6 : 3,2 = 3, то есть 3x = y, тогда:
0,3 * 3 = 0,9;
8 * 3 = 24;
2,7 : 3 = 0,9;
42 : 3 = 14.

Задание № 669

Заполните таблицу, если величина y прямо пропорциональна величине x.

Решение

4 : 1,6 = 2,5, то есть x = 2,5y, тогда:
15 : 2,5 = 6;
8 * 2,5 = 20;
20 * 2,5 = 50;
1,2 : 2,5 = 0,48.

Задание № 670

За m кг конфет заплатили p р. Пользуясь таблицей, определите цену 1 кг конфет. Заполните таблицу:
Задайте формулой зависимость p от m.

Решение

225 : 3 = 75 рублей стоит 1 кг конфет или p = 75m, тогда:
8 * 75 = 600 руб.;
300 : 75 = 4 кг.;
1,2 * 75 = 90 руб.;
60 : 75 = 0,8 кг.

136

Страница 136

Задание № 671

Поезд движется со скоростью 60 км/ч. Заполните таблицу, в первой строке которой указано время движения t, а во второй − пройденный путь s.
Задайте формулой зависимость s от t.

Решение

S = Vt = 60t, тогда:
60 * 2 = 120 км;
0,5 * 60 = 30 км;
90 : 60 = 1,5 ч;
3,2 * 60 = 192 км;
240 : 60 = 4 ч;
156 : 60 = 2,6 ч.

Задание № 672

Пешеход прошел 24 км. Заполните таблицу, в первой строке которой указана скорость пешехода, а во второй − время движения.
Задайте формулой зависимость t от v.

Решение

Задание № 673

Объем прямоугольного параллелепипеда равен 48 см². Заполните таблицу, в первой строке которой указана площадь его основания, а во второй − высота.
Задайте формулой зависимость h от S.

Решение

h = 48/S, тогда:
48 : 16 = 3 (см)
48 : 8 = 6 (см2)
48 : 9,6 = 5 (см)
48 : 240 = 0,2 (см)
48 : 4,8 = 10 (см²)

Задание № 674

Бригада из 15 рабочих может отремонтировать школу за 46 дней. Сколько требуется рабочих, чтобы отремонтировать эту школу за 30 дней, если производительность труда всех рабочих одинакова?

Решение

Пусть x рабочих отремонтирует школу за 30 дней.
↓ 15 р. - 46 д. ↑
х р. - 30 д.
$\frac{15}x=\frac{30}{46}$
30x = 15 * 46
$x=\frac{15\ast46}{30}$
$x=\frac{1\ast46}2$
x = 23
Значит, 23 рабочих могут отремонтировать эту школу за 30 дней.
Ответ: 23 рабочих.

Задание № 675

Геракл заготовил для 240 коней царя Авгия кормов на 19 дней. На сколько дней хватит этих кормов, если коней у царя Авгия станет 304, а все кони потребляют одинаковое количество корма?

Решение

Пусть на х дней хватит кормов для 304 коней
↓ 240 к. - 19 д. ↑
304 к. - х д.
$\frac{240}{304}=\frac x{19}$
304x = 240 * 19
$x=\frac{240\ast19}{304}$
x = 15
Значит, на 15 дней хватит этих кормов 304 коням.
Ответ: на 15 дней.

Задание № 676

Найдите число:
1) половина которого равна 1/6;
2) треть которого равна 1/2;
3) 2/3 которого равны 2/3;
4) 1/4 которого равна 1/8.

Решение

1) $2\ast\frac16=\frac26=\frac13$

2) $3\ast\frac12=\frac32=1\frac12$

3) $\frac32\ast\frac23=1$

4) $4\ast\frac18=\frac48=\frac12$

137

Страница 137

Задание № 677

Масса Земли составляет 182% массы Меркурия, а масса Сатурна − 9401% массы Земли. Сколько процентов массы Меркурия составляет масса Сатурна?

Решение

Пусть масса Меркурия равна x, тогда:
масса Земли = 1,82x;
масса Сатурна = 94,01 * 1,82x = 171,0982x, следовательно:
$\frac{171,0982x}x$ * 100% = 17109,82% массы Меркурия составляет масса Сатурна.
Ответ: 17109,82%.

Задание № 678

Есть четыре цветка: роза, гвоздика, гладиолус и тюльпан. Сколько есть способов составить букет из трех цветков?

Решение

Есть два варианта составления букета:
1 вариант:
Если цветы в букете должны находится в том же порядке как и в условии задачи, тогда при каждом составлении букета из цветов, мы будем убирать поочередно один из предложенных цветов, следовательно есть 4 способа составить букет из трех цветков.
2 вариант:
Если нет разности в каком порядке цветы будут в букете, тогда:
первый цветок в букет можно выбрать из 4 цветков;
второй цветок из оставшихся трёх;
третий цветок из оставшихся двух, тогда:
4 * 3 * 2 = 24
Ответ: существует 24 способа составить букет из трех цветков.

Задание № 679

Задача от мудрой совы. Андрей задумал натуральное число и умножил его на 19. Сережа зачеркнул последнюю цифру числа, полученного Андреем, и в результате получил 32. Какое число задумал Андрей?

Решение

После того, как Сережа зачеркнул последнюю цифру произведения число стало двузначным, значит произведение 19 на какое то число имело вид 32*, то есть было трехзначным.
Только при умножении 19 на 17 результат произведения будет начинаться на 32, следовательно искомое число 17. 19 * 17 = 323.

138

Страница 138

Ответы к параграфу 23. Деление числа в данном отношении

Задание № 680

Разделите:
1) число 138 в отношении 18 : 5;
2) число 70 в отношении 3 : 6 : 8 : 11.

Решение

Задание № 681

Разделите:
1) число 72 в отношении 7 : 11;
2) число 92 в отношении 2 : 3 : 5.

Решение

Задание № 682

Для изготовления сока берут 12 частей ягод и 17 частей воды (все части имеют одинаковую массу). Сколько килограммов ягод необходимо взять, чтобы получить 232 кг сока?

Решение

12 + 17 = 29 (ч.)
$\frac{232}{29}=8$ (кг) весит 1 часть, тогда:
12 * 8 = 96 (кг) ягод
Ответ: 96 кг ягод необходимо взять.

Задание № 683

Для царя Гороха изготовили новую корону из сплава, состоящего из 7 частей золота и 5 частей платины (все части имеют одинаковую массу). Сколько граммов каждого металла взяли, если масса короны равна 2 кг 460 г?

Решение

2 кг 460 г = 2460 г.
7 + 5 = 12 (ч.)
$\frac{2460}{12}=205$ г весит 1 часть короны, тогда:
7 * 205 = 1435 г = 1 кг 435 г золота взяли;
5 * 205 = 1025 г = 1 кг 25 г платины взяли.

139

Страница 139

Задание № 684

Периметр треугольника равен 48 см, а его стороны относятся как 7 : 9 : 8. Найдите стороны треугольника.

Решение

7+9+8 = 24 (ч.)
$\frac{48}{24} * 7 = 14$ (см) - длина первой стороны треугольника;
$\frac{48}{24} * 9 = 18$ (см) - длина второй стороны треугольника;
$\frac{48}{24} * 8 = 16$ (см) - длина третьей стороны треугольника.
Ответ: 14 см, 18 см, 16 см.

Задание № 685

Стороны треугольника относятся как 5 : 7 : 11, а сумма наибольшей и наименьшей сторон равна 80 см. Вычислите периметр треугольника.

Решение

$\frac{80}{5+11}=\frac{80}{16}=5$ (см) длина одной части периметра, тогда:
5 * (5 + 7 + 11) = 5 * 23 = 115 (см) периметр треугольника.
Ответ: 115 см.

Задание № 686

Начертите развернутый угол ABC и проведите луч BD так, чтобы градусные меры углов ABD и CBD относились как 5 : 13.

Решение

$\frac{180}{5+13}=\frac{180}{18}=10$° одна часть развернутого угла ABC;
∠ABD = 5 * 10° = 50°;
∠CBD = 13 * 10° = 130°.

Задание № 687

Начертите угол MKE, градусная мера которого равна 130°. Между сторонами этого угла проведите луч KO так, чтобы градусные меры углов MKO и EKO относились как 19 : 7.

Решение

$\frac{130}{19+7}=\frac{120}{26}=5$° одна часть угла MKE;
∠MKO = 19 * 5° = 95°;
∠EKO = 7 * 5° = 35°.

Задание № 688

Найдите такие значения x и y, чтобы числа x, y и 24 были соответственно пропорциональны числам:
1) 3, 5 и 6;
2) 1/8,1/36 и 1/9.

Решение

1) $\frac{24}6=4$, следовательно:
x = 3 * 4 = 12;
y = 5 * 4 = 20.
2) $24:\frac19=24\ast9=216$
$x=\frac18\ast216=27$
$y=\frac1{36}\ast216=6$

Задание № 689

Найдите такие значения a и b, чтобы числа a, 10 и b были соответственно пропорциональны числам 2, 1/6 и 3/4.

Решение

$10:\frac16=10\ast6=60$
a = 2 * 60 = 120;
$b=\frac34\ast60=3\ast15=45$

Задание № 690

Трое штукатуров работали с одинаковой производительностью труда и получили за выполненную работу 8000 р. Сколько рублей получил каждый штукатур, если первый из них работал 16 ч, второй − 24 ч, а третий − 40 ч?

Решение

$\frac{8000}{16+24+40}=\frac{8000}{80}=100$ (р.) стоимость одного часа работы, тогда:
16 * 100 = 1600 (р.) получил первый штукатур;
24 * 100 = 2400 (р.) получил второй штукатур;
40 * 100 = 4000 (р.) получил третий штукатур.

Задание № 691

Для трех ферм заготовили 540 т сена. Сколько тонн сена требуется доставить на каждую ферму, если на первой ферме 28 коров, на второй − 42 коровы, а на третьей − 65 коров (количество сена для каждой коровы требуется одинаковое)?

Решение

$\frac{540}{28+42+65}=\frac{540}{135}=4$ (т) сена необходимо на одну корову, тогда:
28 * 4 = 112 (т) сена требуется доставить на первую ферму;
42 * 4 = 168 (т) сена требуется доставить на вторую ферму;
65 * 4 = 260 (т) сена требуется доставить на третью ферму.

Найдите значение выражения:

$(1\frac1{12}+1\frac14)\ast1\frac{19}{56}+2\frac58\ast1\frac37\ast1\frac19=(\frac{13}{12}+\frac54)\ast\frac{75}{56}+\frac{21}8\ast\frac{10}7\ast\frac{10}9=(\frac{13}{12}+\frac{15}{12})\ast\frac{75}{56}+\frac12\ast\frac51\ast\frac53=\frac73\ast\frac{75}{56}+4\frac16=\frac11\ast\frac{25}8+4\frac16=3\frac18+4\frac16=3\frac3{24}+4\frac4{24}=7\frac7{24}$

140

Страница 140

Задание № 696

Начертите прямую и отметьте на ней произвольную точку O. Найдите на прямой все точки, удаленные от точки O на 3 см.

Решение

AO = OB = 3 см

Задание № 697

Отметьте на плоскости произвольную точку O. Отметьте четыре точки, удаленные от точки O на 2 см. Сколько еще можно отметить таких точек?

Решение

Таких точек можно отметить бесконечное множество.

Задание № 698

На доске написано число 23. Каждую минуту число стирают и записывают на этом месте новое число, равное произведению цифр старого числа, увеличенного на 12. Какое число будет написано на доске через час?

Решение

Вычислим несколько первых чисел:
1−я минута: 2 * 3 + 12 = 18;
2−я минута: 1 * 8 + 12 = 20;
3−я минута: 2 * 0 + 12 = 12;
4−я минута: 1 * 2 + 12 = 14;
5−я минута: 1 * 4 + 12 = 16;
1 * 6 + 12 = 18, то есть получается, что через каждые 5 минут цикл цифр начинает повторяться.
60 : 5 = 12 ровных циклов пройдет через час, а на доске будет написано число 16.

144

Страница 144

Ответы к параграфу 24. Окружность и круг

Задание 699

Укажите радиус, хорду и диаметр окружности с центром B, изображенной на рисунке 33. Сколько радиусов и сколько хорд изображено на этом рисунке?

Решение

Три радиуса: AB; BK; BM;
Две хорды: MP; MK;
Диаметр: MP.

Задание 700

Какие из точек, обозначенных на рисунке 34:
1) лежат на окружности;
2) принадлежит кругу;
3) не лежат на окружности;
4) не принадлежит кругу?

Решение

1) D; M; C.

2) D; M; C; B; K; O; F.

3) P; E; A; B; K; O; F.

4) P; E; A.

Задание 701

Найдите диаметр окружности, радиус которой равен:
1) 14 см;
2) 4 см 5 мм;
3) 3,6 дм.

Решение

1) 14 см * 2 = 28 см

2) 4 см 5 мм = 45 мм
45 * 2 = 90 мм = 9 см

3) 3,6 дм * 2 = 7,2 дм

Задание 702

Найдите диаметр окружности, радиус которой равен:
1) 8 см;
2) 5 см;
3) 9,2 дм.

Решение

1) 8 см * 2 = 16 см

2) 5 см * 2 = 10 см

3) 9,2 дм * 2 = 18,4 дм

Задание 703

Начертите окружность радиуса 2 см 5 мм с центром M. Вычислите диаметр этой окружности.

Решение

d = 2r = 2,5 см * 2 = 5 см.

Задание 704

Начертите окружность радиуса 3 см 2 мм с центром K. Вычислите диаметр этой окружности.

Решение

d = 2r = 3,2 см * 2 = 6,4 см. = 6 см 4 мм

Задание 705

Отметьте две произвольные точки A и B, измерьте расстояние между ними. Постройте окружность с центром A, проходящую через точку B, и окружность с центром B, проходящую через точку A. Чему равен радиус каждой из построенных окружностей? Отметьте точки пересечения окружностей. Каково расстояние от этих точек до центров окружностей?

Решение

AB = AC = AD = CB = DB = 3 см

Задание 706

Начертите отрезок AB, длина которого равна 5 см. Постройте окружность радиуса 3 см с центром A и окружность радиуса 4 см с центром B. Сколько существует точек пересечения окружностей? Чему равно расстояние от каждой из этих точек до точки A? До точки B?

Решение

Две точки пересечения C и D.
AC = AD = 3 см;
BC = BD = 4 см.

145

Страница 145

Задание 707

Начертите произвольный отрезок AB. Постройте окружность так, чтобы этот отрезок был ее диаметром.

Решение

AB = 5 см.

Задание 708

Найдите периметр четырехугольника O₁AO₂B (рис.35), если радиусы окружностей равны 5 см и 3 см.

Решение

O₁A=O₁B=5см;
O₂A=O2B=3см;
PO₁AO2B=2∗(5+3)=2∗8=16 см.

Начертите окружность с центром O, радиус которой равен 3 см. Проведите луч с началом в точке O и отметьте на нем точку A, удаленную от точки O на 5 см. Проведите окружность с центром в точке A, радиус которой:
1) 2 см;
2) 2 см 5 мм;
3) 1 см 5 мм.
Сколько общих точек имеют окружности в каждом из этих случаев?

Решение

1)

Одна общая точка.

2)

Две общих точки.

3)

Нет общих точки.

Задание 713

Начертите окружность и треугольник так, чтобы стороны треугольника были хордами окружности.

Решение

Задание 714

Начертите окружность, проведите ее диаметр AB, отметьте на окружность точки C и D. Соедините точки C и D c концами диаметра AB и найдите градусные меры углов ACB и ADB.

Решение

∠ACB = 90°;
∠ADB = 90°.

Задание 715

Радиус окружности с центром A равен 9 см, а радиус окружности с центром B − 2 см. Найдите расстояние между центрами этих окружностей (рис.36).

Решение

а) AB = 9 + 2 = 11 см

б) AB = 9 − 2 = 7 см

146

Страница 146

Задание 716

На рисунке 37 OC = 6 см, BD = 2,5 см. Найдите длину отрезка OK.

Решение

OB = OC − BD = 6 − 2,5 = 3,5 см;
OK = OB − BD = 3,5 − 2,5 = 1 см.

Задание 717

Начертите произвольный треугольник. Проведите три окружности так, чтобы стороны треугольника были их диаметрами.

Решение

Задание 718

Начертите квадрат со стороной 3 см. Проведите четыре окружности так, чтобы стороны квадрата были их диаметрами.

Решение

Задание 719

1) Начертите отрезок AB, длина которого равна 3 см. Найдите точку, удаленную от каждого из концов отрезка AB на 2 см. Сколько существует таких точек?
2) Начертите отрезок CD, длина которого равна 3 см 5 мм. Найдите точку, удаленную от точки C на 2 см 5 мм, а от точки D - на 3 см.
Сколько существует таких точек?

Решение

1)

Две точки: C и D;
AC = CB = BD = AD = 2 см.

2)

Две точки: A и B;
AD = DB = 3 см;
AС = СB = 2 см 5 мм.

Задание 720

С помощью циркуля и линейки постройте треугольник со сторонами:
1) 3 см, 3 см и 4 см;
2) 3 см; 4 см и 5 см.

Решение

1) 1 действие: строим отрезок AB = 4 см;
    2 действие: строим две окружности, радиус которых равен 3 см, с центрами в точках A и B.
    3 действие: точку С ставим в одной любой точке пересечения окружностей;
    4 действие: проводим отрезки AC = BC = 3 см.

2) 1 действие: строим отрезок AB = 3 см;
    2 действие: строим окружность, с радиусом равным 4 см, с центром в точке A;
    3 действие: строим окружность, с радиусом равным 5 см, с центром в точке B;
    4 действие: точку С ставим в одной любой точке пересечения окружностей;
    5 действие: проводим отрезки AC = 4 см и BC = 5 см.

Задание 721

С помощью циркуля и линейки постройте треугольник со сторонами:
1) 5 см, 6 см и 4 см;
2) 2 см; 2 см и 2 см.

Решение

1) 1 действие: строим отрезок AB = 6 см;
    2 действие: строим окружность, с радиусом равным 5 см, с центром в точке A;
    3 действие: строим окружность, с радиусом равным 4 см, с центром в точке B;
    4 действие: точку С ставим в одной любой точке пересечения окружностей;
    5 действие: проводим отрезки AC = 5 см и BC = 4 см.

2) 1 действие: строим отрезок AB = 2 см;
    2 действие: строим две окружности, радиус которых равен 2 см, с центрами в точках A и B.
    3 действие: точку С ставим в одной любой точке пересечения окружностей;
    4 действие: проводим отрезки AC = BC = 2 см.

Задание 722

Установите, можно ли построить треугольник со сторонами:
1) 2 см, 6 см и 7 см;
2) 2 см, 6 см и 8 см;
3) 2 см, 6 см и 9 см.

Решение

1) Для того, чтобы построить треугольник, каждая сторона треугольника должна быть меньше суммы двух других сторон.
2 < 6 + 7;
6 < 2 + 7;
7 < 2 + 6, следовательно треугольник с данными сторонами построить можно.

2) Для того, чтобы построить треугольник, каждая сторона треугольника должна быть меньше суммы двух других сторон.
2 < 6 + 8;
6 < 2 + 8;
8 = 2 + 6, следовательно треугольник с данными сторонами построить нельзя.

3) Для того, чтобы построить треугольник, каждая сторона треугольника должна быть меньше суммы двух других сторон.
2 < 6 + 9;
6 < 2 + 9;
9 > 2 + 6, следовательно треугольник с данными сторонами построить нельзя.

Задание 723

В круге с центром O отметили точку M. Как разрезать этот круг:
1) на три части;
2) на две части − так, чтобы из них можно было составить новый круг, в котором отмеченная точка M была бы его центром?

Решение

1) 1 действие:
Необходимо вырезать два круга с центром в точках O и M, причем радиус вырезаемых кругов должен быть меньше радиуса исходного круга более, чем в три раза.

2 действие:
Вырезанные круги необходимо поменять местами.

2) 1 действие:
Необходимо построить круг с центром в точке M и радиусом равным радиусу исходного круга с центром в точке O.

2 действие:
Разрезать круг с центром в точке O по дуге, образованной кругом с центром в точке O.
3 действие:
Отрезанные части приложить друг к другу с обратной стороны.

Задание 724

На торте кондитер расположил семь кремовых розочек (рис.38). Как тремя прямолинейными разрезами разделить торт на семь порций, на каждой из которых была бы одна розочка?

Решение

Задание 725

Вычислите:

1) $7^2=7\ast7=49$

2) $0,4^2=0,4\ast0,4=0,16$

3) $1,2^2=1,2\ast1,2=1,44$

4) $(\frac13)^2=\frac13\ast\frac13=\frac19$

5) $(2\frac29)^2=\frac{20}9\ast\frac{20}9=\frac{400}{81}=4\frac{76}{81}$

147

Страница 147

Задание 726

В первый день продали 500 кг яблок, а во второй − 420 кг. На сколько процентов меньше продали яблок во второй день, чем в первый?

Решение

$\frac{420}{500}$ * 100% = $\frac{420}{5}$ = 84% составляют продажи во второй день от продаж в первый день.
100% − 84% = 16%, то есть на 16% меньше продали яблок во второй день, чем в первый.

Задание 727

Вычислите:

$(6,8-5\frac59):(2\frac{13}{30}-2\frac1{12})\ast3,6=(6\frac45-5\frac59):(2\frac{26}{60}-2\frac5{60})\ast\frac{18}5=(6\frac{36}{45}-5\frac{25}{45}):\frac7{20}\ast\frac{18}5=\frac{56}{45}:\frac7{20}\ast\frac{18}5=\frac{56}{45}\ast\frac{20}7\ast\frac{18}5=\frac85\ast\frac41\ast\frac21=\frac{64}5=12\frac45$

Задание 728

У командира в подчинении находятся трое солдат. Сколько существует способов расставить их на три поста?

Решение

Первого солдата можно поставить на любой из 3 постов (3 способа),
Второго солдата можно поставить на любой из 2 оставшихся постов (2 способа),
Третьего солдата можно поставить на один оставшийся свободным пост (1 способ), тогда:
3 * 2 * 1 = 6, то есть существует 6 способов чтобы расставить трех солдат на три поста.

Задание 729

Диагональ AC квадрата ABCD увеличили в 3 раза и построили квадрат AMKN (рис. 39). Во сколько раз периметр квадрата AMKN больше периметра квадрата ABCD?

Решение

Пусть сторона квадрата ABCD = x, тогда сторона квадрата AMKN = 3x, тогда:
PABCD=4x;
PAMKN=4∗3x=12x;
$\frac{P_{AMKN}}{P_{ABCD}}=\frac{12x}{4x}=3$, то есть в 3 раза периметр квадрата AMKN больше периметра квадрата ABCD.

Задание 730

Дети собирали в лесу грибы. Выйдя из леса, они построились парами − мальчик с девочкой, причем у мальчика грибов или вдвое больше, или вдвое меньше, чем у девочки. Возможно ли, что все дети вместе собрали 500 грибов?

Решение

Допусти у мальчика x грибов, тогда у девочки 2x грибов, а у них вместе:
x + 2x = 500
3х = 500
x=500/3, а так как 500 не делится нацело на 3, значит невозможно чтобы вместе дети набрали 500 грибов.

Найдите длину дуги, составляющей 0,6 окружности, радиус которой равен 3,5 см.

Решение

l = 2πr = 2 * 3,14 * 3,5 = 21,98 см длина окружности, тогда:
0,6l = 0,6 * 21,98 = 13,188 см длина дуги.

Задание 745

Найдите длину дуги, составляющей 5/12 окружности, радиус которой равен 36 дм.

Решение

l = 2πr = 2 * 3,14 * 36 = 226,08 дм длина окружности, тогда:
$\frac5{12}l=\frac5{12}\ast226,08=5\ast18,84=94,2$ (дм) длина дуги.

151

Страница 151

Задание 746

Вычислите длину красной линии, изображенной на рисунке 43.

Решение

а) Найдем длину окружности с диаметром 6 см:
l = 2πr = πd = 3,14 * 6 = 18,84 см, тогда длина красной линии равна:
9 * 2 + 18,84 = 18 + 18,84 = 36,84 см.

б) Найдем длину окружности с диаметром 8 см:
l = 2πr = πd = 3,14 * 8 = 25,12 см.
Так на рисунке 3 полуокружности с диаметром 8 см, то суммарная длина данных полуокружностей равна:
25,12 : 2 * 3 = 37,68 см.
Найдем длину окружности с диаметром 4 см:
l = 2πr = πd = 3,14 * 4 = 12,56 см, тогда длина красной линии равна:
37,68 + 12,56 = 50,24 см.

Задание 747

Найдите площадь круга, если 2/3 длины окружности этого круга равны 24,8 см (число π округлите до десятых).

Решение

π ≈ 3,1 по условию нужно округлить до десятых.
$l=24,8:\frac23=24,8\ast\frac32=12,4\ast3=37,2$ см длина окружности;
$r=\frac l{2{\operatorname\pi}}=\frac{37,2}{2\ast3,1}=\frac{12}{2\ast1}=6$ см радиус окружности.
$S=\operatorname\pi r^2=3,1\ast6^2=3,1\ast36=111,6(см^2)$

Задание 748

На сколько квадратных сантиметров площадь квадрата больше площади круга (рис.44), если сторона квадрата равна 8 см?

Решение

$S_{\operatorname к\operatorname в\operatorname а\operatorname д\operatorname р\operatorname а\operatorname т\operatorname а}=a^2=8^2=8\ast8=64(см^2)$
$r_{\operatorname к\operatorname р\operatorname у\operatorname г\operatorname а}=8:2=4$ (см)
$S_{\operatorname к\operatorname р\operatorname у\operatorname г\operatorname а}=\operatorname\pi r^2=3,14\ast4^2=3,14\ast16=50,24(см^2)$
$S_{\operatorname к\operatorname в\operatorname а\operatorname д\operatorname р\operatorname а\operatorname т\operatorname а}-S_{\operatorname к\operatorname р\operatorname у\operatorname г\operatorname а}=64-50,24=13,76(см^2)$
Ответ: на 13,76 $см^2$ площадь квадрата больше площади круга.

Задание 749

Начертите прямоугольник со сторонами 3 см и 4 см. Проведите диагонали прямоугольника. Приняв точку пересечения диагоналей за центр окружности, а половину диагонали − за радиус, проведите эту окружность. Измерьте линейкой диаметр полученной окружности (в сантиметрах, с точностью до единиц). На сколько квадратных сантиметров площадь круга, ограниченного этой окружностью, больше площади прямоугольника?

Решение

Задание 750

Вычислите площадь закрашенной фигуры, изображенной на рисунке 45.

Решение

152

Страница 152

Задание 751

Вычислите площадь закрашенной фигуры (рис. 46), если длина стороны клетки равна 1 см.

Вычислите площадь закрашенной фигуры, изображенной на рисунке 47.

Решение

Найдем площадь не закрашенного участка отмеченного цифрой 1. Данная площадь равна площадь квадрата со стороной 5 см вычесть 1/4 площади окружности со радиусом 5 см, тогда:
$S_1=S_{\operatorname к\operatorname в\operatorname а\operatorname д\operatorname р\operatorname а\operatorname т\operatorname а}-\frac14S_{\operatorname о\operatorname к\operatorname р\operatorname у\operatorname ж\operatorname н\operatorname о\operatorname с\operatorname т\operatorname и}=5^2-\frac14\ast3,14\ast5^2=25-\frac{78,5}4=25-19,625=5,375$

Так как, таких не закрашенных участков 8, то 8 * 5,375 = 43 $см^2$ - площадь не закрашенной области на рисунке 47.
Площадь закрашенной фигуры = площадь квадрата со стороной 10 см − площадь не закрашенной области = $10^2-43=100-43=57(см^2)$

Задание 758

Все вершины квадрата (рис. 48), диагональ которого равна 6 см, лежат на окружности. Вычислите площадь квадрата, не измеряя его стороны. На сколько площадь квадрата меньше площади круга, ограниченного данной окружностью?

Решение

Диагональ = диаметр окружности, тогда:
r = 6 : 2 = 3 см;
$S_{круга}=\operatorname\pi r^2=3,14\ast3^2=3,14\ast9=28,26(см^2)$;
Квадрат состоит из двух треугольников, площадь каждого из которого равна
$\frac12ah$, где a − основание треугольника, а h − высота треугольника, тогда:
$S_{треугольника}=\frac12\ast6\ast3=3\ast3=9(см^2)$;
$S_{квадрата}=9\ast2=18(см^2)$;
$S_{круга}-S_{квадрата}=28,26-18=10,26(см^2)$
Ответ: на 10,26 $см^2$ площадь квадрата меньше площади круга, ограниченного данной окружностью.

153

Страница 153

Задание 759

Докажите, что сумма длин красных дуг равна сумме длин зеленых дуг (рис.49).

Решение

И красные и зеленые дуги являются полуокружностями длина которой равна πr, тогда:
сумма длин красных дуг равна
πr1+πr2+πr3=π(r1+r2+r3);
сумма длин зеленых дуг равна
πr4+πr5+πr6+πr7=π(r4+r5+r6+r7), а так как: r1 + r2 + r3 = r4 + r5 + r6 + r7, следовательно сумма длин красных дуг равна сумме длин зеленых дуг.

Задание 760

Задача Гиппократа. (Гиппократ Хиосский − древнегреческий геометр (V в. до н.э.).) Докажите, что сумма площадей закрашенных фигур ("луночек") равна площади прямоугольника (рис.50).

Решение

Найдем площадь не закрашенных участков, которая равна разнице площади окружности с диаметром 5 см и площади прямоугольника:
r=d:2=5:2=2,5;
$S_{\operatorname н\operatorname е\operatorname з\operatorname а\operatorname к\operatorname р.}={\operatorname\pi}r^2-ab=3,14\ast2,5^2-3\ast4=3,14\ast6,25-12=19,625-12=7,625{\operatorname с}{\operatorname м}^2$
Площадь "луночек" = сумма площадей двух полуокружностей с диаметром 3 см и двух полуокружностей с диаметром 4 см − площадь не закрашенных участков, тогда:
$2\ast\frac12{\operatorname\pi}2^2+2\ast\frac12{\operatorname\pi}1,5^2-7,625=3,14\ast(4\ast2,25)-7,625=3,14\ast6,25-7,625=19,625-7,625=12{\operatorname с}{\operatorname м}^2$,
значит сумма площадей закрашенных фигур ("луночек") равна площади прямоугольника.

Задание 761

Два квадрата со стороной 1 см имеют общий центр (центр квадрата − точка пересечения его диагоналей)(рис.51). Докажите, что площадь их общей части больше π/4.

Решение

В общую часть квадратов можно вписать круг.
$r=d:2=\frac12$
$S_{\operatorname к\operatorname р\operatorname у\operatorname г\operatorname а}={\operatorname\pi}r^2={\operatorname\pi}\ast\frac12^2=\frac{\operatorname\pi}4$, а так как площадь круга меньше общей части квадратов, то общая часть квадратов больше π/4.

Задание 762

На рисунке 52 проиллюстрирован старинный способ вычисления площади круга. Объясните, почему произведение rl приближенно равно площади круга.

Решение

$S_{\operatorname к\operatorname р\operatorname у\operatorname г\operatorname а}={\operatorname\pi}r^2$;
l = 2πr, а так как на прямоугольнике синие сектора перевернуты, в отличии их расположения на круге, то l на прямоугольнике равна $\frac{2{\operatorname\pi}r}2={\operatorname\pi}r$, тогда:
${\operatorname\pi}r\ast r={\operatorname\pi}r^2=S_{\operatorname к\operatorname р\operatorname у\operatorname г\operatorname а}$

154

Страница 154

Задание 763

Масса сплава меди и серебра равна 7,2 кг. Масса серебра составляет 80% массы меди. Сколько килограммов меди в сплаве?

Решение

Пусть масса меди равна x, тогда масса серебра равна 0,8x.
Составим уравнение:
x + 0,8x = 7,2
1,8x = 7,2
x = 7,2 : 1,8
x = 4 кг составляет масса меди в сплаве.

Задание 764

Решите уравнение:
1) $\frac13x+\frac15x+\frac16x=\frac{21}{40}$
2) $\frac14x+\frac16x+\frac18x=\frac{39}{56}$

Решение

Задание 765

Цена товара дважды повышалась и каждый раз на 50%. Какой стала цена товара, если сначала она составляла 160 р.?

Решение

160 + 160 * 50% = 160 * (1 + 0,5) = 160 * 1,5 = 240 рублей стала цена товара после первого повышения;
240 + 240 * 50% = 240 * (1 + 0,5) = 240 * 1,5 = 360 рублей стала цена товара после второго повышения.

Задание 766

В каждую клетку таблицы размером 3 X 3 клетки записывают некоторое число. Таблицу, в которой все записанные числа различны, а суммы чисел во всех строках, столбцах и по диагоналям одинаковые, называют магическим квадратом. Например, таблица изображенная на рисунке 53, является магическим квадратом. Существует ли магический квадрат, заполненный числами, обратными натуральным?

Решение

Да, для этого нужно каждое число из магического квадрата разделить на произведение 1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6 * 7 * 8 * 9.

158

Страница 158

Ответы к параграфу 26. Цилиндр, конус, шар

Задание 767

Приведите примеры предметов, имеющих форму:
1) цилиндра;
2) конуса;
3) шара.

Решение

1) Бочка, кружка, труба.

2) Колпак, морковь, стаканчик мороженого, пожарное ведро.

3) Яблоко, мяч, мыльный пузырь.

Задание 768

На рисунке 65 изображен цилиндр. Укажите:
1) образующую цилиндра;
2) радиус нижнего основания цилиндра;
3) радиус верхнего основания цилиндра.

Решение

1) AB − образующая цилиндра

2) OA − радиус нижнего основания цилиндра

3) O1B − радиус верхнего основания цилиндра

Задание 769

Радиус основания цилиндра равен 6 см, а его образующая − 8 см. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

Решение

Sб = 2πrl = 2π∗6∗8 = 96π $см^2$ ≈ 301,44 $см^2$

Задание 770

Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, развертка которого изображена на рисунке 66 (длины отрезков даны в сантиметрах).

Решение

Sб = 2πrl = 2π∗5∗7 = 70π $см^2$ ≈ 219,8 $см^2$

Задание 771

На рисунке 67 изображен конус. Укажите:
1) вершину конуса;
2) центр его основания;
3) образующую конуса;
4) радиус основания конуса;
5) высоту конуса.

Решение

1) M − вершина конуса

2) O − центр основания конуса

3) MK − образующая конуса

4) OK − радиус основания конуса

5) OM − высота конуса

Задание 772

Радиус шара равен 6 см. Вычислите площадь сечения шара плоскостью, проходящей через центр шара.

Решение

Sсечения = πr2 = π∗62 = 36π $см^2$ ≈ 113,04 $см^2$

Задание 773

Длина окружности, ограничивающей сечение шара плоскостью, проходящей через его центр, равна 12,56 см. Чему равен радиус шара?

Решение

l = 2πr, тогда:
$r=\frac l{2{\operatorname\pi}}=\frac{12,56}{6,28}=2$ см радиус шара.

Задание 774

Какие наименьшие размеры, выраженные целым числом сантиметров, должен иметь прямоугольный лист бумаги, чтобы им можно было обклеить боковую поверхность цилиндра с радиусом основания 5 см и высотой, равной диаметру основания?

Решение

Изобразите круг, разделите его двумя диаметрами на четыре равных сектора. Сколько процентов площади круга составляет площадь одного сектора?

Решение

Весь круг 100%, тогда:
100% : 4 = 25% площади круга составляет площадь одного сектора.

Задание 783

Используя только цифры 1, 2, 3, 4, записали два неравных четырехзначных числа, у каждого из которых все цифры различны. Может ли одно из этих чисел делиться нацело на другое?

Решение

Нет, не может. Если бы это было возможно, то в частном могло получиться либо 2, либо 3. Но при умножении чисел 2 или 3 на цифры, данные в задаче, мы получим цифры, которые не даны, например 6, 8 или 9.

162

Страница 162

Ответы к параграфу 27. Диаграммы

Задание 784

На диаграмме (см.рис.71) показано количество спутников у планет Солнечной системы. Пользуясь диаграммой, установите:
1) у каких планет наибольшее количество спутников;
2) есть ли планеты, не имеющие спутников;
3) есть ли планеты с одинаковым количеством спутников;
4) во сколько раз у Юпитера больше спутников, чем у Нептуна;
5) на сколько у Земли меньше спутников, чем у Урана.

Решение

1) У Урана и Сатурна по 18 спутников.

2) Венера и Меркурий не имеют спутников.

3) У Урана и Сатурна по 18 спутников, а у Венеры и Меркурия по 0 спутников.

4) 16 : 8 = 2, то есть у Юпитера больше спутников, чем у Нептуна в 2 раза.

5) 18 : 1 = 18, то есть у Земли меньше спутников, чем у Урана в 18 раз.

Задание 785

На диаграмме (рис. 72) приведена выборочная информация о природно−заповедном фонде России. Пользуясь диаграммой, установите:
1) сколько в России биосферных заповедников; зоологических парков;
2) на сколько больше природных заказников федерального значения, чем памятников природы федерального значения;
3) во сколько раз природных заповедников больше, чем национальных природных парков.

Решение

1) 39 биосферных заповедников;
33 зоологических парка.

2) 69 − 39 = 30, то есть на 30 природных заказников федерального значения больше, чем памятников природы федерального значения.

3) $\frac{69}{40}=1\frac{29}{40}$,
Ответ: природных заповедников больше, чем национальных природных парков в $1\frac{29}{40}$ раз.

Задание 786

Пользуясь диаграммой, на которой приведена информация о площади наибольших водохранилищ России (рис. 73), установите:
1) у какого из данных водохранилищ самая большая площадь;
2) у какого из данных водохранилищ наименьшая площадь.
3) площадь какого водохранилища, Рыбинского или Волгоградского, больше.

Решение

1) У Кубышевского водохранилища самая большая площадь.

2) У Саяно−Шушенского водохранилища самая маленькая площадь.

3) Площадь Рыбинского водохранилища больше.

164

Страница 164

Задание 787

Пользуясь диаграммой, на которой изображено процентное содержание соли в воде некоторых морей (рис. 74), установите:
1) в каком из данных морей самая соленая вода;
2) в каком из данных морей наименее соленая вода;
3) в каком из морей, Средиземном или Красном, вода солонее.

Решение

1) В Мертвом море самая соленая вода.

2) В Черном море наименее соленая вода.

3) В Красном море вода солонее, чем в Средиземном.

165

Страница 165

Задание 788

На рисунке 75 приведена диаграмма количества пользователей Интернета в мире в процентах по отношению к общему количеству населения с 1995 по 2010 г. В течении какого года произошел наименьший прирост количества пользователей? Наибольший прирост?

Решение

Прирост населения по годам:
1995: 0,4%;
1996: 0,9 − 0,4 = 0,5%;
1997: 1,7 − 0,9 = 0,8%;
1998: 3,6 − 1,7 = 1,9%;
1999: 4,1 − 3,6 = 0,5%;
2000: 7,4 − 4,1 = 3,3%;
2001: 8,6 − 7,4 = 1,2%;
2002: 9,4 − 8,6 = 0,8%;
2003: 11,1 − 9,4 = 1,7%;
2004: 12,7 − 11,1 = 1,6%;
2005: 15,7 − 12,7 = 3%;
2006: 16,7 − 15,7 = 1%;
2007: 20 − 16,7 = 3,3%;
2008: 21,9 − 20 = 1,9%;
2009: 26,6 − 21,9 = 4,7%;
2010: 28,7 − 26,6 = 2,1%, следовательно:
наименьший прирост населения в 1995 году = 0,4%;
наибольший прирост населения в 2009 году = 4,7%.

Задание 789

На круговой диаграмме (рис. 76) приведены результаты выборов мэра Солнечного города (в процентах). Пользуясь диаграммой, установите:
1) сколько процентов избирателей участвовало в голосовании;
2) на сколько процентов больше избирателей проголосовало за Знайку, чем за Незнайку;
3) сколько процентов избирателей проголосовало против Незнайки.

Решение

1) 100% − 7% = 93% процентов избирателей участвовало в голосовании.

2) 85% − 5% = 80%, то есть на 80% больше избирателей проголосовало за Знайку, чем за Незнайку.

3) 85% + 3% = 88% избирателей проголосовало против Незнайки.

Задание 790

На круговой диаграмме (рис. 77) приведено распределение использования учеником 6 класса Петром Ивановым свободного от учебы времени. Установите:
1) сколько процентов свободного времени Петр проводит на свежем воздухе;
2) сколько процентов свободного времени он проводит с пользой для здоровья;
3) во сколько раз больше времени он тратит на просмотр телевизионных программ и игру на компьютере, чем на помощь родителям.
Посоветовали бы вы Петру что−то изменить в распределении свободного времени?

Решение

1) 100% − 24% − 15% − 35% − 20% − 2% = 4% свободного времени Петр проводит на свежем воздухе.

2) Польза здоровью приносит пребывание на свежем воздухе и занятия спортом, а значит:
15% + 4% = 19%

3) $\frac{24+35}2=\frac{59}2=29,5$, то есть в 29,5 раз Петр больше времени он тратит на просмотр телевизионных программ и игру на компьютере, чем на помощь родителям.

166

Страница 166

Задание 791

На диаграмме, изображенной на рисунке 78, представлено распределение учеников по секциям спортивной школы.
1) Сколько процентов учеников спортивной школы составляют баскетболисты?
2) Сколько легкоатлетов в этой школе, если общее количество учащихся составляет 300 человек?

Решение

1) 100% − 65% − 5% − 15% = 15% учеников спортивной школы составляют баскетболисты.

2) 300 * 65% = 300 * 0,65 = 195 легкоатлетов в школе.

Задание 792

Учащиеся 6 классов посещают разные спортивные секции. Используя диаграмму (рис. 79), установите:
1) какую секцию посещает больше всего шестиклассников;
2) какие секции посещает одинаковое количество шестиклассников;
3) какую часть количества футболистов составляет количество легкоатлетов;
4) сколько процентов количество гандболистов составляет от количества баскетболистов.

Решение

1) футбольную секцию посещает больше всего шестиклассников

2) баскетбольную и волейбольную

3) $\frac{45}{75}=\frac35$ количества футболистов составляет количество легкоатлетов

4) $\frac{23}{30}=\frac{23}{30}$ * 100% = 0,51%

167

Страница 167

Задание 793

Пользуясь таблицей средних годовых температур воздуха в отдельных городах России, постройте соответствующую столбчатую диаграмму.

Решение

Задание 794

Пользуясь таблицей развития метрополитена в Санкт−Петербурге, постройте соответствующую столбчатую диаграмму.

Решение

Задание 795

В таблице приведены высочайшие вершины некоторых горных систем Европы. Округлите высоту каждой вершины до сотен метров. Для изображения высоты 100 м возьмите отрезок, длина которого равна 1 мм, и постройте столбчатую диаграмму высот приведенных вершин горных систем.

Решение

168

Страница 168

Задание 796

С помощью таблицы, отражающей увеличение количества пользователей Интернета в мире, постройте соответствующую столбчатую диаграмму, округлив предварительно количество пользователей до десятков миллионов и взяв для изображения 10 млн человек отрезок длиной 1 мм.

Решение

169

Страница 169

Задание 797

В таблице приведена распространенность некоторых химических элементов в земной коре.
Постройте столбчатую диаграмму распространенности приведенных элементов, взяв для изображения 0,1% отрезок, длина которого равна 1 мм.

Решение

Задание 798

Максимальная масса белого медведя 800 кг, что составляет 2/15 максимальной массы индийского слона или 640% максимальной массы льва. Найдите максимальную массу:
1) индийского слона;
2) льва.

Решение

1) $800:\frac2{15}=800\ast\frac{15}2=400\ast15=6000$ кг = 6 т масса индийского слона.

2) 800 : 640% = 800 : 6,4 = 125 кг масса льва.

Задание 799

В Московском государственном университете имени М.В.Ломоносова учится около 40000 студентов. Количество студентов Кембриджского университета (Великобритания) составляет 30% количества студентов Московского университета или 3/7 количества студентов Гёттингенского университета (Германия). Сколько студентов учится в Гёттингенском университете?

Решение

40000 * 30% = 40000 * 0,3 = 12000 студентов учится в Кембридже;
$12000:\frac37=12000\ast\frac73=4000\ast7=28000$ студентов учится в Гёттингенском университете.

Задание 800

Используя цифры 4, 5, 6, записали два разных трехзначных числа. Может ли произведение этих чисел быть равным числу, записанному с помощью только цифр 0, 2, 3, 5, 6, 8? (В записи чисел цифры не повторяются.)

Решение

Нет, так как в произведении 465 * 546 = 253890 есть цифра 9, а в данных цифрах такой цифры нет.

Задание 801

В США дату обычно записывают так: месяц, число и год. Например, дату рождения A.C. Пушкина американец записал бы так: 5.26.1799. В Европе же сначала записывают число, потом месяц и год. Сколько в году дней, дату которых нельзя прочитать однозначно, не зная каким способом она записана?

Решение

Если число меньше или равно 12, то такую дату невозможно прочитать однозначно, так как будет непонятно месяц это или день.
В месяце таких дней 12, а в году 12 * 12 = 144 дня.
Ответ: 144 дня.

173

Страница 173

Ответы к параграфу 28. Случайные события. Вероятность случайного события

Задание 802

Приведите примеры экспериментов, результатами которых являются случайные события.

Решение

Подбрасывание монеты, выигрыш в лотерею, бросание игрального кубика.

Задание 803

Приведите примеры экспериментов, результатами которых являются события, по вашему мнению:
1) маловероятные;
2) очень вероятные.

Решение

1) выигрыш в лотерею

2) выпадение любой цифры кроме 6, при вытаскивании из полного мешочка бочонка лото.

Задание 804

Приведите примеры экспериментов, результатами которых являются:
1) достоверные события;
2) невозможные события.

Решение

1) при подбрасывании монеты выпадет либо орел, либо решка.

2) при бросании игрального кубика выпадет цифра 7.

Задание 805

Какие из следующих событий являются достоверными, а какие невозможными:
1) из корзины, в которой лежат только яблоки, достали персик;
2) в выбранном наугад слове русского языка обнаружили три подряд идущие буквы "и";
3) складывая два последовательных натуральных числа, получили нечетное число;
4) заглянув в календарь, обнаружили, что в следующем году ваш день рождения выпадет на среду?

Решение

1) невозможное

2) невозможное

3) достоверное

4) достоверное

Задание 806

Решение

2000 + 2000 * 0,5 = 2000 + 1000 = 3000 рублей стал стоить товар после повышения цены;
3000 − 3000 * 0,5 = 3000 − 1500 = 1500 рублей стал стоить товар после понижения цены.
Ответ: 1500 р. стал стоить товар.

Задание 828

Заполните цепочку вычислений:

Решение

$2\frac13:5\frac56=\frac73:\frac{35}6=\frac73\ast\frac6{35}=\frac11\ast\frac25=\frac25$
$\frac25\ast15=2\ast3=6$
$6-2\frac{13}{17}=5\frac{17}{17}-2\frac{13}{17}=3\frac4{17}$
$3\frac4{17}\ast1\frac6{11}=\frac{55}{17}\ast\frac{17}{11}=\frac51\ast\frac11=5$
Ответ: $\frac25$ → 6 → $3\frac4{17}$ → 5

Задание 829

Футбольный мяч плотно обтянут сеткой. Из каждого узла сетки выходит три веревки. Может ли в этой сетке быть 999 узлов?

Решение

Так как сетка, обтягивающая футбольный мяч имеет замыкается в форму мяча, и при этом из каждого узла выходит по три веревки, также можно и сказать, что в каждый узел приходит по три веревки. То есть для того, чтобы сетка была замкнутой для каждого узла должен быть парный узел, то есть количество узлов обязательно будет четным. Получается 999 узлов быть не может.
Ответ: не может.

180

Страница 180

Глава 4. Рациональные числа и действия над ними.
Ответы к параграфу 29. Положительные и отрицательные числа.

Задание 830

Какие из чисел
3;−6;−2 1/3;4,7;9/16;0;−5,2;−9 3/7;10,14;5/8:
1) являются положительными;
2) являются отрицательными;
3) не являются ни положительными, ни отрицательными?

Решение

1) положительные:
3; 4, 7; 9/16; 10,14; 5/8.

2) отрицательные:
−6; −2 1/3; −5,2; −9 3/7.

3) не положительно и не отрицательное: 0.

Задание 831

Запишите с помощью знаков "+" и "−" информацию Гидрометцентра:
1) 18° тепла;
2) 7° мороза;
3) 12° ниже нуля;
4) 16° выше нуля.

Решение

1) +18°

2) −7°

3) −12°

4) +16°

Задание 832

С помощью положительных и отрицательных чисел запишите высоты и глубины, приведенные в таблице:

Решение

Говерла (Карпаты) +2061;
Желоб Пуэрто−Рико (Атлантический океан) −8742;
Канченджанга (Гималаи) +8585 м;
Эльбрус (Кавказ) +5642 м;
Зондский желоб (Индийский океан);
Гренландское море −5527 м.

Задание 833

Запишите шесть отрицательных дробей со знаменателем 5.

Решение

$-\frac15;-\frac25;-\frac35;-\frac45;-\frac65;-\frac75$

Задание 834

Запишите четыре отрицательные десятичные дроби с одной цифрой после запятой.

Решение

−0,2; −1,5; −100,1; −121,8.

Задание 835

Запишите показания термометров, изображенных на рисунке 82.

Решение

а) +6°

б) −4°

Задание 836

Какую температуру будет показывать термометр, изображенный на рисунке 82, а, если:
1) его столбик опустится на 8 делений;
2) его столбик поднимется на 4 деления;
3) температура повысится на 5°C;
4) температура понизится на 6°C;
5) температура понизится на 10°C?

Решение

1) 6°C − 8°C = −2°C

2) 6°C + 4°C = +10°C

3) 6°C + 5°C = +11°C

4) 6°C − 6°C = 0°C

5) 6°C − 10°C = −4°C

Задание 837

Какую температуру будет показывать термометр, изображенный на рисунке 82, б, если:
1) его столбик поднимется на 2 деления;
2) его столбик опустится на 3 деления;
3) температура повысится на 6°C;
4) температура понизится на 5°C?

Решение

1) −4°C + 2°C = −2°C

2) −4°C − 3°C = −7°C

3) −4°C + 6°C = +2°C

4) −4°C − 5°C = −9°C

181

Страница 181

Задание 838

В 10 ч термометр показывал температуру −2°C. За два часа температура воздуха изменилась на 5°C. Какой стала температура воздуха?

Решение

1 вариант:
температура повысилась на 5°C, тогда:
−2°C + 5°C = +3°C стала температура воздуха.
2 вариант:
температура понизилась на 5°C, тогда:
−2°C − 5°C = −7°C стала температура воздуха.
Ответ: +3°C или −7°C

Задание 839

В 20 ч термометр показывал температуру −3°C. Через три часа температура воздуха изменилась на 4°C. Какой стала температура воздуха?

Решение

1 вариант:
температура повысилась на 4°C, тогда:
−3°C + 4°C = +1°C стала температура воздуха.
2 вариант:
температура понизилась на 4°C, тогда:
−3°C − 4°C = −7°C стала температура воздуха.
Ответ: +1°C или −7°C

Задание 840

В парке растет 150 кленов, дубов больше на 2/15 количества кленов, березы составляют 23/34 количества дубов, а липы − 20/87 общего количества кленов дубов и берез. Сколько всего указанных деревьев растет в парке?

Решение

1) $150+150\ast\frac2{15}=150+10\ast2=150+20=170$ (шт.) - дубов растет в парке;

2) $\frac{23}{34}\ast170=23\ast5=115$ (шт.) - берез растет в парке;

3) $\frac{20}{87}\ast(150+170+115)=\frac{20}{87}\ast435=20\ast5=100$ (шт.) - лип растет в парке.

4) 150 + 170 + 115 + 100 = 535 (дер.) - растет в парке.
Ответ: 535 деревьев.

Задание 841

Найдите значение выражения:

$(1,02:\frac1{50}-7,26:\frac{11}{70}):3\frac15+0,4:0,36=2\frac{11}{18}$

1) $1,02:\frac1{50}=\frac{102}{100}:\frac1{50}=\frac{51}{50}\ast\frac{50}1=51$

2) $7,26:\frac{11}{70}=\frac{726}{100}:\frac{11}{70}=\frac{363}{50}\ast\frac{70}{11}=\frac{33}5\ast\frac71=\frac{231}5=46\frac15$

3) $51-46\frac15=50\frac55-46\frac15=4\frac45$

4) $4\frac45:3\frac15=\frac{24}5:\frac{16}5=\frac{24}5\ast\frac5{16}=\frac31\ast\frac12=\frac32=1\frac12$

5) $0,4:0,36=\frac4{10}:\frac{36}{100}=\frac25\ast\frac{25}9=\frac21\ast\frac59=\frac{10}9=1\frac19$

6) $1\frac12+1\frac19=2\frac{9+2}{18}=2\frac{11}{18}$

Задание 842

Каковы координаты точек A, B, C, D, E на рисунке 83?

Решение

$A(2);B(3);C(\frac15);D(1\frac25);E(3\frac45)$

Задание 843

Начертите координатный луч, единичный отрезок которого равен 3 см. Отметьте на нем точки $A(1);B(2);C(\frac16);D(1\frac56);E(2\frac13);F(1,5)$

Решение

Задание 844

Начертите горизонтальную прямую, отметьте на ней точку O и точки M, N, K, P, которые расположены так:
1) точка M на 4 клетки правее точки O;
2) точка N на 3 клетки левее точки O;
3) точка K на 7 клеток левее точки O;
4) точка P на 5 клеток правее точки O.

Решение

182

Страница 182

Задание 845

Задача от мудрой совы

Двое мальчиков находились в лодке у берега реки. К ним обратилась группа туристов с просьбой помочь переправиться на противоположный берег. В лодке помещаются или два мальчика, или один турист. Смогут ли мальчики помочь туристам?

Решение

Действие 1:
Оба мальчика переплывают на другой берег;

Действие 2:
Один мальчик возвращается обратно;

Действие 3:
Один турист переплывает на другой берег;

Действие 4:
Второй мальчик возвращает лодку на первый берег;

Действие 5:
Снова оба мальчика переплывают на другой берег.

Таким образом можно повторить этот цикл бесконечно и перевезти любое количество туристов.

Ответ: Мальчики смогут помочь туристам.

183-184

Страница 183-184

Ответы к параграфу 30. Координатная прямая

Задание 846

Запишите координаты точек A, B, C, D, E, F, M, K, изображенных на рисунке 86.

Решение

a) A(2); B(4); C(8); D(−2); E(−5); F(−9); M(−10); K(13).

б) A(3); B(5); C(−2); D(−4); E(−6); F(1,5); M(−2,5); K(−6,5).

Задание 847

Запишите координаты точек A, B, C, D, E, F, M, K, изображенных на рисунке 87.

Решение

a) A(1);B(4);C(6);D(−1);E(−4);F(−7);M(−1/2);K(2,5).

б) A(10); B(20); C(30); D(−10); E(5); F(−25); M(−32,5); K(−2,5).

Задание 848

Начертите координатную прямую и отметьте на ней числа: 0; 1; 4; −3; 6; −2; −5; 2,5; −4,5.

Решение

Задание 849

Начертите координатную прямую и отметьте на ней числа: 0; 1; −2; 7; 5; −4; −2,5; −5,5; −6.

Решение

Задание 850

Начертите координатную прямую, взяв за единичный такой отрезок, длина которого в 6 раз больше стороны клетки тетради. Отметьте точки $A(1),B(-1),C(-0,5),D(\frac23),E(-1\frac16),F(2\frac13),M(-1\frac23),P(-2\frac16),R(-\frac13)$

Решение

Задание 851

Начертите координатную прямую, взяв за единичный такой отрезок, длина которого в 4 раза больше стороны клетки тетради. Отметьте точки $A(2),B(\frac12),C(1\frac14),D(-2),E(-\frac14),F(-1,75),Q(-2\frac18),S(0,25),T(-1,5),N(1,25)$

Решение

Задание 852

Длина единичного отрезка координатной прямой равна 1 см. Чему равно расстояние между точками:
1) A(2) и B(6);
2) С(−3) и D(−1);
3) M(−4) и N(2)?

Решение

1) 6 − 2 = 4 см

2) −1 − (−3) = −1 + 3 = 2 см

3) 2 − (−4) = 2 + 4 = 6 см

185

Страница 185

Задание 853

Длина единичного отрезка координатной прямой равна 5 мм. Чему равно расстояние между точками:
1) C(−5) и O(0);
2) A(−10) и B(−3);
3) D(−2) и E(2)?

Решение

1) (2 − (−3)) * 5 = (2 + 3) * 5 = 5 * 5 = 25 мм

2) (−3 − (−10)) * 5 = (−3 + 10) * 5 = 7 * 5 = 35 мм

3) (2 − (−2)) * 5 = (2 + 2) * 5 = 4 * 5 = 20 мм

Задание 854

Начертите координатную прямую и отметьте на ней точки A(−1) и B(5). Найдите на прямую точку, которая является серединой отрезка AB, и определите ее координату.

Решение

Ответ: С(2).

Задание 855

Начертите координатную прямую и отметьте на ней точки M(−6) и C(−2). Найдите на прямую точку N такую, что точка C − середина отрезка MN, и определите координату точки N.

Решение

Ответ: N(2).

Задание 856

Начертите координатную точку прямую и отметьте на ней точки K(−1) и F(5). Найдите на прямой точку E такую, что точка K − середина отрезка EF, и определите координату точки E.

Решение

Ответ: E(−7).

Задание 857

Начертите координатную прямую, отметьте на ней точку B(−4). Отметьте на этой прямой точку, удаленную от точки B:
1) в положительной направлении на 8 единиц;
2) в отрицательном направлении на 3 единицы.

Решение

1)

Ответ: С(4)

2)

Ответ: K(−7)

Задание 858

Начертите координатную прямую, отметьте на ней точку K(2). Отметьте на этой прямой точку, удаленную от точки K:
1) в отрицательном направлении на 2 единицы;
2) в положительном направлении на 4 единицы.

Решение

1)

Ответ: A(0)

2)

Ответ: B(6)

Задание 859

Запишите какие−нибудь три числа, лежащие на координатной прямой:
1) левее числа 2;
2) правее числа 3,6;
3) левее числа −100;
4) правее числа −25.

Решение

1) −1; −5; −6.

2) 4; 5,2; 8.

3) −200; −250; −1000.

4) −20; −15; 15.

Задание 860

Запишите какие−нибудь четыре числа, лежащие на координатной прямой между числами −1 и 0.

Решение

−0,7; −0,5; −0,3; −0,1.

Задание 861

Запишите какие−нибудь два числа, лежащие на координатной прямой:
1) левее числа −240;
2) правее числа −0,5;
3) между числами −9 и −8;
4) между числами −0,1 и 0,1.

Решение

1) −243; −247.

2) 0; 2.

3) −8,6; −8,5.

4) 0; 0,06.

Задание 862

Запишите числа, удаленные на 7 единиц от числа:
1) 80;
2) 4;
3) 0;
4) −3;
5) −12;
6) −7.

Решение

1) 80 + 7 = 87;
80 − 7 = 73.
Ответ: 87; 73.

2) 4 + 7 = 11;
4 − 7 = −3.
Ответ: 11; −3.

3) 0 + 7 = 7;
0 − 7 = −7.
Ответ: 7; −7.

4) −3 + 7 = 4;
−3 − 7 = −10.
Ответ: 4; −10.

5) −12 + 7 = −5;
−12 − 7 = −19.
Ответ: −5; −19.

6) −7 + 7 = 0;
−7 − 7 = −14.
Ответ: 0; −14.

Задание 863

На координатной прямой отметили числа −8 и 12 (рис.88). Какая из точек A, B, C или D является началом отсчета?

Решение

(12 − (−8)) : 5 = (12 + 8) : 5 = 4 − единичный отрезок;
−8 + 4 * 2 = −8 + 8 = 0
Ответ: B(0).

Задание 864

Найдите координату точки C (рис.89).

Решение

5 − 3 = 2 − единичный отрезок;
3 − 5 * 2 = 3 − 10 = −7.
Ответ: С(−7).

186

Страница 186

Задание 865

На координатной прямой отметили точки A(2) и B(8). Какую координату должна иметь точка M, чтобы отрезок BM был в 2 раза длиннее отрезка AM? Сколько решений имеет задача?

Решение

1)

2)

Ответ: M(20) или M(4).

Задание 866

Начертите две окружности, радиусы которых равны 2 см, так, чтобы они:
1) имели две общие точки;
2) имели одну общую точку;
3) не имели общих точек.

Решение

1)

2)

3)

Задание 867

Из некоторого числа вычли 5/17 этого числа и получили 480. Найдите это число.

Решение

Пусть x − искомое число, тогда:
$x-\frac5{17}x=480$
$\frac{12}{17}x=480$
$x=480:\frac{12}{17}$
$x=480\ast\frac{17}{12}$
x = 40 * 17
x = 680 − искомое число.
Ответ: 680.

Задание 868

Все учащиеся 6 класса занимаются или в секции тенниса, или в секции плавания. Некоторые из них занимаются и теннисом, и плаванием: 1/6 теннисистов занимаются плаванием, а 1/5 пловцов − теннисом. Кого в классе больше − теннисистов или пловцов?

Решение

Пусть x − теннисистов и y − пловцов в классе, тогда:
$\frac16x$ теннисистов занимаются плаванием;
$\frac15y$ пловцов занимаются теннисом;
$\frac16x=\frac15y$
$\frac x6=\frac y5$
5x = 6y
$\frac xy=\frac65>1$, следовательно теннисистов в классе больше.
Ответ: теннисистов в классе больше.

Задание 869

Число 50 увеличили на 500%. Во сколько раз полученное число больше 50?

Решение

50 + 50 * 500% = 50 + 50 * 5 = 50 + 250 = 300 − число после увеличения;
300 : 50 = 6, то есть в 6 раз полученное число больше 50.
Ответ: в 6 раз.

Задание 870

На столе стоят семь стаканов − все вверх дном. За один ход разрешается перевернуть любые четыре стакана. Можно ли за несколько ходов добиться того, чтобы все стаканы стояли правильно?

Решение

Так как стаканов нечетное количество, то для того, чтобы все стаканы стояли правильно, их нужно перевернуть нечетное количество раз. По условию задачи, за один раз можно перевернуть четное число стаканов − 4. Следовательно, таким образом нельзя перевернуть все стаканы.
Ответ: перевернуть стаканы по условию задачи нельзя.

188

Страница 188

Ответы к параграфу 31. Целые числа. Рациональные числа

Задание 871

Назовите число, противоположное числу:
1) 6;
2) −7;
3) 0,9;
4) 0;
5) 7,2;
6) −23;
7) −13,4.

Решение

1) −6

2) 7

3) 0,9

4) 0

5) 7,2

6) 23

7) 13,4

Задание 872

Заполните таблицу:

Решите уравнение:
1) −y = 11;
2) −y = −31;
3) −y = 0;
4) −y=−(−1/3).

Решение

1) −y = 11
y = −11

2) −y = −31
y = 31

3) −y = 0
y = 0

4) $-y=-(-\frac13)$
$y=-\frac13$

Задание 879

Заполните таблицу:

Задание 880

Запишите все целые положительные числа, меньше 5 3/4 и числа, противоположные им. Отметьте все эти числа на координатной прямой.

Решение

Ответ: −5; −4; −3; −2; −1; 0; 1; 2; 3; 4; 5.

Задание 881

Запишите шесть целых чисел, которые не являются натуральными.

Решение

−1; −3; −5; −8; −10; −15.

Задание 882

Какие целые числа расположены на координатной прямой между числами:
1) 4 и 9;
2) −4 и 2;
3) −8,2 и 0;
4) −3 и 3;
5) −1,9 и 2,1;
6) −8/9 и 8/9?

Решение

На базе хранились 1 т апельсинов и мандаринов. Апельсины составляли 99% массы этих фруктов. Сколько килограммов апельсинов вывезли с базы, если их осталось 98% от остатка фруктов?

Решение

1 т = 1000 кг.

1000 кг - 100 %
х кг - 99 %

1000/х = 100/99
100х = 1000*99
х = 990
Значит, 990 кг апельсинов хранилось на базе.
1000 - 990 = 10 (кг) - мандаринов хранилось на базе
100 - 98 = 2 (%) - мандаринов стало, когда вывезли часть апельсинов

Пусть x кг апельсинов осталось на базе.
х кг - 98 %
10 кг - 2 %
х/10 = 98/2
2х = 98 * 10
x = 490
Значит, 490 кг осталось на базе.
990 - 490 = 500 (кг) - апельсинов вывезли с базы
Ответ: 500 кг.

Задание 891

Найдите значение выражения:

1) $\frac{5\frac17\ast\frac35:3\frac35}{12\frac14:1\frac34}=\frac{\frac{36}7\ast\frac35\ast\frac5{18}}{\frac{49}4\ast\frac47}=\frac{\frac27\ast\frac31\ast\frac11}{\frac71\ast\frac11}=\frac{\frac67}7=\frac67\ast\frac17=\frac6{49}$

2) $\frac{2\frac27\ast2,4\ast1\frac59\ast1\frac9{16}}{3\frac13\ast1,125\ast1\frac57\ast1\frac79}=\frac{\frac{16}7\ast\frac{12}5\ast\frac{14}9\ast\frac{25}{16}}{\frac{10}3\ast\frac98\ast\frac{12}7\ast\frac{16}9}=\frac{\frac11\ast\frac41\ast\frac23\ast\frac51}{\frac51\ast\frac11\ast\frac17\ast\frac{16}1}=\frac{40}3:\frac{80}7=\frac{40}3\ast\frac7{80}=\frac13\ast\frac72=\frac76=1\frac16$

Задание 892

Отметили три точки, не лежащие на одной прямой. Сколько существует ломаных с вершинами в этих точках?

Решение

Ответ: 3 ломаных.

Задание 893

Для заболевшего Димы врач оставил шесть внешне одинаковых таблеток − по две каждого из трех видов лекарств. Диме нужно принять три таблетки утром (по одной каждого вида) и три вечером. Однако Дима перепутал все таблетки. Сможет ли он выполнить назначение врача?

Решение

6 таблеток выписал врач всего.
3 + 3 = 6 таблеток выпьет Дима, значит он выполнит предписание врача, так как выпьет все таблетки.
Ответ: да, сможет.

Решите уравнение:
1) |x| = 12;
2) |x| = −8;
3) |x| = 0;
4) |−x| = 2,4.

Решение

1) |x| = 12
x1=12
x2=−12

2) |x| = −8
нет решения, так как модуль числа не может быть отрицательным.

3) |x| = 0
x = 0

4) |−x| = 2,4
x1=2,4
x2=−2,4

Задание 902

Отметьте на координатной прямой числа, модуль которых равен:
1) 5;
2) 7;
3) 2,5;
4) 0;
5) 3,5;
6) 4.

Решение

1) |5| = 5;
|−5| = 5.

2) |7| = 7;
|−7| = 7.

3) |2,5| = 2,5;
|−2,5| = 2,5.

4) |0| = 0.

5) |3,5| = 3,5;
|−3,5| = 3,5.

6) |4| = 4;
|−4| = 4.

Для a = 0.

Задание 911

Существует ли такое число a, что:
1) |a| = −|a|;
2) |−a| = −|a|?

Решение

1) a = 0

2) a = 0

196

Страница 196

Задание 912

Верно ли утверждение:
1) если a = b, то |a| = |b|;
2) если |a| = |b|, то a = b;
3) если a = −b, то |a| = |b|;
4) если a = b, то |a| = b;
5) если |a| = |b|, то a = b или a = −b;
6) если a − целое число, то |a| − натуральное число?

Решение

1) верно

2) неверно

3) верно

4) неверно

5) верно

6) неверно

Задание 913

За 1 ч напечатали 5/8 рукописи. За сколько часов напечатают всю рукопись?

Решение

$1:\frac58=1\ast\frac85=1\frac35$ ч потребуется, чтобы напечатать всю рукопись.
Ответ: $1\frac35$ ч.

Задание 914

Найдите расстояние между двумя городами, если 4/9 этого расстояния на 20 км меньше всего расстояния.

Решение

Пусть x км расстояние между двумя городами, тогда:
$x-\frac49x=20$
$\frac59x=20$
$x=20:\frac59$
$x=20\ast\frac95$
x = 4 * 9
x = 36 км расстояние между двумя городами.
Ответ: 36 км.

Задание 915

Вычислите значение выражения:

$0,9\ast(1\frac59-\frac49:(\frac58+\frac38:3))=\frac9{10}\ast(1\frac59-\frac49:(\frac58+\frac38\ast\frac13))=\frac9{10}\ast(1\frac59-\frac49:(\frac58+\frac18))=\frac9{10}\ast(1\frac59-\frac49:\frac34)=\frac9{10}\ast(1\frac59-\frac49\ast\frac43)=\frac9{10}\ast(1\frac59-\frac{16}{27})=\frac9{10}\ast(\frac{42}{27}-\frac{16}{27})=\frac9{10}\ast\frac{26}{27}=\frac15\ast\frac{13}3=\frac{13}{15}$

Задание 916

Сравните числа:
1) 6/7 и 17/21;
2) 7/12 и 11/15;
3) 5/9 и 4/7;
4) 3,4 и 3,38;
5) 0,02 и 0,019;
6) 0,001 и 0.

Решение

1) $\frac67=\frac{18}{21}>\frac{17}{21}$

2) $\frac7{12}=\frac{35}{60}<\frac{11}{15}=\frac{44}{60}$

3) $\frac59=\frac{35}{63}<\frac47=\frac{36}{63}$

4) 3,4 > 3,38

5) 0,02 > 0,019

6) 0,001 > 0

Задание 917

Расположите в порядке возрастания числа 5 5/8;5 3/5;5,7;4 1/2;6,1;4 9/16.

Решение

$5\frac58=5\frac{25}{40}$
$5\frac35=5\frac{24}{40}$
$5,7=5\frac7{10}=5\frac{28}{40}$
$4\frac12=4\frac8{16}$
Ответ: $4\frac12<4\frac9{16}<5\frac35<5\frac58<5,7<6,1$.

Задание 918

В некотором весеннем месяце понедельников больше, чем вторников, а воскресений больше, чем суббот. Какой день недели был 7−го числа этого месяца? Какой это месяц?

Решение

В месяце 4 недели, а в неделе 7 дней, тогда:
7 * 4 = 28 дней.
Так как понедельников и воскресений больше, то:
28 + 1 + 1 = 30 дней в месяце, следовательно это апрель, так как в марте и мае по 31 день.
Ответ: апрель.

198

Страница 198

Ответы к параграфу 33. Сравнение чисел

Задание 919

Сравните числа:
1) 135 и −136;
2) −74 и 0;
3) −3,4 и −3,8;
4) −0,2 и −0,2001;
5) −7/13 и −7/16.

Решение

1) 135 > −136

2) −74 < 0

3) −3,4 > −3,8

4) −0,2 > −0,2001

5) $-\frac7{13}<-\frac7{16}$

Задание 920

Сравните числа:
1) −58 и 43;
2) 0 и −35;
3) −92 и −89;
4) −1,1 и −1,099;
5) −5/7 и −9/14.

Решение

1) −58 < 43

2) 0 > −35

3) −92 < −89

4) −1,1 < −1,099

5) $-\frac57=-\frac{10}{14}<-\frac9{14}$

Задание 921

Расположите в порядке убывания числа −10,9; 7; −4,8; 0; −4,9; 8,9; 9,5.

Решение

Ответ: 9,5 > 8,9 > 7 > 0 > −4,8 > −4,9 > −10,9.

Задание 922

Расположите в порядке возрастания числа −6; 5,3; 0,5; −5,9; 0; −11; 4,5.

Решение

Ответ: −11 > −6 > −5,9 > 0 > 0,5 > 4,5 > 5,3.

Задание 923

Расположите в таблице указанные вещества в порядке возрастания температуры их кипения.

Ответ

На координатной прямой отметили числа a, b, m и n (рис.96). Сравните:
1) b и n;
2) m и a;
3) 0 и n;
4) a и 0;
5) m и n;
6) b и a;
7) −b и 0;
8) 0 > −a;
9) −a и m;
10) −b и n.

Решение

1) b > n

2) m > a

3) 0 < n

4) a < 0

5) m < n

6) b < a

7) −b < 0

8) 0 < −a

9) −a > m

10) −b < n

200

Страница 200

Задание 936

На каком из рисунков 97 (a − d) изображены числа a и b такие, что:
1) число a − отрицательное, число b − положительное;
2) числа a и b − положительные, |a| > |b|;
3) числа a и b − отрицательные, |a| < |b|?

Найдите два числа, каждое из которых:
1) больше 4/11, но меньше 5/11;
2) больше −5/11, но меньше −4/11.

Решение

Задание 943

Верно ли утверждение:
1) если |a| > |b|, то a > b;
2) если |a| > b, то a > b;
3) если |a| < |b|, то a < b;
4) если a < b, то |a| < b?

Решение

1) неверно

2) неверно

3) неверно

4) неверно

Задание 944

Сравните:
1) a и −a;
2) |a| и a;
3) |a| и −a.

Решение

1) при a ⩾ 0:
a ⩾ −a;
при a < 0:
a < −a.

2) |a| ⩾ a

3) |a| ⩾ −a

201

Страница 201

Задание 945

С помощью записи [a] обозначают наибольшее целое число, которое не больше a. Например [3,2] = 3. Найдите:
1) [0,3];
2) [4];
3) [−3,2];
4) [−0,2].

Решение

1) [0,3] = 0

2) [4] = 4

3) [−3,2] = −4

4) [−0,2] = −1

Задание 946

Используя сторону равностороннего треугольника как диаметр, построили полуокружность (рис. 98). Чему равна длина красной линии, если сторона треугольника равна 6 см?

Решение

Диаметр полуокружности = 6 см, так как равен стороне треугольника;
6 : 2 = 3 см радиус полуокружности;
C = 2πr − длина окружности, тогда:
$C=\frac{2{\operatorname\pi}r}2={\operatorname\pi}r=3,14\ast3=9,42$ см длина полуокружности;
6 + 6 = 9,42 = 21,42 см длина красной линии.
Ответ: 21,42 см.

Задание 947

Средний рост десяти баскетболистов равен 200 см, а средний рост шести из них составляет 190 см. Чему равен средний рост остальных четырех баскетболистов?

Решение

200 * 10 = 2000 см суммарный рост десяти баскетболистов;
190 * 6 = 1140 см суммарный рост шести баскетболистов;
2000 − 1140 = 860 см суммарный рост четырех баскетболистов;
860 : 4 = 215 см средний рост четырех баскетболистов.
Ответ: 215 см.

Задание 948

Найдите значение выражения:
$2\frac14-1\frac14\ast(\frac27+3\frac17\ast\frac13):0,7$

Решение

$2\frac14-1\frac14\ast(\frac27+3\frac17\ast\frac13):0,7=\frac56$
1) $3\frac17\ast\frac13=\frac{22}7\ast\frac13=\frac{22}{21}$

2) $\frac27+\frac{22}{21}=\frac{6+22}{21}=\frac{28}{21}=\frac43$

3) $1\frac14\ast\frac43=\frac54\ast\frac43=\frac51\ast\frac13=\frac53=1\frac23$

4) $2\frac14-1\frac23=2\frac3{12}-1\frac8{12}=1\frac{15}{12}-1\frac8{12}=\frac7{12}$

5) $\frac7{12}:0,7=\frac7{12}:\frac7{10}=\frac7{12}\ast\frac{10}7=\frac16\ast\frac51=\frac56$

Задание 949

Какое число должно быть записано на координатной прямой в том месте, куда указывает стрелка (рис. 99)?

Решение

а) 34 + 8 = 42
Ответ: 42

б) 120 − 34 = 86
Ответ: 86

Задание 950

Какое число должно быть записано на координатной прямой в том месте, откуда указывает стрелка (рис. 100)?

Решение

а) 41 − 6 = 35
Ответ: 35

б) 96 + 18 = 114
Ответ: 114

202

Страница 202

Задание 951

У нескольких бревен длиной 4 м и 5 м общая длина 45 м. Какое наибольшее количество распилов необходимо сделать, чтобы распилить все бревна на чурбаки длиной 1 м? (Каждым распилом разрезают только одно бревно.)

Решение

Наибольшее количество распилов нужно будет сделать, если бревен разной длины будет равное количества, то есть 5 бревен по 4 м и 5 бревен по 5 м.
Для того, чтобы распилить четырехметровое бревно на чурбаки длиной 1 м нужно сделать 3 распила, а пятиметровое нужно сделать 4 распила, тогда:
3 * 5 + 4 * 5 = 15 + 20 = 35 распилов всего необходимо сделать.
Ответ: 35 распилов.

205

Страница 205

Ответы к параграфу 34. Сложение рациональных чисел

Задание 952

Заполните таблицу:

Решение

−5 + (−3) = −(5 + 3) = −8;
−8 + (−9) = −(8 + 9) = −17;
−0,5 + (−0,7) = −(0,5 + 0,7) = −1,2;
12 + (−8) = 12 − 8 = 4;
−12 + 8 = −(12 − 8) = −4;
5 + (−3) = 5 − 3 = 2;
−8 + 9 = 9 − 8 = 1;
−0,5 + 0,3 = −(0,5 − 0,3) = −0,2;
−12 + 12 = 12 − 12 = 0;
0 + (−5) = −(5 − 0) = −5.

Страница 208

Задание 974

Выполните сложение, выбирая удобный порядок вычислений:
1) (1,65 + 0,158) + 2,35;
2) 4,12 + 6,24 + 3,76 + 5,88.

Решение

1) (1,65 + 0,158) + 2,35 = (1,65 + 2,35) + 0,158 = 4 + 0,158 = 4,158

2) 4,12 + 6,24 + 3,76 + 5,88 = (4,12 + 5,88) + (6,24 + 3,76) = 10 + 10 = 20

Задание 975

Каждый участник шахматного турнира, играя белыми фигурами, выиграл столько партий, сколько все остальные вместе, играя черными. Докажите, что все участники одержали одинаковое количество побед.

Решение

Пусть каждый участник турнира сыграл n партий белыми фигурами, тогда по условию задачи, каждый участник турнира выиграл белыми n/2 партий и проиграл белыми n/2 партий. Так как количество побед и поражений у каждого участника одинаковое, следовательно все участники одержали одинаковое количество побед.

209

Страница 209

Ответы к параграфу 35. Свойства сложения рациональных чисел

Задание 976

Вычислите, используя свойства сложения:
1) (−5 + 19) + (−19);
2) (−16 + (−17)) + 17;
3) −0,4 + 0,8 + 0,4;
4) (−2/7+1)+(−5/7);
5) 4/15+(−8/25)+(−4/15);
6) 9 + (−12) + (−9) + 20.

Решение

1) (−5 + 19) + (−19) = −5 + (19 − 19) = −5 + 0 = −5

2) (−16 + (−17)) + 17 = −16 + (17 − 17) = −16 + 0 = −16

3) −0,4 + 0,8 + 0,4 = (0,4 − 0,4) + 0,8 = 0 + 0,8 = 0,8

4) $(-\frac27+1)+(-\frac57)=(-\frac27+(-\frac57))+1=-\frac77+1=-1+1=0$

5) $\frac4{15}+(-\frac8{25})+(-\frac4{15})=(\frac4{15}-\frac4{15})+(-\frac8{25})=0+(-\frac8{25})=-\frac8{25}$

6) 9 + (−12) + (−9) + 20 = (9 − 9) + (20 − 12) = 0 + 8 = 8

Задание 977

Выполните сложение, выбирая удобный порядок вычислений:
1) 7,29 + (−5,126) + (−6,29) + 5,126;
2) 24,35 + (−72,61) + 42,61 + (−13,35).

Решение

1) 7,29 + (−5,126) + (−6,29) + 5,126 = (7,29 − 6,29) + (5,126 − 5,126) = 1 + 0 = 1

2) 24,35 + (−72,61) + 42,61 + (−13,35) = (24,35 − 13,35) + (−72,61 + 42,61) = 11 + (−30) = −19

Задание 978

Выполните сложение, выбирая удобный порядок вычислений:
1) −6,38 + (−1,73) + 5,38 + 1,73;
2) −3,72 + 9,84 + 1,72 + (−20,84).

Решение

1) −6,38 + (−1,73) + 5,38 + 1,73 = (−6,38 + 5,38) + (1,73 − 1,73) = −1 + 0 = −1

2) −3,72 + 9,84 + 1,72 + (−20,84) = (−3,72 + 1,72) + (−20,84 + 9,84) = −2 + (−11) = −13

Задание 979

Найдите значение выражения:
1) −78 + 36 + 19 + (−22) + (−25);
2) 0,74 + (−9,39) + 3,26 + (−10,61) + 5,25;
3) 7/16+(−11/42)+(−9/16)+17/42;
4) −9/40+13/50+(−23/50)+19/40;
5) −3 31/36+(−1 17/24)+5 4/36+(−2 4/24).

Решение

Страница 211

Задание 991

Используя действие сложения, проверьте, верно ли выполнено вычитание:
1) 13,62 − 4,12 = 9,5;
2) 11/24−3/8=1/12.

Решение

1) 9,5 + 4,12 = 13,62
Ответ: верно

2) $\frac1{12}+\frac38=\frac2{24}+\frac9{24}=\frac{11}{24}$
Ответ: верно

Задание 992

У электромонтера есть два куска провода, общая длина которых 25 м. От них он планирует отрезать необходимые для работы куски в 1 м, 2 м, 3 м, 6 м, 12 м. Сможет ли электромонтер отрезать необходимые для работы куски провода?

Решение

Так как 25 : 2 = 12,5 м, следовательно один из кусков провода будет обязательно больше 12 метров, а значит 12 м отрезать можно.
25 − 12 = 13 м длина оставшихся двух кусков.
13 : 2 = 6,5 м, следовательно один из кусков провода будет обязательно больше 6 м, а значит можно отрезать 6 метров.
13 − 6 = 7 м длина оставшихся двух кусков.
7 : 2 = 3,5 м, следовательно один из кусков провода будет обязательно больше 3 м, а значит можно отрезать 3 метра.
7 − 3 = 4 м длина оставшихся двух кусков.
4 : 2 = 2 м, следовательно один из кусков провода будет обязательно равен или больше 2 м, а значит можно отрезать 2 метра.
4 − 2 = 2 м длина оставшихся двух кусков.
2 : 1 = 1 м, следовательно один из кусков провода будет обязательно равен или больше 1 м, а значит можно отрезать 1 метр.
Ответ: может.

212-213

Страница 212-213

Ответы к параграфу 36. Вычитание рациональных чисел

Задание 993

Выполните вычитание:
1) 10 − 16;
2) 5 − 12;
3) −5 − 3;
4) −6 − 8;
5) 9 − (−2);
6) 4 − (−10);
7) −3 − (−8);
8) −11 − (−6);
9) 12,3 − (−6,8);
10) 2,4 − 5,6;
11) 0 − 13,4;
12) −1,4 − 1,2;
13) −10,2 − (−4,9);
14) 0 − (−99,4);
15) −8 − (−8).

Решение

1) 10 − 16 = −6

2) 5 − 12 = −7

3) −5 − 3 = −8

4) −6 − 8 = −14

5) 9 − (−2) = 9 + 2 = 11

6) 4 − (−10) = 4 + 10 = 14

7) −3 − (−8) = −3 + 8 = 5

8) −11 − (−6) = −11 + 6 = −5

9) 12,3 − (−6,8) = 12,3 + 6,8 = 19,1

10) 2,4 − 5,6 = −3,2

11) 0 − 13,4 = −13,4

12) −1,4 − 1,2 = −2,6

13) −10,2 − (−4,9) = −10,2 + 4,9 = −5,3

14) 0 − (−99,4) = 0 + 99,4 = 99,4

15) −8 − (−8) = −8 + 8 = 0

Задание 994

Выполните вычитание:
1) 3,5 − (−9,7);
2) 1,9 − 3,2;
3) 0 − 7,25;
4) −5,3 − 3,7;
5) −2,8 − (−5,2);
6) 0 − (−0,08).

Решение

1) 3,5 − (−9,7) = 3,5 + 9,7 = 13,2

2) 1,9 − 3,2 = −1,3

3) 0 − 7,25 = −7,25

4) −5,3 − 3,7 = −9

5) − 2,8 − (−5,2) = − 2,8 + 5,2 = 2,4

6) 0 − (−0,08) = 0 + 0,08 = 0,08

Задание 995

Выполните вычитание:

1) $\frac59-(-\frac16)=\frac59+\frac16=\frac{10}{18}+\frac3{18}=\frac{13}{18}$

2) $\frac3{16}-\frac{11}{24}=\frac9{48}-\frac{22}{48}=-\frac{13}{48}$

3) $-\frac79-\frac2{15}=-\frac{35}{45}-\frac6{45}=-\frac{41}{45}$

4) $-\frac{14}{25}-(-\frac7{10})=-\frac{14}{25}+\frac7{10}=-\frac{28}{50}+\frac{35}{50}=\frac7{50}$

5) $2\frac37-(-1\frac25)=2\frac37+1\frac25=2\frac{15}{35}+1\frac{14}{35}=3\frac{29}{35}$

6) $5\frac{12}{35}-10=5\frac{12}{35}-9\frac{35}{35}=-4\frac{23}{35}$

7) $2\frac9{20}-4\frac{17}{30}=2\frac{27}{60}-4\frac{34}{60}=-2\frac7{60}$

8) $-3\frac89-4\frac1{12}=-3\frac{32}{36}-4\frac3{36}=-7\frac{35}{36}$

9) $-4\frac3{16}-(-5\frac58)=-4\frac3{16}+5\frac58=-4\frac3{16}+5\frac{10}{16}=1\frac7{16}$

Задание 996

Задание 1002

Ртуть плавится при температуре −38,9°C, а медь − при температуре 1083,4°C. На сколько градусов температура плавления меди выше температуры плавления ртути?

Решение

1083,4 − (−38,9) = 1083,4 + 38,9 = 1122,3°C разница температур плавления меди и ртути.
Ответ: 1122,3°C.

Найдите координату точки на координатной прямой, удаленной:
1) от точки A(4,6) на 10 единиц;
2) от точки B(−1 1/3) на 2 1/6 единицы;
3) от точки C(−3 2/7) на 3 2/7 единицы.

Решение

Страница 216

Задание 1019

В тире Вася сделал 48 выстрелов, из которых шесть не попали в цель. Найдите процент попаданий в цель.

Решение

48 − 6 = 42 выстрела не попали в цель;
$\frac{42}{48}$ * 100% = $\frac78$ * 100% = 87,5% попаданий в цель.
Ответ: 87,5%.

Задание 1020

У Миши было 36 кроликов разной масти: белые, серые и бурые. Бурые составляли 1/3 всех кроликов, серых было 8. Какова вероятность того, что наугад выбранный кролик будет белым?

Решение

1) $36\ast\frac13=12$ (к.) - бурых
2) 36 − (12 + 8) = 36 − 20 = 16 (к.) - белых
3) $\frac{16}{36}=\frac49$
Ответ: $\frac49$.

Задание 1021

Дмитрий Григорьевич взял с собой в командировку три рубашки, одну пару туфель, одни брюки, один обычный галстук и один галстук−бабочку. Дмитрий Григорьевич всегда носит туфли, брюки, рубашку и галстук. Сколько разных комплектов одежды он может составить?

Решение

Рубашку можно выбрать одну из трех, то есть 3 способами;
Туфли можно выбрать одним способом;
Брюки можно выбрать одним способом;
Галстук можно выбрать один из двух, то есть 2 способами.
3 * 1 * 1 * 2 = 6 разных комплектов одежды может составить Дмитрий Григорьевич.
Ответ: 6 комплектов.

Задание 1022

Запишите в виде произведения сумму:
1) 1/2+1/2+1/2+1/2+1/2+1/2+1/2;
2) 2,3 + 2,3 + 2,3 + 2,3.

Решение

1) $\frac12+\frac12+\frac12+\frac12+\frac12+\frac12+\frac12=7\ast\frac12$

2) 2,3 + 2,3 + 2,3 + 2,3 * 4 * 2,3

Задание 1023

Докажите, что в любой компании из шести человек найдется трое попарно знакомых или трое попарно незнакомых.

Решение

Раз это компания, то минимум 2 человека знакомы и каждый из них знаком хотя бы еще с одним из людей этой компании. Значит, если первый знаком со вторым, а второй с третьим, то и первый и третий знакомы со вторым.
Аналогично, если первый не знаком со вторым, а второй с третьим, то это три пары незнакомых людей.

219

Страница 219

Ответы к параграфу 34. Умножение рациональных чисел

Задание 1024

Выполните умножение:

1) −12 * 5 = −60

2) −0,4 * 1,5 = −0,6

3) 3,4 * (−1,8) = −6,12

4) $-\frac34\ast(-\frac56)=-\frac14\ast(-\frac52)=\frac58$

5) $-\frac{15}{16}\ast(-\frac{48}{55})=-\frac31\ast(-\frac3{11})=\frac9{11}$

6) $-\frac{13}{24}\ast\frac{16}{39}=-\frac13\ast\frac23=-\frac29$

7) $\frac6{35}\ast(-\frac{14}{15})=\frac25\ast(-\frac25)=-\frac4{25}$

8) $-\frac7{12}\ast24=-\frac71\ast2=-14$

9) $45\ast(-\frac8{15})=3\ast(-\frac81)=-24$

10) $\frac{16}{17}\ast(-6\frac38)=\frac{16}{17}\ast(-\frac{51}8)=\frac21\ast(-\frac31)=-6$

11) $-3\frac59\ast(-5\frac14)=-\frac{32}9\ast-\frac{21}4=-\frac83\ast-\frac71=\frac{56}3=18\frac23$

12) $-1\frac57\ast6\frac18=-\frac{12}7\ast\frac{49}8=-\frac31\ast\frac72=-\frac{21}2=-10\frac12$

Задание 1025

Выполните умножение:

1) 16 * (−3) = −48

2) −8 * (−7) = 56

3) −2,3 * (−1,4) = 3,22

4) $\frac67\ast(-\frac47)=-\frac{24}{49}$

5) $-\frac47\ast\frac79=-\frac41\ast\frac19=-\frac49$

6) $-6\ast(-\frac5{24})=-1\ast(-\frac54)=\frac54=1\frac14$

7) $-\frac6{19}\ast(-57)=-\frac61\ast(-3)=18$

8) $-9\frac35\ast(-\frac{10}{21})=-\frac{48}5\ast(-\frac{10}{21})=-\frac{16}1\ast(-\frac27)=\frac{32}7=4\frac47$

Задание 1026

Найдите значение степени:

1) $(-2)^5=-32$

2) $(-0,6)^2=0,36$

3) $(-1\frac15)^3=(-\frac65)^3=-\frac{216}{125}=-1\frac{91}{125}$

4) $(-1\frac12)^2=(-\frac32)^2=\frac94=2\frac14$

5) $(-1)^{10}=1$

6) $(-1)^{23}=-1$

Задание 1027

Найдите значение степени:

1) $(-7)^2=49$

2) $(-7)^3=-343$

3) $(-\frac12)^4=\frac1{16}$

4) $(-\frac13)^5=-\frac1{243}$

Задание 1028

Выполните действия:

1) −3,2 * 0,4 + 2,6 * (−0,5) = −1,28 + (−1,3) = −2,58

2) 5,2 * (−0,8) − (−1,5) * (−3,4) = −4,16 − 5,1 = −9,26

3) (7,6 − 20) * (−3,14 + 5,24) = −12,4 * 2,1 = −26,04

4) $(-1\frac3{25})\ast2\frac17+(-2\frac19)\ast(-\frac{27}{190})=(-\frac{28}{25})\ast\frac{15}7+(-\frac{19}9)\ast(-\frac{27}{190})=(-\frac45)\ast\frac31+(-\frac11)\ast(-\frac3{10})=-\frac{12}5+\frac3{10}=-\frac{24}{10}+\frac3{10}=-\frac{21}{10}=-2,1$

5) $(8+2\frac17\ast(-3\frac19))\ast(-\frac{27}{44})=(8+\frac{15}7\ast(-\frac{28}9))\ast(-\frac{27}{44})=(8+\frac51\ast(-\frac43))\ast(-\frac{27}{44})=(8-\frac{20}3)\ast(-\frac{27}{44})=(8-6\frac23)\ast(-\frac{27}{44})=1\frac13\ast(-\frac{27}{44})=\frac43\ast(-\frac{27}{44})=\frac11\ast(-\frac9{11})=-\frac9{11}$

6) $(-5\frac1{16}+1\frac18)\ast(-\frac56-\frac3{14})=(-5\frac1{16}+1\frac2{16})\ast(-\frac{35}{42}-\frac9{42})=-3\frac{15}{16}\ast-\frac{44}{42}=-\frac{63}{16}\ast-\frac{22}{21}=-\frac38\ast-\frac{11}1=\frac{33}8=4\frac18$

220

Страница 220

Задание 1029

Выполните действия:

1) $−2,7 * (−1,2) + 3,5 * (−2,8) = 3,24 − 9,8 = −6,56$

2) $−7,4 * 0,6 − 3,8 * (−2,3) = −4,44 + 8,74 = 4,3$

3) $(−9,3 − 1,7) * (2,6 + (−5,9)) = −11 * 3,3 = −36,3$

4) $4\frac7{12}\ast(-1\frac3{11})-(-1\frac1{15})\ast(-\frac{45}{64})=\frac{55}{12}\ast(-\frac{14}{11})-(-\frac{16}{15})\ast(-\frac{45}{64})=\frac56\ast(-\frac71)-(-\frac11)\ast(-\frac34)=-\frac{35}6-\frac34=-5\frac56-\frac34=-5\frac{10}{12}-\frac9{12}=-5\frac{19}{12}=-6\frac7{12}$

5) $-\frac{81}{88}\ast(-6+(-1\frac{13}{15})\ast(-1\frac{19}{21}))=-\frac{81}{88}\ast(-6+(-\frac{28}{15})\ast(-\frac{40}{21}))=-\frac{81}{88}\ast(-6+(-\frac43)\ast(-\frac83))=-\frac{81}{88}\ast(-6+\frac{32}9)=-\frac{81}{88}\ast(-6+3\frac59)=-\frac{81}{88}\ast-2\frac49=-\frac{81}{88}\ast-\frac{22}9=-\frac94\ast-\frac11=\frac94=2\frac14$

6) $(-\frac45-\frac47)\ast(5\frac79-7\frac{11}{12})=(-\frac{28}{35}-\frac{20}{35})\ast(5\frac{28}{36}-7\frac{33}{36})=-\frac{48}{35}\ast-2\frac5{36}=-\frac{48}{35}\ast-\frac{77}{36}=-\frac45\ast-\frac{11}3=\frac{44}{15}=2\frac{14}{15}$

Решение

Упростите выражение:
1) 0,6a * 0,2b;
2) 4/5 m ∗ 5/16 n.

Решение

1) 0,6a * 0,2b = 0,12ab

2) $\frac45m\ast\frac5{16}n=\frac11m\ast\frac14n=\frac14mn$

Задание 1054

В Российской футбольной премьер−лиге принимает участие 16 команд. Докажите, что в любой момент чемпионата есть две команды, сыгравшие одинаковое количество матчей. (Команды, не сыгравшие ни одного матча, считают сыгравшими одинаковое количество матчей.)

Решение

Предположим, что это неверно и все команды сыграли разное число матчей. Т.к. команд 16, то больше 15 матчей команда сыграть не могла, получается, что количество сыгранных матчей у каждой из команд это число от 0 до 15. Но тогда получается, что команда, сыгравшая 15 матчей, сыграла с каждой из команд, а команда с 0 матчей не сыграла не разу, что невозможно. Следовательно в любой момент чемпионата есть две команды, сыгравшие одинаковое количество матчей.

225-226

Страница 225-226

Ответы к параграфу 38. Переместительное и сочетательное свойства умножения рациональных чисел. Коэффициент

Задание 1055

Выполните умножение:

1) $-\frac19\ast(-\frac17)\ast\frac15\ast(-\frac13)\ast3\ast(-5)\ast7\ast9=(-\frac19\ast9)\ast(-\frac17\ast7)\ast(\frac15\ast(-5))\ast(-\frac13\ast3)=-1\ast(-1)\ast(-1)\ast(-1)=1$

2) $8\ast(-6)\ast4\ast(-10)\ast\frac14\ast(-\frac13)\ast(-\frac15)\ast(-\frac12)=8\ast(4\ast\frac14)\ast(-6\ast(-\frac13)\ast(-\frac12))\ast(10\ast(-\frac15))=8\ast1\ast(-1)\ast-2=16$

3) 0,2 * (−0,25) * (−0,5) * 5 * (−4) * (−2) = (0,2 * 5) * (−0,25 * (−4)) * (−0,5 * (−2)) = 1 * 1 * 1 = 1

Задание 1056

Назовите коэффициент выражения:
1) 6a;
2) −7,2b;
3) −xy;
4) 1,8mn;
5) 3/5 abc;
6) −2 1/3 p;
7) xyz;
8) 4 4/11 mk.

Решение

1) 6

2) −7,2

3) −1

4) 1,8

5) 3
5

6) $-2\frac13$

7) 1

8) $4\frac4{11}$

Задание 1057

Упростите выражение и укажите его коэффициент:
1) 4a * (−1,2);
2) −0,2b * (−0,14);
3) −6a * 8b;
4) −3,2p * (−0,5k);
5) −3/28 x ∗ 7/18 ∗ (−y);
6) 1 1/7 k ∗ 1 3/4 p ∗ (−1/2 m).

Решение

1) 4a * (−1,2) = −4,8a
коэффициент −4,8

2) −0,2b * (−0,14) = 0,028b
коэффициент 0,028

3) −6a * 8b = −48ab
коэффициент −48

4) −3,2p * (−0,5k) = 1,6pk
коэффициент 1,6

5) $-\frac3{28}x\ast\frac7{18}\ast(-y)=-\frac14x\ast\frac16\ast(-y)=\frac1{24}xy$
коэффициент 1/24

6) $1\frac17k\ast1\frac34p\ast(-\frac12m)=\frac87k\ast\frac74p\ast(-\frac12m)=\frac11k\ast\frac11p\ast(-\frac11m)=kpm$
коэффициент 1

Задание 1058

Упростите выражение и укажите его коэффициент:
1) −3m * (−2,1);
2) 3,6 * (−5x);
3) 10m * (−1,7) * n;
4) −7a * 3b * (−6c);
5) 16x ∗ (−8/15 b) ∗ 45/64 k;
6) −0,2t * (−5a) * (−b).

Решение

1) −3m * (−2,1) = 6,3m
коэффициент 6,3

2) 3,6 * (−5x) = −18x
коэффициент −18

3) 10m * (−1,7) * n = −17mn
коэффициент −17

4) −7a * 3b * (−6c) = 126abc
коэффициент 126

5) $16x\ast(-\frac8{15}b)\ast\frac{45}{64}k=x\ast(-\frac21b)\ast\frac31k=-6xbk$
коэффициент −6

6) −0,2t * (−5a) * (−b) = −abt
коэффициент −1

Задание 1059

Вычислите наиболее удобным способом:

1) −4 * 23 * (−0,5) = (−4 * (−0,5)) * 23 = 2 * 23 = 46

2) −0,4 * (−250) * 5 * (−0,2) = (−0,4 * (−250)) * (5 * (−0,2)) = 100 * (−1) = −100

3) $\frac7{13}\ast(-6,5)\ast0,4\ast(-1\frac67)=(\frac7{13}\ast(-\frac{13}7))\ast(-6,5\ast0,4)=-1\ast-2,6=2,6$

4) $\frac6{23}\ast(-2\frac13)\ast(-69)\ast\frac37=(\frac6{23}\ast(-69))\ast(-\frac73\ast\frac37)=(\frac61\ast(-3))\ast(-\frac11\ast\frac11)=18$

5) $-0,7\ast2,5\ast1\frac37\ast(-4)=(-\frac7{10}\ast\frac{10}7)\ast(2,5\ast(-4))=(-\frac11\ast\frac11)\ast(-10)=10$

6) $-\frac5{18}\ast(-\frac4{13})\ast\frac9{25}\ast(-26)=(-\frac5{18}\ast\frac9{25})\ast(-\frac4{13}\ast(-26))=(-\frac12\ast\frac15)\ast(-\frac41\ast(-2))=-\frac1{10}\ast8=-0,8$

Задание 1060

Вычислите наиболее удобным способом:
1) −1,25 * (−3,47) * (−8);
2) −0,001 * (−54,8) * 50 * (−2);
3) 9/16∗11/35∗(−32)∗(−70);
4) 4,8∗(−2 1/6)∗(−5/24)∗(−6/13).

Решение

1) −1,25 * (−3,47) * (−8) = (−1,25 * (−8)) * (−3,47) = 10 * (−3,47) = −34,7

2) −0,001 * (−54,8) * 50 * (−2) = (−0,001 * (50 * (−2)) * (−54,8) = (−0,001 * (−100)) * (−54,8) = 1 * (−54,8) = −54,8

3) $\frac9{16}\ast\frac{11}{35}\ast(-32)\ast(-70)=(\frac9{16}\ast(-32))\ast(\frac{11}{35}\ast(-70))=(\frac91\ast(-2))\ast(\frac{11}1\ast(-2))=-18\ast-22=396$

4) $4,8\ast(-2\frac16)\ast(-\frac5{24})\ast(-\frac6{13})=(4,8\ast(-\frac5{24}))\ast(-2\frac16\ast(-\frac6{13}))=(\frac{24}5\ast(-\frac5{24}))\ast(-\frac{13}6\ast(-\frac6{13}))=-1\ast1=-1$

Задание 1061

Чему равно произведение всех целых чисел, которые больше −20 и меньше 20?

Решение

Произведение равно 0, так как среди множителей есть число 0.

Задание 1062

Положительным, отрицательным или нулем является произведение пяти чисел, если:
1) два числа положительные, а остальные − отрицательные;
2) два числа отрицательные, а остальные − положительные;
3) четыре числа отрицательные;
4) два числа отрицательные, два числа − положительные, а одно − нуль?

Решение

1) отрицательным, так как количество отрицательных множителей нечетное.

2) положительным, так как количество отрицательных множителей четное.

3) положительным, так как количество отрицательных множителей четное.

4) нулем, так как среди множителей есть нуль.

Задание 1063

Упростите выражение и найдите его значение:
1) −8/15 a ∗ 3 3/4 b, если a=−1/3,b=1/6;
2) −7/20 x ∗ (−1 1/14) ∗ y ∗ (−2 2/3 z), если x=−3 3/7,y=14,z=−5/16.

Решение

Решение

1) (−8 − a) + (a + 23) = −8 − a + a + 23 = (a − a) + (23 − 8) = 15

2) (1,3 + m) + (−4 − m) = 1,3 + m − 4 − m = (m − m) + (1,3 − 4) = −2,7

3) (p − m + k) + (−p + m + k) = p − m + k − p + m + k = (p − p) + (m m) + (k + k) = 2k

4) (3,7 − 2,6 + 4,2) + (−12,5 + 2,6 − 4,2) = 3,7 − 2,6 + 4,2 − 12,5 + 2,6 − 4,2 = (4,2 − 4,2) + (2,6 − 2,6) + (−12,5 + 3,7) = −8,8

Задание 1083

Запишите разность двух выражений и упростите ее:
1) −8,4 + a и a + 14,9;
2) 42 − b и −b + 36,4;
3) m − n и −n + m − p;
4) −2,2 + 4,9 − c и 4,9 − c − 1,3.

Решение

Раскройте скобки:

1) $-12(\frac56a-\frac14b+\frac7{24}c-\frac1{12})=-10a+3b-\frac72c+1=-10a+3b-3\frac12c+1$

2) $(16a+8b-\frac59c-\frac49d)\ast(-\frac9{32}n)=-\frac92an-\frac94bn+\frac5{32}cn+\frac18dn=-4\frac12an-2\frac14bn+\frac5{32}cn+\frac18dn$

3) $-\frac4{15}bc(-45a-30d+3\frac34m-\frac38)=-\frac4{15}bc(-45a-30d+\frac{15}4m-\frac38)=12abc+8bcd-bcm+\frac1{10}bc$

4) (−3,6ab + 20a − b − 100) * (−5xy) = 18abxy − 100axy + 5bxy + 500xy

Задание 1092

Раскройте скобки:

1) $\frac37b(-14t-\frac79y+2\frac13c)=\frac37b(-14t-\frac79y+\frac73c)=-6bt-\frac13by+bc$

2) $-1,2xy(5m-6c+\frac16t-\frac56)=-6mxy+7,2cxy-0,2txy+xy$

3) $0,3mn(1,5-6bc+7b-10c)=0,45mn-1,8mnbc+2,1bmn-3cmn$

232

Страница 232

Задание 1093

Вычислите наиболее удобным способом:

1) $6,72\ast(-2\frac13)+3,72\ast2\frac13=-2\frac13\ast(6,72-3,72)=-\frac73\ast3=-7$

2) $-7,2\ast2\frac2{15}-7,2\ast3\frac7{15}-7,2\ast(-4\frac4{15})=-7,2\ast(2\frac2{15}+3\frac7{15}-4\frac4{15})=-7,2\ast1\frac13=-\frac{36}5\ast\frac43=-\frac{12}5\ast\frac41=-\frac{48}5=-9,6$

3) $-3\frac9{14}\ast0,3-0,3\ast(-1\frac{10}{21})+0,3\ast1\frac16=0,3\ast(-3\frac9{14}+1\frac{10}{21}+1\frac16)=0,3\ast(-3\frac{27}{42}+1\frac{20}{42}+1\frac7{42})=0,3\ast(-1)=-0,3$

Задание 1094

Вычислите наиболее удобным способом:

1) $-32,3\ast7\frac{10}{13}+2\frac3{13}\ast(-32,3)=-32,3\ast(7\frac{10}{13}+2\frac3{13})=-32,3\ast10=-323$

2) $1,6\ast(-5,3)-2,4\ast(-5,3)-4\frac45\ast5,3=-5,3\ast(1,6-2,4+4,8)=-5,3\ast4=-21,2$

3) $-5,6\ast4\frac23+6\frac{47}{48}\ast5,6+2\frac5{16}\ast(-5,6)=-5,6\ast(4\frac23-6\frac{47}{48}+2\frac5{16})=-5,6\ast(4\frac{32}{48}-6\frac{47}{48}+2\frac{15}{48})=-5,6\ast0=0$

Задание 1095

Приведите подобные слагаемые:

1) $-\frac16x+\frac14y+\frac19x-\frac12y=(-\frac16x+\frac19x)+(\frac14y-\frac12y)=(-\frac3{18}x+\frac2{18}x)+(\frac14y-\frac24y)=-\frac1{18}x-\frac14y$

2) $\frac37a-\frac2{15}b-\frac5{14}a+\frac7{30}b=(\frac37a-\frac5{14}a)+(-\frac2{15}b+\frac7{30}b)=(\frac6{14}a-\frac5{14}a)+(-\frac4{30}b+\frac7{30}b)=\frac1{14}a+\frac3{30}b=\frac1{14}a+\frac1{10}b$

3) $-\frac{15}{16}m+\frac7{12}n+\frac5{12}m-\frac38p-\frac58n-\frac14p=(-\frac{15}{16}m+\frac5{12}m)+(\frac7{12}n-\frac58n)+(-\frac38p-\frac14p)=(-\frac{45}{48}m+\frac{20}{48}m)+(\frac{14}{24}n-\frac{15}{24}n)+(-\frac38p-\frac28p)=-\frac{25}{48}m-\frac1{24}n-\frac58p$

4) $\frac7{18}b-\frac{13}{28}c-\frac5{14}c-\frac{23}{36}b+\frac47c+\frac49b=(\frac7{18}b-\frac{23}{36}b+\frac49b)+(-\frac{13}{28}c-\frac5{14}c+\frac47c)=(\frac{14}{36}b-\frac{23}{36}b+\frac{16}{36}b)+(-\frac{13}{28}c-\frac{10}{28}c+\frac{16}{28}c)=\frac7{36}b-\frac7{28}c=\frac7{36}b-\frac14c$

Задание 1096

Упросите выражение и найдите его значение:
1) 0,8y + 0,5y − 0,9y − 0,7y, если y = −1,8;
2) 20a − 15b − 10a + 6b, если a = −0,3, b = 0,7;
3) a * (−2,4) + 3,2a − (−4,8), если a = −0,2;
4) 6,2 * b − b * (−7,3) − (−4,5) * (−b), если b = −1,4.

Решение

1) 0,8y + 0,5y − 0,9y − 0,7y = −0,3y = −0,3 * (−1,8) = 0,54

2) 20a − 15b − 10a + 6b = (20a − 10a) + (−15b + 6b) = 10a − 9b = 10 * (−0,3) − 9 * 0,7 = −3 − 6,3 = −9,3

3) a * (−2,4) + 3,2a − (−4,8) = (−2,4a + 3,2a) + 4,8 = 0,8a + 4,8 = 0,8 * (−0,2) + 4,8 = −0,16 + 4,8 = 4,64

4) 6,2 * b − b * (−7,3) − (−4,5) * (−b) = 6,2b + 7,3b − 4,5b = 9b = 9 * (−1,4) = −12,6

Задание 1097

Упростите выражение и найдите его значение:
1) −0,6x − 1,2x + 3,2x − 5,6x, если x = 3,5;
2) −2,7x + 3,6y + 4,5x − 5,8y, если
x=−1 1/9,y=−4/11.

Решение

1) −0,6x − 1,2x + 3,2x − 5,6x = −4,2x = −4,2 * 3,5 = −14,7

2) $-2,7x+3,6y+4,5x-5,8y=1,8x-2,2y=1,8\ast(-1\frac19)-2,2\ast(-\frac4{11})=\frac95\ast(-\frac{10}9)-\frac{11}5\ast(-\frac4{11})=\frac11\ast(-\frac21)-\frac15\ast(-\frac41)=-2+\frac45=-1\frac15$

Задание 1098

Раскройте скобки и приведите подобные слагаемые:

1) $\frac23(-\frac38x+6)-\frac37(28-\frac7{12}x)=-\frac28x+4-12+\frac3{12}x=(-\frac14x+\frac14x)+(4-12)=-8$

2) $-\frac29(2,7x-1\frac12y)-1\frac16(2,4x-1\frac57y)=-\frac29(2,7x-\frac32y)-\frac76(2,4x-\frac{12}7y)=-0,6x+\frac13y-2,8x+2y=2\frac13y-3,4x$

Задание 1099

Найдите значение выражения:
1) −6(2a − 7) + 4(5a − 6) при a = −2,5;
2) −1,1(2m − 4) − (2 − 3m) − 0,4(1 − m) при m = − 4;
3) 1 1/9(3y−9)−8 1/3(y−6) при y = 3,6.

Решение

1) −6(2a − 7) + 4(5a − 6) = −12a + 42 + 20a − 24 = 8a + 18 = 8 * (−2,5) + 18 = −20 + 18 = −2

2) −1,1(2m − 4) − (2 − 3m) − 0,4(1 − m) = −2,2m + 4,4 − 2 + 3m − 0,4 + 0,4m = 1,2m + 2 = 1,2 * (−4) + 2 = −4,8 + 2 = −2,8

3) $1\frac19(3y-9)-8\frac13(y-6)=\frac{10}9(3y-9)-\frac{25}3(y-6)=\frac{10}3y-10-\frac{25}3y+50=40-\frac{15}3y=40-5y=40-5\ast3,6=40-18=22$

Задание 1100

Найдите значение выражения:
1) 7(3 − 4b) − 5(3b + 4) при b = −0,2;
2) −2(3,1x − 1) + 3(1,2x + 1) − 8(0,3x + 3) при x = 0,8;
3) −2 4/13(13−p)+1 1/13(26−p) при p=3 1/4.

Решение

Страница 234

Задание 1110

Представьте в виде разности двух дробей с числителем 1 дробь:
1) 1/12;
2) 2/63;
3) 1/4;
4) 3/28;
5) 1/24.

Решение

1) $\frac1{12}=\frac4{12}-\frac3{12}=\frac13-\frac14$

2) $\frac2{63}=\frac9{63}-\frac7{63}=\frac17-\frac19$

3) $\frac14=\frac24-\frac14=\frac12-\frac14$

4) $\frac3{28}=\frac7{28}-\frac4{28}=\frac14-\frac17$

5) $\frac1{24}=\frac4{24}-\frac3{24}=\frac16-\frac18$

Задание 1111

До снижения цен стул стоил 1600 р. Какой стала цена стула после двух последовательных снижений, первое из которых было на 5%, а второе − на 10%?

Решение

1600 − 1600 * 0,05 = 1600 * (1 − 0,05) = 1600 * 0,95 = 1520 р. стал стоить стул после первого снижения;
1520 − 1520 * 0,1 = 1520 * (1 − 0,1) = 1520 * 0,9 = 1369 р. стал стоить стул после двух последовательных снижений.
Ответ: 1369 р.

Задание 1112

По одной дороге в противоположных направлениях двигаются всадник со скоростью 14 км/ч и пешеход со скоростью 4 км/ч. Каким будет расстояние между ними через 15 мин, если сейчас между ними 3 км? Сколько решений имеет задача?

Решение

15 мин = $\frac{15}{60}=\frac14$ ч.
1 вариант: всадник и пешеход двигаются друг от друга.
$14\ast\frac14=\frac72=3,5$ км проедет всадник за 15 минут;
$4\ast\frac14=1$ км пройдет пешеход за 15 минут;
3,5 + 1 = 4,5 км совместно преодолеют всадник и пешеход.
Так как изначально между всадником и пешеходом было 3 км, то:
4,5 + 3 = 7,5 км будет между всадником и пешеходом через 15 минут.
2 вариант: всадник и пешеход двигаются друг к другу.
$14\ast\frac14=\frac72=3,5$ км проедет всадник за 15 минут;
$4\ast\frac14=1$ км пройдет пешеход за 15 минут;
3,5 + 1 = 4,5 км совместно преодолеют всадник и пешеход.
Так как изначально между всадником и пешеходом было 3 км, то:
4,5 − 3 = 1,5 км будет между всадником и пешеходом через 15 минут.
Ответ: 7,5 км или 1,5 км.

Задание 1113

Используя действие умножения, проверьте, верно ли выполнено деление:
1) 0,12 : 0,3 = 0,4;
2) 1 1/3:1 7/9=3/4.

Решение

1) 0,4 * 0,3 = 0,12
Ответ: верно.

2) $\frac34\ast1\frac79=\frac34\ast\frac{16}9=\frac11\ast\frac43=1\frac13$
Ответ: верно.

Задание 1114

В вершинах куба записаны восемь различных чисел. Докажите, что хотя бы одно из них меньше среднего арифметического трех соседних чисел (соседними называют числа, записанные на концах одного ребра).

Решение

Пусть x − наименьшее число в одной из вершин, тогда:
x + a, x + b, x + c − соседние числа, где a, b, c − некоторые числа.
$\frac{x+a+x+b+x+c}3=\frac{3x+a+b+c}3=\frac{3x}3+\frac{a+b+c}3=(x+\frac{a+b+c}3)>x$ что и требовалось доказать.

236

Страница 236

Ответы к параграфу 40. Деление рациональных чисел

Задание 1115

Заполните таблицу:

Решение

12 : (−3) = −4;
−12 : 3 = −4;
−12 : (−3) = 4;
25 : (−5) = −5;
−40 : (−8) = 5;
−9 : (−9) = 1;
−8 : 8 = −1;
0 : (−6) = 0.

Задание 1116

Выполните деление:

1) 24 : (−8) = −3

2) −72 : (−6) = 12

3) −11,34 : (−42) = 5,67

4) 17 : (−5) = −3,4

5) −2 : 8 = −0,25

6) −1 : 25 = −0,04

7) −0,72 : (−0,8) = 0,9

8) $-\frac6{35}:\frac{18}{25}=-\frac6{35}\ast\frac{25}{18}=-\frac17\ast\frac53=-\frac5{21}$

9) $22:(-\frac{11}{17})=22\ast(-\frac{17}{11})=2\ast(-\frac{17}1)=-34$

10) $-\frac{14}{15}:21=-\frac{14}{15}\ast\frac1{21}=-\frac2{15}\ast\frac13=-\frac2{45}$

11) $\frac{19}{25}:(-7\frac35)=\frac{19}{25}:(-\frac{38}5)=\frac{19}{25}\ast(-\frac5{38})=\frac15\ast(-\frac12)=-\frac1{10}$

12) $-1\frac59:2\frac{13}{18}=-\frac{14}9:\frac{49}{18}=-\frac{14}9\ast\frac{18}{49}=-\frac21\ast\frac27=-\frac47$

Задание 1117

Выполните деление:

1) −36 : 9 = −4

2) −45 : (−5) = 9

3) −78,2 : (−34) = 2,3

4) −13 : 2 = −6,5

6) −21 : (−14) = 1,5

6) 6 : (−12) = −0,5

7) −8,4 : 0,07 = −120

8) $\frac3{14}:(-\frac2{21})=\frac3{14}\ast(-\frac{21}2)=\frac32\ast(-\frac32)=-\frac94=-2\frac14$

9) $-12:(-\frac67)=-12\ast(-\frac76)=-2\ast(-\frac71)=14$

10) $-\frac34:(-5)=-\frac34\ast(-\frac15)=\frac3{20}$

11) $-1\frac8{27}:(-1\frac59)=-\frac{35}{27}:(-\frac{14}9)=-\frac{35}{27}\ast(-\frac9{14})=-\frac53\ast(-\frac12)=\frac56$

12) $-3\frac3{26}:(-2\frac{10}{13})=-\frac{81}{26}:(-\frac{36}{13})=-\frac{81}{26}\ast(-\frac{13}{36})=-\frac92\ast(-\frac14)=\frac98=1\frac18$

Задание 1118

Решите уравнение:
1) 9x = −54;
2) 1,2x = −6;
3) 13x = −6;
4) −21x = 48;
5) 2 1/7x=−1 11/14;
6) −3,78 : x = −0,6;
7) x:(−1 3/13)=−0,26;
8) 18 : (−x) = 0,6.

Решение

Задание 1119

Решите уравнение:
1) −5x = 30;
2) −0,8x = −5,6;
3) −7x = 4;
4) −6x = −8;
5) 2/3 x=−3/8;
6) 40,5 : x = −9;
7) −32/63:x=8/21;
8) x:2/7=−1,4.

Решение

237

Страница 237

Задание 1120

Какие из дробей
−a/b,−a/−b,a/−b,a/b,−a/b равны?

Решение

$-\frac ab=\frac a{-b}=\frac{-a}b$
$\frac{-a}{-b}=\frac ab$

Задание 1121

Выполните действия:
1) 3,2 : (−8) + (−4,8) : (−6);
2) 2,1 * (−4) − 7,8 : (−6);
3) 14,4 : (−0,18) − 8,5 : (6,3 − 8).

Решение

1) 3,2 : (−8) + (−4,8) : (−6) = −0,4 + 0,8 = 0,4

2) 2,1 * (−4) − 7,8 : (−6) = −8,4 + 1,3 = −7,1

3) 14,4 : (−0,18) − 8,5 : (6,3 − 8) = −80 − 8,5 : (−1,7) = −80 + 5 = −75

Задание 1122

Выполните действия:
1) −5,4 : 0,6 + 9,6 : (−0,8);
2) −3,5 * 6 − 0,8 : (−0,16);
3) −21,6 : (−0,12) + 9,6 : (8,9 − 11,3).

Решение

1) −5,4 : 0,6 + 9,6 : (−0,8) = −9 − 12 = −21

2) −3,5 * 6 − 0,8 : (−0,16) = −21 + 5 = −16

3) −21,6 : (−0,12) + 9,6 : (8,9 − 11,3) = 180 + 9,6 : (−2,4) = 180 − 4 = 176

Задание 1123

Найдите значение выражения:

1) $(-\frac4{15}+\frac59):(-\frac{26}{45})=(-\frac{12}{45}+\frac{25}{45})\ast(-\frac{45}{26})=\frac{13}{45}\ast(-\frac{45}{26})=\frac11\ast(-\frac12)=-\frac12$

2) $-12:(-2\frac1{13})+1\frac14:(-\frac{15}{46})=-12:(-\frac{27}{13})+\frac54:(-\frac{15}{46})=-12\ast(-\frac{13}{27})+\frac54\ast(-\frac{46}{15})=-4\ast(-\frac{13}9)+\frac12\ast(-\frac{23}3)=\frac{52}9-\frac{23}6=\frac{104}{18}-\frac{69}{18}=\frac{35}{18}=1\frac{17}{18}$

3) $(-3\frac3{10}-1\frac8{15}):(-1\frac2{27})=(-3\frac9{30}-1\frac{16}{30}):(-\frac{29}{27})=-4\frac56\ast(-\frac{27}{29})=-\frac{29}6\ast(-\frac{27}{29})=-\frac12\ast(-\frac91)=\frac92=4\frac12$

4) $(\frac9{20}-\frac78):(-\frac7{45}-\frac29)=(\frac{18}{40}-\frac{35}{40}):(-\frac7{45}-\frac{10}{45})=-\frac{17}{40}:(-\frac{17}{45})=-\frac{17}{40}\ast(-\frac{45}{17})=-\frac18\ast(-\frac91)=\frac98=1\frac18$

Задание 1124

Вычислите:

1) $(-\frac3{14}-\frac8{21}):\frac{20}{21}=(-\frac9{42}-\frac{16}{42}):\frac{20}{21}=-\frac{25}{42}\ast\frac{21}{20}=-\frac52\ast\frac14=-\frac58$

2) $\frac38:(-\frac58)-(-2\frac14):(-1\frac4{11})=\frac38:(-\frac58)-(-\frac94):(-\frac{15}{11})=\frac38\ast(-\frac85)-(-\frac94)\ast(-\frac{11}{15})=\frac31\ast(-\frac15)-(-\frac34)\ast(-\frac{11}5)=-\frac35-\frac{33}{20}=-\frac{12}{20}-\frac{33}{20}=-\frac{45}{20}=-\frac94=-2\frac14$

3) $(-4\frac1{12}+3\frac9{10}):3\frac3{10}=(-3\frac{65}{60}+3\frac{54}{60}):\frac{33}{10}=-\frac{11}{60}\ast\frac{10}{33}=-\frac16\ast\frac13=-\frac1{18}$

4) $(\frac{11}{14}-\frac56):(\frac{11}{14}-\frac34)=(\frac{33}{42}-\frac{35}{42}):(\frac{22}{28}-\frac{21}{28})=-\frac2{42}:\frac1{28}=-\frac1{21}\ast\frac{28}1=-\frac13\ast\frac41=-\frac43=-1\frac13$

Задание 1125

Решите уравнение:
1) |x| : (−1,2) = −4;
2) −0,72 : |x| = −0,9.

Решение

1) |x| : (−1,2) = −4
|x| = −4 * (−1,2)
|x| = 4,8
x ₁ = 4 , 8;
x ₂ = − 4 , 8.

2) −0,72 : |x| = −0,9
|x| = −0,72 : (−0,9)
|x| = 0,8
x ₁ = 0 , 8;
x ₂ = − 0 , 8.

Задание 1126

Решите уравнение:
1) −3y − 9y + 5y = 2,1;
2) −2,4m + 3,8m + 1,2m = −0,052;
3) −3/7 a + 5/6 a − 8/21 a = −1/49;
4) −8 7/16 c + 10 19/24 c − 3 3/8 c = −3 1/16;
5) 2,3x − (−7,2) * x + x * (−1,5) = −2,4;
6) 3,4y + y * (−8,1) − (−2,2) * y = −10.

Решение

1) −3y − 9y + 5y = 2,1
−7y = 2,1
y = 2,1 : (−7)
y = −0,3

2) −2,4m + 3,8m + 1,2m = −0,052
2,6m = −0,052
m = −0,052 : 2,6
m = −0,02

3) $-\frac37a+\frac56a-\frac8{21}a=-\frac1{49}$
$-\frac{18}{42}a+\frac{35}{42}a-\frac{16}{42}a=-\frac1{49}$
$\frac1{42}a=-\frac1{49}$
$a=-\frac1{49}:\frac1{42}$
$a=-\frac1{49}\ast\frac{42}1$
$a=-\frac17\ast\frac61$
$a=-\frac67$

4) $-8\frac7{16}c+10\frac{19}{24}c-3\frac38c=-3\frac1{16}$
$-8\frac{21}{48}c+10\frac{38}{48}c-3\frac{18}{48}c=-\frac{49}{16}$
$-1\frac1{48}c=-\frac{49}{16}$
$-1\frac1{48}c=-\frac{49}{16}:(-\frac{49}{48})$
$c=-\frac{49}{16}\ast(-\frac{48}{49})$
$c=-\frac11\ast(-\frac31)$
с = 3

5) 2,3x − (−7,2) * x + x * (−1,5) = −2,4
2,3x + 7,2x − 1,5x = −2,4
8x = −2,4
x = −2,4 : 8
x = −0,3

6) 3,4y + y * (−8,1) − (−2,2) * y = −10
3,4y − 8,1y + 2,2y = −10
−2,5y = −10
y = −10 : −2,5
y = 4

Задание 1127

Решите уравнение:
1) −7x + 4x − 8x = −9,9;
2) 0,6y − 1,9y − 0,5y = 0,54;
3) 1/8x−2/3 x + 1/2 x = −5/18;
4) −9 5/6 b + 2 3/4 b + 1 5/12 b = 1 7/27.

Решение

1) −7x + 4x − 8x = −9,9
−11x = −9,9
x = −9,9 : (−11)
x = 0,9

2) 0,6y − 1,9y − 0,5y = 0,54
−1,8y = 0,54
y = 0,54 : (−1,8)
y = −0,3

238

Страница 238

Задание 1128

Выполните действия:
1) −84 : 2,1 − 4,64 : (−5,8) − 6 : 24 + 1,4 : (−0,28);
2) (−32,64 : 0,8 + 4,324 : (−0,46)) * 1,5 + 28,16.

Решение

1) −84 : 2,1 − 4,64 : (−5,8) − 6 : 24 + 1,4 : (−0,28) = −40 + 0,8 − 0,25 − 5 = −44,45

2) (−32,64 : 0,8 + 4,324 : (−0,46)) * 1,5 + 28,16 = (−40,8 − 9,4) * 1,5 + 28,16 = −50,2 * 1,5 + 28,16 = −75,3 + 28,16 = −47,14

Задание 1129

Вычислите:
1) 2,46 : (−4,1) − 15 : 0,25 − 40 : (−25) + (−14,4) : (−0,32);
2) (−12,16 : (−0,4) + 4,62 : (−0,3)) * (−2,4) − 93,7.

Решение

1) 2,46 : (−4,1) − 15 : 0,25 − 40 : (−25) + (−14,4) : (−0,32) = −0,6 − 60 + 1,6 + 45 = −14

2) (−12,16 : (−0,4) + 4,62 : (−0,3)) * (−2,4) − 93,7 = (30,4 − 15,4) * (−2,4) − 93,7 = 15 * (−2,4) − 93,7 = −36 − 93,7 = −129,7

Задание 1130

Найдите значение выражения:

1) $(2\frac{13}{48}-(-2\frac5{12})):(-3\frac34)+9\frac34:(-13)=(2\frac{13}{48}+2\frac{20}{48}):(-\frac{15}4)+\frac{39}4:(-13)=4\frac{11}{16}\ast(-\frac4{15})+\frac{39}4\ast(-\frac1{13})=\frac{75}{16}\ast(-\frac4{15})+\frac{39}4\ast(-\frac1{13})=\frac54\ast(-\frac11)+\frac34\ast(-\frac11)=-\frac54-\frac34=-\frac84=-2$

2) $(1\frac23-3,6):(-2\frac79+4\frac1{15})\ast(-2,6)=(1\frac23-3\frac35):(-2\frac79+4\frac1{15})\ast(-2,6)=(1\frac{10}{15}-2\frac{24}{15}):(-2\frac{35}{45}+3\frac{48}{45})\ast(-2,6)=-1\frac{14}{15}:1\frac{13}{45}:(-2,6)=-\frac{29}{15}:\frac{58}{45}\ast(-\frac{13}5)=-\frac{29}{15}\ast\frac{45}{58}\ast(-\frac{13}5)=-\frac11\ast\frac32\ast(-\frac{13}5)=\frac{39}{10}=3,9$

Масса арбуза на 1 кг 200 г больше 60% его массы. Какова масса арбуза?

Решение

Пусть x кг масса арбуза, тогда:
0,6x кг 60% массы арбуза.
1 кг 200 г = 1200 г.
Так как масса арбуза на 1 кг 200 г больше 60% его массы, то:
x − 0,6x = 1200
0,4x = 1200
x = 1200 : 0,4
x = 3000 г = 3 кг масса арбуза.
Ответ: 3 кг.

Задание 1138

В семье Петровых девять детей и двое родителей. Средний возраст всех детей составляет 6 лет, а средний возраст всех членов семьи − 12 лет. Каков средний возраст родителей?

Решение

9 * 6 = 54 года суммарный возраст детей;
9 + 2 = 11 членов семьи;
11 * 12 = 132 года суммарный возраст всех членов семьи;
132 − 54 = 78 суммарный возраст родителей;
78 : 2 = 39 лет средний возраст родителей.
Ответ: 39 лет.

239

Страница 239

Задание 1139

Является ли корнем уравнения 4(x + 6) = x + 9 число:
1) −3;
2) 0;
3) 2;
4) −5?

Решение

1) 4(−3 + 6) = −3 + 9
4 * 3 = 6
12 ≠ 6, следовательно x = −3 не является корнем уравнения.
Ответ: нет.

2) 4(0 + 6) = 0 + 9
4 * 6 = 9
12 ≠ 9, следовательно x = 0 не является корнем уравнения.
Ответ: нет.

3) 4(2 + 6) = 2 + 9
4 * 8 = 11
32 ≠ 11, следовательно x = 2 не является корнем уравнения.
Ответ: нет.

4) 4(−5 + 6) = −5 + 9
4 * 1 = 4
4 = 4, следовательно x = −5 является корнем уравнения.
Ответ: да.

Задание 1140

Является ли корнем уравнения $x^2$ = 2x + 3 число:
1) 3;
2) −2;
3) −1;
4) 4?

Решение

1) $3^2$ = 2 ∗ 3 + 3
9 = 6 + 3
9 = 9, следовательно x = 3 является корнем уравнения.
Ответ: да.

2) $(−2)^2$ = 2 ∗ (−2) + 3
4 = −4 + 3
4 ≠ −1, следовательно x = −2 не является корнем уравнения.
Ответ: нет.

3) $(−1)^2$ = 2 ∗ (−1) + 3
1 = −2 + 3
1 = 1, следовательно x = −1 является корнем уравнения.
Ответ: да.

4) $4^2$ = 2 ∗ 4 + 3
16 = 8 + 3
16 ≠ 11, следовательно x = 4 не является корнем уравнения.
Ответ: нет.

Задание 1141

Какие из приведенных уравнений имеют бесконечно много корней, а какие − не имеют корней:
1) 2x − 1 = 3;
2) 3x + 2 = 2;
3) x + 2 = x + 2;
4) 2x + 2 = 2(x + 1);
5) x + 2 = 3 + x;
6) 0 * x = 3?

Решение

1) 2x − 1 = 3
2x = 3 + 1
x = 4 : 2
x = 2, один корень.

2) 3x + 2 = 2
3x = 2 − 2
3x = 0
x = 0, один корень.

3) x + 2 = x + 2
x − x = 2 − 2
0 = 0, бесконечно много корней.

4) 2x + 2 = 2(x + 1)
2x + 2 = 2x + 2
2x − 2x = 2 − 2
0 = 0, бесконечно много корней.

5) x + 2 = 3 + x
x − x = 3 − 2
0 ≠ 1, не имеет корней.

6) 0 * x = 3
0 ≠ 3, не имеет корней.

Задание 1142

В стране Севентаун семь городов, каждый из которых соединен дорогами более чем с двумя городами. Докажите, что из любого города можно доехать до любого другого (возможно, проезжая через другие города).

Решение

Возьмем два города не соединенных между собой. Каждый из них соединен как минимум с тремя городам, тогда получается две отдельные друг от друга ветки по 4 города, то есть 4 + 4 = 8 городов, то невозможно по условию задачи. Значит хотя бы один город из этих двух веток является общим, а значит из любого города можно доехать до любого другого (возможно, проезжая через другие города).

241

Страница 241

Ответы к параграфу 41. Решение уравнений

Задание 1143

Решите уравнение:
1) 7x = −30 + 2x;
2) 16 − 18x = −25x − 12;
3) −17x + 20 = 7x − 28;
4) 20 − 2x = 27 + x;
5) 0,2x + 4,3 = 0,4x − 6,5;
6) 0,6x + 100 = 0,9x + 1;
7) −9/14 x + 18 = −2/3 x + 17;
8) −8/15 x − 11 = 4/9 x + 11.

Решение

1) 7x = −30 + 2x
7x − 2x = −30
5x = −30
x = −30 : 5
x = −6

2) 16 − 18x = −25x − 12
−18x + 25x = −12 − 16
7x = −28
x = −28 : 7
x = −4

3) −17x + 20 = 7x − 28
−17x − 7x = −28 − 20
−24x = −48
x = −48 : (−24)
x = 2

4) 20 − 2x = 27 + x
−2x − x = 27 − 20
−3x = 7
$x=-\frac73=-2\frac13$

5) 0,2x + 4,3 = 0,4x − 6,5
0,2x − 0,4x = −6,5 − 4,3
−0,2x = −10,8
x = −10,8 : (−0,2)
x = 54

6) 0,6x + 100 = 0,9x + 1
0,6x − 0,9x = 1 − 100
−0,3x = −99
x = −99 : (−0,3)
x = 330

Задание 1144

Чему равен корень уравнения:
1) 3x = 28 − x;
2) 5x + 12 = 8x + 30;
3) 33 + 8x = −5x + 72;
4) 6x − 19 = −x − 10;
5) 0,7 − 0,2x = 0,3x − 1,8;
6) 0,1x + 9 = 0,2x − 4?

Решение

1) 3x = 28 − x
3x + x = 28
4x = 28
x = 28 : 4
x = 7

2) 5x + 12 = 8x + 30
5x − 8x = 30 − 12
−3x = 18
x = 18 : (−3)
x = −6

3) 33 + 8x = −5x + 72
8x + 5x = 72 − 33
13x = 39
x = 39 : 13
x = 3

4) 6x − 19 = −x − 10
6x + x = −10 + 19
7x = 9
$x=\frac97=1\frac27$

5) 0,7 − 0,2x = 0,3x − 1,8
−0,2x − 0,3x = −1,8 − 0,7
−0,5x = −2,5
x = −2,5 : (−0,5)
x = 5

6) 0,1x + 9 = 0,2x − 4
0,1x − 0,2x = −4 − 9
−0,1x = −13
x = −13 : (−0,1)
x = 130

Задание 1145

Решите уравнение:
1) −6(x + 2) = 4x − 17;
2) (18x − 19) − (4 − 7x) = −73;
3) 10x + 3(7 − 2x) = 13 + 2x;
4) −3(4 − 5y) + 2(3 − 6y) = −3,9.

Решение

1) −6(x + 2) = 4x − 17
−6x − 12 = 4x − 17
−6x − 4x = −17 + 12
−10x = −5
x = −5 : (−10)
x = 0,5

2) (18x − 19) − (4 − 7x) = −73
18x − 19 − 4 + 7x = −73
18x + 7x = −73 + 19 + 4
25x = −50
x = −50 : 25
x = −2

3) 10x + 3(7 − 2x) = 13 + 2x
10x + 21 − 6x = 13 + 2x
10x − 6x − 2x = 13 − 21
2x = −8
x = −8 : 2
x = −4

4) −3(4 − 5y) + 2(3 − 6y) = −3,9
−12 + 15y + 6 − 12y = −3,9
3y = −3,9 + 12 − 6
3y = 2,1
y = 2,1 : 3
y = 0,7

Задание 1146

Найдите корень уравнения:
1) 9(x − 1) = x + 15;
2) (11x + 14) − (5x − 8) = 25;
3) 12 − 4(x − 3) = 39 − 9x;
4) 2(3x + 5) − 3(4x − 1) = 11,8.

Решение

1) 9(x − 1) = x + 15
9x − 9 = x + 15
9x − x = 15 + 9
8x = 24
x = 24 : 8
x = 3

2) (11x + 14) − (5x − 8) = 25
11x + 14 − 5x + 8 = 25
11x − 5x = 25 − 14 − 8
6x = 3
x = 3 : 6
x = 0,5

3) 12 − 4(x − 3) = 39 − 9x
12 − 4x + 12 = 39 − 9x
−4x + 9x = 39 − 12 − 12
5x = 15
x = 15 : 5
x = 3

4) 2(3x + 5) − 3(4x − 1) = 11,8
6x + 10 − 12x + 3 = 11,8
−6x = 11,8 − 10 − 3
−6x = −1,2
x = −1,2 : (−6)
x = 0,2

Задание 1147

Решите уравнение:
1) 0,8(4x + 5) = −3,2;
2) −2,4(7 − 9y) = −48.

Решение

1) 0,8(4x + 5) = −3,2
3,2x + 4 = −3,2
3,2x = −3,2 − 4
3,2x = −7,2
x = −7,2 : 3,2
x = -72 : 32
х = -2,25

2) −2,4(7 − 9y) = −48
−16,8 + 21,6y = −48
21,6y = −48 + 16,8
21,6y = −31,2
y = −31,2 : 21,6
y = −312 : 216
$y=-\frac{13}9$
$y=-1\frac49$

242

Страница 242

Задание 1148

Решите уравнение:
1) −7(2 − 3x) = 56;
2) (5 + 7a) * 15 = −30.

Решение

1) −7(2 − 3x) = 56
−14 + 21x = 56
21x = 56 + 14
21x = 70
$x=\frac{70}{21}$
$x=\frac{10}3=3\frac13$

2) (5 + 7a) * 15 = −30
75 + 105a = −30
105a = −30 − 75
105a = −105
a = −105 : 105
a = −1

Задание 1149

Найдите корень уравнения:
1) 0,3m + 2(0,2m − 0,3) = 0,8 − 0,7(m − 2);
2) 0,6 − (1,3x + 1) = 2,8x − 13,52;
3) 1/8(8/9 y + 8)− 1/5(5/6 y + 1 2/3) = 2.

Решение

1) 0,3m + 2(0,2m − 0,3) = 0,8 − 0,7(m − 2)
0,3m + 0,4m − 0,6 = 0,8 − 0,7m + 1,4
0,3m + 0,4m + 0,7m = 0,8 + 1,4 + 0,6
1,4m = 2,8
m = 2,8 : 1,4
m = 2

2) 0,6 − (1,3x + 1) = 2,8x − 13,52
0,6 − 1,3x − 1 = 2,8x − 13,52
−1,3x − 2,8x = −13,52 − 0,6 + 1
−4,1x = −13,12
x = −13,12 : (−4,1)
x = 3,2

Задание 1150

Решите уравнение:
1) 0,4(x − 3) − 1,6 = 5(0,1x − 0,5);
2) 1,5(2x − 5) + 2x = 5(0,5x − 1,5) − 10;
3) 2/3(1 1/2 x + 3/5) − 4/5(5/12 x − 1/2) = 1 3/5.

Решение

1) 0,4(x − 3) − 1,6 = 5(0,1x − 0,5)
0,4x − 1,2 − 1,6 = 0,5x − 2,5
0,4x − 0,5x = −2,5 + 1,2 + 1,6
−0,1x = 0,3
x = 0,3 : (−0,1)
x = −3

2) 1,5(2x − 5) + 2x = 5(0,5x − 1,5) − 10
3x − 7,5 + 2x = 2,5x − 7,5 − 10
3x + 2x − 2,5x = −7,5 − 10 + 7,5
2,5x = −10
x = −10 : 2,5
x = −4

Задание 1151

Чему равен корень уравнения:
1) −9(6x + 1) = −45(2x + 2,6);
2) 0,6(2x + 1) = −1,8(3x − 4)?

Решение

1) −9(6x + 1) = −45(2x + 2,6)
−54x − 9 = −90x − 117
−54x + 90x = −117 + 9
36x = −108
x = −108 : 36
x = −3

2) 0,6(2x + 1) = −1,8(3x − 4)
1,2x + 0,6 = −5,4x + 7,2
1,2x + 5,4x = 7,2 − 0,6
6,6x = 6,6
x = 6,6 : 6,6
x = 1

Задание 1158

При каком значении переменной:
1) значение выражения 2,5x + 3(0,5x − 1,8) равно −3,8:
2) выражения 7 − 2x и 9x − 8(x + 1) принимают равные значения;
3) значение выражения 3(m + 1,4) − 6,4 на 0,7 меньше значения выражения 8m − 15(m − 1,1);
4) значение выражения 5n − 1 в 6 раз больше значения выражения 2n − 13?

Решение

Страница 244

Задание 1172

Задача от мудрой совы

В шахматной доске размером 8 × 8 клеток вырезали крайнюю левую верхнюю и крайнюю правую нижнюю клетки. Можно ли оставшуюся часть доски замостить косточками домино, покрывая одной косточкой ровно две клетки доски?

Решение

Вырезанные клетки белого цвета, значит на доске осталось 32 черных и 30 белых клеток.
Косточка домино покрывает обязательно 1 черную и 1 белую клетку одновременно, следовательно невозможно замостить косточками домино, покрывая одной косточкой ровно две клетки доски.

Ответ: нельзя.

245

Страница 245

Ответы к параграфу 42. Решение задач с помощью уравнений

Задание 1173

Лиса Алиса и кот Базилио наловили 215 окуньков, причем Алиса поймала в 4 раза больше, чем Базилио. Сколько окуньков поймал каждый из них?

Решение

Пусть x окуньков поймал Базилио, тогда:
4x окуньков поймала Алиса.
Так как всего они поймали 215 окуньков, то:
4x + x = 215
5x = 215
x = 215 : 5
x = 43 окунька поймал Базилио;
4x = 4 * 43 = 172 окунька поймала Алиса.
Ответ: 43 и 172 окунька.

Задание 1174

Буратино заплатил за дневник и учебник "Арифметика" 96 сольдо, причем дневник стоил в 5 раз меньше, чем учебник. Сколько сольдо заплатил Буратино за дневник и сколько за учебник?

Решение

Готовясь к экзамену, ученик планировал ежедневно решать 12 задач. Однако он решал ежедневно на 4 задачи больше, и уже за три дня до экзамена ему осталось решить 8 задач. Сколько дней ученик планировал готовиться к экзамену?

Решение

Найдите значение выражения:

1) $(-2,04:\frac1{25}-3,61:(-\frac{19}{40})):(-2\frac45)+0,6:(-0,9)=(-\frac{51}{25}:\frac1{25}-\frac{361}{100}:(-\frac{19}{40})):(-\frac{14}5)+\frac35:(-\frac9{10})=(-\frac{51}{25}\ast\frac{25}1-\frac{361}{100}\ast(-\frac{40}{19}))\ast(-\frac5{14})+\frac35\ast(-\frac{10}9)=(-\frac{51}1\ast\frac11-\frac{19}5\ast(-\frac21))\ast(-\frac5{14})+\frac11\ast(-\frac23)=(-51+7\frac35)\ast(-\frac5{14})-\frac23=-43\frac25\ast(-\frac5{14})-\frac23=-\frac{217}5\ast(-\frac5{14})-\frac23=-\frac{31}1\ast(-\frac12)-\frac23=15\frac12-\frac23=15\frac36-\frac46=14\frac56$

2) $(7,7:(-\frac{11}{40})-3,8:(-\frac1{20}))\ast(-\frac5{16})-0,4:(-0,36)=(\frac{77}{10}:(-\frac{11}{40})-\frac{19}5:(-\frac1{20}))\ast(-\frac5{16})-\frac25:(-\frac9{25})=(\frac{77}{10}\ast(-\frac{40}{11})-\frac{19}5\ast(-\frac{20}1))\ast(-\frac5{16})-\frac25\ast(-\frac{25}9)=(\frac71\ast(-\frac41)-\frac{19}1\ast(-\frac41))\ast(-\frac5{16})-\frac21\ast(-\frac59)=(-28+76)\ast(-\frac5{16})+\frac{10}9=48\ast(-\frac5{16})+1\frac19=3\ast(-\frac51)+1\frac19=-15+1\frac19=-13\frac89$

Задание 1216

В записи числа 689123401 зачеркните три цифры так, чтобы оставшиеся цифры в том же порядке составили наибольшее из возможных чисел.

Решение

689123401
Ответ: 923401

Задание 1217

Из вершины B развернутого угла ABC провели луч BK так, что ∠ABK = 108°. Луч BD − биссектриса угла CBK. Вычислите градусную меру угла DBK.

Решение

Так угол ABC развернутый, следовательно он равен 180°, тогда:
∠CBK = ∠ABC − ∠ABK = 180° − 108° = 72°
Так как, луч BD − биссектриса угла CBK, то:
∠DBK = ∠CBK : 2 = 72° : 2 = 36°
Ответ: ∠DBK = 36°

Задание 1218

Существует ли 1005 натуральных чисел (не обязательно разных), сумма которых равна их произведению?

Решение

Сумма: 2 + 1005 + (1 + 1 + ... + 1) = 1007 + 1003 = 2010
Произведение: 2 * 1005 * (1 * 1 * ... * 1) = 2010
Ответ: да, существует.

253

Страница 253

Ответы к параграфу 43. Перпендикулярные прямые

Задание 1219

На рисунке 118 изображен квадрат MNKP. Запишите все пары перпендикулярных прямых.

Решение

MN⊥NK; NK⊥KP; KP⊥PM; PM⊥MN; NP⊥MK.

Задание 1220

Найдите на рисунке 119 пары перпендикулярных прямых и запишите их.

Решение

AC⊥KE; FT⊥MD.

Задание 1221

Перерисуйте в тетрадь рисунок 120. Проведите через точку M прямую, перпендикулярную прямой a.

Решение

Задание 1222

Проведите прямую d и отметьте точку M, ей не принадлежащую. Проведите через точку M прямую, перпендикулярную прямой d.

Решение

254

Страница 254

Задание 1223

Проведите прямую c и отметьте точку K, принадлежащую ей. Проведите через точку K прямую, перпендикулярную прямой c.

Решение

Задание 1224

Начертите прямоугольник ABCD, соедините точки A и C. Проведите через точку B прямую, перпендикулярную прямой AC.

Решение

Задание 1225

Начертите треугольник:
1) остроугольный;
2) тупоугольный;
3) прямоугольный.
Проведите через каждую вершину треугольника прямую, перпендикулярную противоположной стороне.

Решение

1)

2)

3)

Задание 1226

Начертите угол ABK, градусная мера которого равна:
1) 73°;
2) 146°.
Отметьте на луче BK точку C и проведите через нее прямые, перпендикулярные прямым AB и BK.

Решение

1)

2)

Задание 1227

Перерисуйте в тетрадь рисунок 121. Проведите через точку O прямые, перпендикулярные прямым AB, CD и EF.

Решение

Задание 1228

Начертите остроугольный треугольник и отметьте внутри него точку. Проведите через эту точку прямые, перпендикулярные сторонам треугольника.

Решение

Задание 1229

Начертите четырехугольник ABCD, в котором:
1) AB⊥AD;
2) AB⊥AD, AB⊥BC;
3) AB⊥AD, BC⊥CD.

Решение

1)

2)

3)

Задание 1230

С помощью угольника определите, какие из прямых, изображенных на рисунке 122, перпендикулярны.

Решение

a⊥m; b⊥r; c⊥s; d⊥p.

Задание 1231

Начертите два перпендикулярных отрезка так, чтобы они:
1) пересекались;
2) не имели общих точек;
3) имели общий конец.

Решение

1)

2)

3)

Задание 1232

Начертите два перпендикулярных луча так, чтобы они:
1) пересекались;
2) не имели общих точек.

Решение

1)

2)

Задание 1233

На рисунке 123 AB⊥CD, ∠MOC + ∠BOK = 130°, COK = 42°. Найдите:
1) ∠MOK;
2) ∠MOD.

Решение

1) Так как, AB⊥CD, то ∠COB = 90°, тогда:
∠KOB = ∠COB − ∠COK = 90° − 42° = 48°.
∠MOC + ∠BOK = 130°, тогда:
∠MOC = 130° − ∠BOK = 130° − 42° = 82°.
∠MOK = ∠MOC + ∠COK = 82° + 42° = 124°.
Ответ: ∠MOK = 124°

2) Так как, AB⊥CD, то ∠COB = 90°; ∠AOC = 90°, тогда:
∠AOB = ∠COB + ∠AOC = 90° + 90° = 180°;
∠AOM = ∠AOB − (∠MOC + ∠BOK) − ∠COK = 180° − 130° − 42° = 8°.
Так как, AB⊥CD, то ∠AOD = 90°, тогда:
∠MOD = ∠AOD + ∠AOM = 90° + 8°= 98°.
Ответ: ∠MOD = 98°

255

Страница 255

Задание 1234

На рисунке 124 AС⊥DK, OB⊥BF, ∠DBO = 54°. Вычислите градусную меру угла ABF.

Решение

∠DBK развернутый и равен 180°.
Так как, OB⊥BF, то ∠OBF = 90°, тогда:
∠KBF = ∠DBK − ∠DBO − ∠OBF = 180° − 54° − 90° = 36°.
Так как, AС⊥DK, то ∠ABK = 90°, тогда:
∠ABF = ∠ABK + ∠KBF = 90° + 36° = 126°
Ответ: ∠ABF = 126°

Задание 1235

Как построить перпендикулярные прямые, пользуясь шаблоном угла, который равен:
1) 15°;
2) 18°?

Решение

1) 90 : 15 = 6, следовательно необходимо шаблоном угла 15° отложить 6 последовательных углов.

2) 90 : 18 = 5, следовательно необходимо шаблоном угла 18° отложить 5 последовательных углов.

Задание 1236

Пользуясь угольником и шаблоном угла 17°, постройте угол, градусная мера которого:
1) 5°;
2) 12°?

Решение

1)

90° − 17° * 5 = 90° − 85° = 5°

2)

17° * 6 − 90° = 102° − 90° = 12°

Задание 1237

Пользуясь угольником и шаблоном угла 20°, постройте угол, градусная мера которого 10°.

Решение

90° − 20° * 4 = 90° − 80° = 10°

Задание 1238

Сумма цифр двузначного числа равна 8, количество десятков в 3 раза меньше количества единиц. Найдите это число.

Решение

Пусть x количество десятков, тогда:
3x количество единиц.
Так как, сумма цифр двузначного числа равна 8, то:
3x + x = 8
4x = 8
x = 8 : 4
x = 2 количество десятков;
3x = 3 * 2 = 6 количество единиц, следовательно искомое число 26.
Ответ: 26.

Задание 1239

Из семи учащихся четверо хорошо поют, двое выразительно читают стихи, а один красиво танцует. Сколькими способами из этих учащихся можно организовать концертную бригаду, состоящую из певца, чтеца и танцора?

Решение

В концертную бригаду можно выбрать:
одного из четырех певцов (4 способа);
одного из двух чтецов (2 способа);
одного танцора (1 способ), тогда:
4 * 2 * 1 = 8 способами можно организовать концертную бригаду.
Ответ: 8 способов.

Задание 1240

Заполните пропуски в цепочке вычислений при:
1) x = 1 1/8;
2) x = 1 1/4.

Решение

1) $x\ast\frac2{15}=1\frac18\ast\frac2{15}=\frac98\ast\frac2{15}=\frac34\ast\frac15=\frac3{20}$
$\frac3{20}-\frac18=\frac6{40}-\frac5{40}=\frac1{40}$
$\frac1{40}<\frac1{30}$
$\frac1{40}:\frac78=\frac1{40}\ast\frac87=\frac15\ast\frac17=\frac1{35}$
$\frac1{35}-\frac27=\frac1{35}-\frac{10}{35}=-\frac9{35}$

2) $x\ast\frac2{15}=1\frac14\ast\frac2{15}=\frac54\ast\frac2{15}=\frac12\ast\frac13=\frac16$
$\frac16-\frac18=\frac4{24}-\frac3{24}=\frac1{24}$
$\frac1{24}>\frac1{30}$
$\frac1{24}:\frac7{12}=\frac1{24}\ast\frac{12}7=\frac12\ast\frac17=\frac1{14}$
$\frac1{14}-\frac37=\frac1{14}-\frac6{14}=-\frac5{14}$

Задание 1241

Сегодня Василию Ивановичу исполнилось 80 лет, а его детям − 34, 36 и 40. Сколько лет прошло с того времени, когда возраст отца был в 2 раза больше суммы возрастов его детей?

Решение

Пусть x лет прошло, тогда:
80 − x лет было Василию Ивановичу;
34 − x лет было первому ребенку;
36 − x лет было второму ребенку;
40 − x лет было третьему ребенку.
Так как, возраст отца был в 2 раза больше суммы возрастов его детей, то:
2(34 − x + 36 − x + 40 − x) = 80 − x
2(−3x + 110) = 80 − x
−6x + 220 = 80 − x
−6x + x = 80 − 220
−5x = −140
x = −140 : (−5)
x = 28 лет прошло.
Ответ: 28 лет.

Задание 1242

Верно ли, что |a| + a = 2a при любом значении a?

Решение

Неверно, так как при отрицательном значении a равенство не будет верным, например a = −5, тогда:
|−5| + (−5) = 2 * (−5)
5 − 5 = −10
0 ≠ −10

Задание 1243

На шахматную доску пролили краску. Может ли количество залитых клеток быть на 17 меньше количества клеток, оставшихся чистыми?

Решение

Пусть x клеток залили, тогда:
64 − x клеток остались чистыми.
Представим, что количество залитых клеток на 17 меньше чистых, тогда:
(64 − x) − x = 17
64 − x − x = 17
−2x = 17 − 64
x = −47 : (−2)
x = 23,5 клеток залили, что невозможно, так как количество клеток должно быть натуральным числом, следовательно залитых клеток не может быть на 17 меньше количества клеток, оставшихся чистыми.
Ответ: не может.

259

Страница 259

Ответы к параграфу 44. Осевая и центральная симметрия

Задание 1244

Прямая l проходит через середину отрезка AB. Обязательно ли точки A и B симметричны относительно прямой l?

Решение

Точки A и B будут симметричны относительно прямой l, только в том случае прямая l, проходящая через середину отрезка AB, будет перпендикулярна отрезку AB.
Ответ: не обязательно.

Задание 1245

Используя линейку и угольник, определите, симметричны ли относительно прямой l (рис. 142) точки:
1) A и B;
2) M и K;
3) E и F;
4) C и D.

Решение

1) нет

2) нет

3) нет

4) нет

260

Страница 260

Задание 1246

Начертите прямую m и отметьте точки P и S по разные стороны от нее. Постройте точки, симметричные точкам P и S относительно прямой m.

Решение

Задание 1247

Перерисуйте рисунок 143 в тетрадь и постройте отрезки, симметричные отрезкам AB и CD относительно прямой a.

Решение

Задание 1248

Перерисуйте рисунок 144 в тетрадь и постройте отрезок, симметричный отрезку AB относительно прямой m.

Решение

Задание 1249

Симметричны ли изображенные на рисунке 145 фигуры относительно прямой l?

Решение

а) да

б) нет

в) нет

г) да

Задание 1250

На рисунке 146 отмечены точки A, B, C, D, E, F. С помощью линейки определите, симметричны ли точки:
1) A и E относительно точки C;
2) B и D относительно точки C;
3) C и F относительно точки E;
4) A и F относительно точки E.

Решение

1) да

2) нет

3) да

4) нет

261

Страница 261

Задание 1251

Перерисуйте рисунок 147 в тетрадь и постройте точку, симметричную точке:
1) A относительно точки B;
2) K относительно точки B;
3) B относительно точки K;
4) M относительно точки B;
5) M относительно точки K;
6) A относительно точки K.

Решение

1)

2)

3)

4)

5)

6)

Задание 1252

Начертите координатную прямую и отметьте на ней точки M (4) и K(−3). Постройте точки, симметричные точкам M и K относительно начала отсчета. Определите координаты полученных точек.

Решение

Ответ: M1(−4); K1(3).

Задание 1253

Начертите координатную прямую и отметьте на ней точки A(5), B(1) и C(−2). Постройте точку, симметричную точке:
1) A относительно точки B;
2) C относительно точки B;
3) B относительно точки C;
4) B относительно точки A.
Определите координаты полученных точек.

Решение

1)

Ответ: A1(−3).

2)

Ответ: C1(4).

3)

Ответ: B1(−5).

4)

Ответ: B1(9).

Задание 1254

Какие из отмеченных точек окружности (рис.148) образуют пары точек, симметричных относительно ее центра O?

Решение

точка B симметрична точке E относительно O;
точка A симметрична точке D относительно O.

262

Страница 262

Задание 1255

Постройте точки, симметричные точкам M, N, K, P окружности (рис.149) относительно ее центра O.

Решение

Задание 1256

Начертите отрезок BD и отметьте точку A вне этого отрезка. Постройте отрезок, симметричный отрезку BD относительно точки A. Сравните полученный отрезок и отрезок BD.

Решение

Задание 1257

Перерисуйте рисунок 150 в тетрадь и постройте треугольник, симметричный треугольнику ABC относительно прямой l.

Решение

Задание 1258

Перерисуйте рисунок 151 в тетрадь и постройте треугольник, симметричный треугольнику ABC относительно прямой l.

Решение

Задание 1259

Сколько осей симметрии имеет фигура, изображенная на рисунке 152?

Решение

Задание 1260

Какие печатные буквы русского алфавита имеют:
1) вертикальную ось симметрии;
2) горизонтальную ось симметрии;
3) вертикальную и горизонтальную ось симметрии?

Решение

1)

Только вертикальная ось симметрии:

2)

Только горизонтальная ось симметрии:

3)

И вертикальная, и горизонтальная ось симметрии:

Задание 1261

Перерисуйте в тетрадь фигуру, изображенную на рисунке 153. Проведите все оси симметрии данной фигуры.

Решение

263

Страница 263

Задание 1262

Перерисуйте в тетрадь фигуру, изображенную на рисунке 154. Проведите все оси симметрии данной фигуры.

Решение

Задание 1263

На рисунке 155 изображены сторона AB и ось симметрии l треугольника ABC. Перерисуйте рисунок в тетрадь и постройте треугольник ABC. Определите вид треугольника ABC.

Решение

Так как AB симметрична BC, то AB = BC, следовательно ΔABC равнобедренный.
Все углы треугольника меньше 90°, следовательно ΔABC остроугольный.
Ответ: ΔABC равнобедренный, остроугольный.

Задание 1264

На рисунке 156 изображены сторона AB и ось симметрии l четырехугольника ABCD. Перерисуйте рисунок в тетрадь и постройте четырехугольник ABCD.

Решение

Задание 1265

На рисунке 157 изображены стороны AB и BC и ось симметрии l шестиугольника ABCDEF. Перерисуйте рисунок в тетрадь и постройте шестиугольник ABCDEF.

Решение

Задание 1266

Перерисуйте рисунок 158 в тетрадь и постройте фигуру, симметричную треугольнику ABC относительно точки O.

Решение

264

Страница 264

Задание 1267

Перерисуйте рисунок 159 в тетрадь и постройте фигуру, симметричную треугольнику ABC:
1) относительно точки O;
2) относительно точки D.

Решение

Задание 1268

Начертите треугольник ABC. Постройте фигуру, симметричную этому треугольнику относительно точки C.

Решение

Задание 1269

Начертите квадрат ABCD. Постройте фигуру, симметричную этому квадрату относительно точки С.

Решение

Задание 1270

На рисунке 160 изображены сторона AB и центр симметрии O четырехугольника ABCD. Перерисуйте рисунок в тетрадь и постройте четырехугольник ABCD.

Решение

Задание 1271

На рисунке 161 изображены стороны AB и BC и центр симметрии O шестиугольника ABCDEF. Перерисуйте рисунок в тетрадь и постройте шестиугольник ABCDEF.

Решение

Задание 1272

Есть две одинаковые полоски в клетку (рис. 162). Два мальчика играют в такую игру: за один ход можно зачеркнуть любое количество клеток, но в одной полоске. Проигрывает тот, кому уже нечего зачеркнуть. Кто из двух игроков может обеспечить себе выигрыш и как это сделать?

Решение

Если второй будет закрашивать те же самые клетки, что и первый, но только в другой полоске, то второй будет последним кто зачеркнет клетки, а следовательно он обеспечит себе выигрыш.
Ответ: второй.

Задание 1273

Два мальчика по очереди кладут одинаковые монетки на круглый стол так, чтобы они не накладывались друг на друга. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто из двух игроков может обеспечить себе выигрыш и как это сделать?

Решение

Выиграет первый, если положит первым ходом монету в центр стола. После хода второго игрока первый должен класть свою монету симметрично монете положенной вторым относительно центра. Таким образом, пока возможен ход второго игрока у первого всегда будет возможность положить монету, следовательно первый и победит.
Ответ: победит первый игрок.

Задание 1274

В 1792 г. ученые Парижской академии наук измерили длину земного меридиана, проходящего через Париж. Одна десятимиллионная доля четверти Парижского меридиана составляла 1 м. Найдите длину земного меридиана, проходящего через Париж.

Решение

Пусть x м длина земного меридиана, проходящего через Париж, тогда:
$\frac14x$ четверть Парижского меридиана;
$\frac1{10000000}\ast\frac14x=\frac1{40000000}x$ одна десятимиллионная доля четверти Парижского меридиана.
Так как, одна десятимиллионная доля четверти Парижского меридиана составляла 1 м, то:
$\frac1{40000000}x=1$
$x=1:\frac1{40000000}$
$x=1\ast\frac{40000000}1$
x = 40000000 м = 40000 км длина земного меридиана, проходящего через Париж.
Ответ: 40000 км.

265

Страница 265

Задание 1275

Укажите трехзначное число:
1) первая цифра которого 6 и которое делится нацело на 5 и на 9, но не делится нацело на 2;
2) первая цифра которого 5 и которое делится нацело на 2, на 5 и на 9.

Решение

1) Так как первая цифра числа равна 6, то число имеет вид 6*.
Так как число делится нацело на 5, то последняя цифра числа равна либо 0, либо 5. Но так как, оно не делится нацело на 2, то последняя цифра не может быть нулем, а значит она равна 5, и число имеет вид 65.
Так как число делится нацело на 9, то сумма цифр числа должна делится на 9, тогда:
6 + * + 5 = 9 * 2
* = 18 − 6 − 5
* = 7
Ответ: число 675.

2) Так как первая цифра числа равна 5, то число имеет вид 5*.
Так как число делится нацело на 5, то последняя цифра числа равна либо 0, либо 5. Но так как, оно делится нацело на 2, то последняя цифра не может быть 5, а значит она равна 0, и число имеет вид 50.
Так как число делится нацело на 9, то сумма цифр числа должна делится на 9, тогда:
5 + * + 0 = 9
* = 9 − 5 − 0
* = 4
Ответ: число 540.

Задание 1276

Найдите значение выражения:

1) $(6\frac7{12}-3\frac{17}{36})\ast2,5-4\frac13:0,65=(6\frac{21}{36}-3\frac{17}{36})\ast\frac52-\frac{13}3:\frac{13}{20}=3\frac19\ast\frac52-\frac{13}3\ast\frac{20}{13}=\frac{28}9\ast\frac52-\frac{13}3\ast\frac{20}{13}=\frac{14}9\ast\frac51-\frac13\ast\frac{20}1=\frac{70}9-\frac{20}3=\frac{70}9-\frac{60}9=\frac{10}9=1\frac19$

2) $3\frac34\ast1\frac15+(2,55+2,7):(0,1-\frac1{80})=\frac{15}4\ast\frac65+5,25:(\frac1{10}-\frac1{80})=\frac32\ast\frac31+\frac{21}4:(\frac8{80}-\frac1{80})=\frac92+\frac{21}4:\frac7{80}=4\frac12+\frac{21}4\ast\frac{80}7=4\frac12+\frac31\ast\frac{20}1=4\frac12+60=64\frac12$

Задание 1277

Перерисуйте в тетрадь рисунок 163. Через каждую из точек A и B проведите прямую, перпендикулярную прямой a.

Решение

Задание 1278

Перерисуйте в тетрадь рисунок 164. Через точку M проведите прямую b, перпендикулярную прямой a, и прямую c, перпендикулярную прямой b.

Решение

Задание 1279

На прямой отметили несколько точек. Затем между каждыми двумя соседними точками поставили еще по точке, и так поступили несколько раз. Докажите, что после каждой такой операции общее количество точек на прямой будет нечетным.

Решение

Так как каждый раз будет проставляться на одну точку меньше, чем было изначально, то количество, точек проставляемое в каждом отдельном представлении будет меняться с четного количества на нечетный, то есть:
допустим первый раз поставили четное количество точек, тогда:
четное количество − изначально;
нечетное количество − 1 проставление;
четное количество − 2 проставление;
нечетное количество − 3 проставление и т.д.
Так как после каждого проставления четное количество точек будет складываться с нечетным количеством, то сумма всех точек всегда будет нечетной.
Аналогичный расчет будет и в том случае, если первый раз проставили нечетное количество точек.

268

Страница 268

Ответ к параграфу 45. Параллельные прямые

Задание 1280

Перерисуйте в тетрадь рисунок 173. Проведите через каждую из точек A и B прямую, параллельную прямой m.

Решение

Задание 1281

Определите на глаз, а потом проверьте с помощью угольника и линейки, какие из прямых, изображенных на рисунке 174, параллельны.

Решение

а) a||c

б) a||c; b||d.

Задание 1282

Перерисуйте в тетрадь рисунок 175. Проведите через точку O прямые, параллельные прямым k и p.

Решение

Задание 1283

Начертите угол MKE, градусная мера которого равна:
1) 58°;
2) 116°;
3) 90°.
Отметьте между сторонами угла точку P и проведите через эту точку прямые, параллельные сторонам угла.

Решение

269

Страница 269

Задание 1284

Начертите треугольник и проведите через каждую его вершину прямую, параллельную противоположной стороне.

Решение

Задание 1285

Перерисуйте в тетрадь рисунок 176. Проведите прямые BC, CE, AD, DF, BE и AF. Определите, какие из этих прямых параллельны.

Решение

Ответ: AF||BE; BD||CE; BC||AD.

Задание 1286

Начертите четырехугольник, у которого:
1) две стороны параллельны, а две другие − не параллельны;
2) противоположные стороны параллельны.

Решение

Задание 1287

Начертите:
1) пятиугольник, две стороны которого параллельны;
2) шестиугольник, у которого каждая сторона параллельна какой−либо другой стороне.

Решение

Задание 1288

Начертите шестиугольник, две стороны которого лежат на одной прямой, а каждая из четырех остальных сторон параллельна какой−либо другой стороне.

Решение

Задание 1289

Сколько точек пересечения могут иметь три прямые на плоскости?
Изобразите все случаи.

Решение

Три прямые на плоскости могут иметь следующее количество точек пересечения на плоскости:

0 точек

1 точку

2 точки

3 точки

Задание 1290

Составили одинаковые большие и одинаковые маленькие букеты роз. В двух маленьких и пяти больших букетах было 55 роз, а в шести маленьких и пяти больших − 75 роз. Сколько роз было в каждом букете?

Решение

Пусть x роз было в маленьком букете, y роз было в большом букете, тогда:
2x + 5y = 55 количество роз в первой комбинации;
6x + 5y = 75 количество роз во второй комбинации.
(6x + 5y) − (2x + 5y) = 75 − 55
6x + 5y − 2x − 5y = 20
6x − 2x = 20
4x = 20, то есть 20 роз содержится в 4 маленьких букетах;
x = 20 : 4
x = 5 роз содержится в каждом маленьком букете.
2x + 5y = 55
2 * 5 + 5y = 55
10 + 5y = 55
5y = 55 − 10
y = 45 : 5
y = 9 роз было в каждом большом букете.
Ответ: 5 роз в маленьком букете, 9 роз в большом букете.

270

Страница 270

Задание 1291

При обработки детали ее масса уменьшилась с 240 кг до 204 кг. На сколько процентов уменьшилась масса детали?

Решение

$\frac{204}{240}$ ∗ 100 = 17 ∗ 5 = 85 % составляет 204 кг от 240 кг.
100% − 85% = 15%, значит на 15% уменьшилась масса детали.
Ответ: на 15%.

Задание 1292

Влажность травы составляет 80%, а сена − 20%. Сколько килограммов сена получат из 4 т травы?

Решение

$\frac{20}{80}$ ∗ 100 % = $\frac14$ ∗ 100 % = 25% составляет влажность сена от влажности травы, тогда:
4 * 25% = 4 * 0,25 = 1 т сена получится из 4 тонн травы.
Ответ: 1 т сена.

Задание 1293

Найдите значение выражения:

$(8,25\ast\frac{10}{11}-10)\ast(11\frac23:2\frac29-6,15)+12,7:(-2\frac12)=(\frac{33}4\ast\frac{10}{11}-10)\ast(\frac{35}3:\frac{20}9-6,15)+\frac{127}{10}:(-\frac52)=(\frac{33}4\ast\frac{10}{11}-10)\ast(\frac{35}3\ast\frac9{20}-6,15)+\frac{127}{10}\ast(-\frac25)=(\frac32\ast\frac51-10)\ast(\frac71\ast\frac34-6,15)+\frac{127}5\ast(-\frac15)=(\frac{15}2-10)\ast(\frac{21}4-6,15)-\frac{127}{25}=(7,5-10)\ast(5,25-6,15)-5,08=-2,5\ast(-0,9)-5,08=2,25-5,08=-2,83$

Задание 1294

Отметьте на координатной прямой точку A(−3). Найдите на этой прямой точки, удаленные от точки A на пять единичных отрезков, и укажите их координаты.

Решение

−3 + 5 = 2, значит координата первой точки B(2);
−3 − 5 = −8, значит координата второй точки C(−8).

Задание 1295

Все жители города A всегда говорят правду, а все жители города B всегда лгут. Известно, что жители города A бывают в городе B и наоборот. Путешественник попал в один из этих городов, но не знает, в какой. Какой один вопрос он должен задать первому встречному, чтобы выяснить, в каком городе он находится?

Решение

Можно задать следующие вопросы:
1. Вы бывали в городе B?
2. Вы бывали в городе A?
3. Вы проживаете в городе A или в городе B?
Ответ "нет" будет обозначать, что путешественник попал в город B, и наоборот.

274

Страница 274

Ответы к параграфу 46. Координатная плоскость

Задание 1296

Найдите координаты точек A, B, C, D, E, F, K, M, N, изображенных на рисунке 186.

Решение

Ответ: A(3;2); B(−1;4); C(−6;2); D(−5;−2); E(2;−2); F(0;3); K(4;0); M(−2;−4); N(5;4).

Задание 1297

Найдите координаты точек A, B, C, D, E, F, K, M, N, изображенных на рисунке 187.

Решение

Ответ: A(2;2); B(5;1); C(0;−5); D(2;−3); E(−1;−1); F(−5;0); K(−4;3); M(−3;2); N(−4;−3).

Задание 1298

На координатной плоскости отметьте точки: A(2;3),B(4;−5),C(−3;7),D(−2;2),F(−4;−2),K(2;−2),M(0;2),N(−3;0),P(1;6).

Решение

275

Страница 275

Найдите координаты точки B, симметричной точке A(−1;−4) относительно:
1) оси абсцисс;
2) начала координат.

Решение

1)

Ответ: B (−1;4)
2)

Ответ: B (1;4)

Задание 1305

Найдите координаты точки M, симметричной точке N(−5;2) относительно:
1) оси ординат;
2) начала координат.

Решение

1)

Ответ: M(5;2)

2)

Ответ: M(5;−2)

Задание 1306

Отметьте на координатной плоскости точки M(4;3), K(−2;5), E(0;−3), F(−4;−2). Постройте точки, симметричные данным относительно:
1) начала координат;
2) оси ординат;
3) оси абсцисс.
Определите координаты полученных точек.

Решение

1)

Ответ: M1 (− 4; − 3) ; K1 (2; − 5); E1 (0; 3); F1 (4 ; 2).

2)

Ответ: M1 (− 4; 3) ; K1 (2; 5); E1 (0; − 3); F1 (4; − 2).

3)

Ответ: M1 (4; − 3) ; K1 (− 2; − 5); E1 (0; 3); F1 (− 4; 2).

Задание 1307

Отметьте на координатной плоскости точки Q(−3;0), S(1;−4). Постройте точки, симметричные данным относительно:
1) начала координат;
2) оси ординат;
3) оси абсцисс.
Определите координаты полученных точек.

Решение

1)

Ответ: Q1(3;0); S1(−1;4).

2)

Ответ: Q1(3;0); S1(−1;−4).

3)

Ответ: Q1(−3;0); S1(1;4).

Задание 1308

Даны координаты вершин прямоугольника ABCD: A(−3;−1), B(−3;3) и D(5;−1).
1) Начертите этот прямоугольник.
2) Найдите координаты вершины С.
3) Найдите координаты точки пересечения диагоналей прямоугольника.
4) Вычислите площадь и периметр прямоугольника, считая, что длина единичного отрезка координатных осей равна 1 см.

Решение

1)

2)

Ответ: С(5;3).

3)

Ответ: E(1;1).

4) AB = CD = 4 см;
BС = AD = 8 см, тогда:
S = 4 * 8 = 32 $см^2$ − площадь прямоугольника;
P = 2 * (8 + 4) = 2 * 12 = 24 см − периметр прямоугольника.

Задание 1309

На координатной плоскости проведена линия (рис.188).
1) Найдите ординату точки, принадлежащей этой линии, абсцисса которой равна: 2; −3; −1.
2) Найдите абсциссу точки, принадлежащей этой линии, ордината которой равна: 3; 0; −2.

Решение

1)

Ответ: (2;4); (−3;−1); (−1;0).

2)

Ответ: (1;3); (−1;0); (−4;−2).

276

Страница 276

Задание 1310

На координатной плоскости проведена окружность (рис.189).
1) Найдите ординату точки, принадлежащей этой линии, абсцисса которой равна: 5; −4.
2) Найдите абсциссу точки, принадлежащей этой линии, ордината которой равна: −5; 3; 0.

Решение

1)

Ответ: (5;0); (−4;3) и (−4;−3).

2)

Ответ: (0;−5); (4;3) и (−4;3); (5;0) и (−5;0).

Задание 1311

На координатной плоскости проведена линия (рис.190).
1) Найдите ординату точки, принадлежащей этой линии, абсцисса которой равна: −2; 3; 2.
2) Найдите абсциссу точки, принадлежащей этой линии, ордината которой равна: −4; −3; 0.

Решение

1)

Ответ: (−2;0); (3;5); (2;0).

2)

Ответ: (0;−4); (1;−3) и (−1;−3); (2;0) и (−2;0).

Задание 1312

Постройте окружность с центром в точке M(3;2), проходящую через точку K(2;−1). Какие из точек принадлежат окружности: A(2;5), B(0;3), C(1;−1), D(3;−2), E(4;−1), F(5;0)?

Решение

Ответ: окружности принадлежат точки A, B, K, E, F.

Задание 1313

Постройте окружность с центром в точке A(−4;0), проходящую через начало координат. Скольким единичным отрезкам равен радиус этой окружности? Укажите координаты каких−нибудь двух точек, одна из которых принадлежит кругу, ограниченному этой окружностью, а вторая находится вне его.

Решение

Ответ:
радиус окружности равен 4 единичным отрезкам;
точка M(−6;2) принадлежит окружности;
точка E(−2;5) не принадлежит окружности.

Задание 1314

Отметьте на координатной плоскости точки M(2;1), A(1;−2) и B(−2;1). Проведите прямую AB. Через точку M проведите прямую, параллельную AB, и прямую, перпендикулярную AB.

Решение

Задание 1315

Отметьте на координатной плоскости точки A(−7;2) и B(−3;−4). Пользуясь линейкой и угольником, проведите ось симметрии этих точек.

Решение

Задание 1316

Отметьте на координатной плоскости точки C(3;−3) и D(−1;6). Пользуясь линейкой и угольником, проведите ось симметрии этих точек.

Решение

Задание 1317

Постройте на координатной плоскости треугольник MKP, если M(1;3), K(3;4), P(2;1). Постройте треугольник, симметричный данному относительно:
1) оси y;
2) оси x;
3) начала координат.
Определите координаты вершин полученного треугольника.

Решение

1)

Ответ: M1 (− 1; 3) , K1 (− 3; 4) , P1 (− 2; 1)

2)

Ответ: M1 (1; − 3) , K1 (3; − 4) , P1 (2; − 1)

3)

Ответ: M1 (− 1; − 3) , K1 (− 3; − 4) , P1 (− 2; − 1)

277

Страница 277

Задание 1318

Начертите на координатной плоскости треугольник ABC, если A(−3;2), B(−1;4), C(2;3). Постройте треугольник, симметричный данному относительно:
1) начала координат;
2) точки P(2;2).
Найдите координаты вершин полученного треугольника.

Решение

1)

Ответ: A 1 ( 3 ; − 2 ) , B 1 ( 1 ; − 4 ) , C 1 ( − 2 ; − 3 )

2)

Ответ: A 1 ( 7 ; 2 ) , B 1 ( 5 ; 0 ) , C 1 ( 2 ; 1 )

Задание 1319

В какой четверти лежит точка A(x;y), если:
1) x > 0, y > 0;
2) x > 0, y < 0;
3) x < 0, y < 0;
4) x < 0, y > 0?

Решение

1) в I четверти

2) в IV четверти

3) в III четверти

4) вo II четверти

Задание 1326

Изобразите на координатной плоскости все точки (x;y) такие, что:
1) x = 4, y − произвольное число;
2) y = 2, x − произвольное число.

Решение

1)

2)

Задание 1327

Изобразите на координатной плоскости все точки, у которых:
1) абсцисса и ордината равны;
2) абсцисса и ордината − противоположные числа.

Решение

1)

2)

Задание 1328

Изобразите на координатной плоскости все точки (x;y) такие, что:
1) y = 0, x < 3;
2) −4 < y < 4, x ⩾ 0;
3) |x| ⩽ 1, y ⩾ 1;
4) |x| > 2, y < −2.

Решение

1)

2)

3)

4)

Задание 1329

Изобразите на координатной плоскости все точки (x;y) такие, что:
1) x = 0, y ⩾ −3;
2) −2 ⩽ x ⩽ 3, y − произвольное число;
3) |y| ⩽ 2, x − произвольное число;
4) |x| ⩽ 3, |y| ⩽ 1.

Решение

1)

2)

3)

4)

278

Страница 278

Задание 1330

Перерисуйте в тетрадь рисунок 191, проведите через каждую из точек B и M прямую, перпендикулярную прямой AD, а через точку K − прямую перпендикулярную прямой CD.

Решение

Задание 1331

В понедельник лакомка Наташа купила 12 конфет и с большим удовольствием съела их. В четверг она выиграла в лотерею деньги, сумма которых превышала потраченную ею в понедельник в 1 1/3 раза. Решив купить на эти деньги опять конфет. Наташа узнала, что цена конфет увеличилась в 1 3/5 раза. Сколько конфет сможет купить Наташа?

Решение

Пусть x р., стоила 1 конфета, тогда:
12x р. потратила Наташа в понедельник;
$1\frac13\ast12x=\frac43\ast12x=4\ast4x=16x$ рублей выиграла Наташа в лотерею;
$1\frac35x$ р. стала стоить 1 конфета после повышения.
$16x:1\frac35x=16x\ast\frac5{8x}=2\ast\frac51=10$ конфет сможет купить Наташа.
Ответ: 10 конфет.

Задание 1332

Свежие яблоки содержат 75% воды, а сушеные − 12%. Сколько килограммов сушеных яблок получится из 264 кг свежих?

Решение

$\frac{75}{12}=\frac{25}4=6\frac14=6,25$, то есть в 6,25 раза свежие яблоки содержат больше воды, чем сушеные.
264 : 6,25 = 42,24 кг сушеных яблок получится из 264 кг свежих.
Ответ: 42,24 кг.

Задание 1333

Белочка решила проверить свой запас орехов. Когда она считала их десятками, то не хватило двух орехов до целого числа десятков, а когда начала считать дюжинами, то осталось восемь орехов. Сколько орехов было у белочки, если известно, что их больше 300, но меньше 350?

Решение

По условию количество орехов больше 300, но меньше 350, следовательно количество орехов число трехзначное.
Так как не хватило 2 орехов, до целого числа десятков, то 10 − 2 = 8 − последняя цифра в количестве орехов, следовательно нам могут подойти числа: 308; 318; 328; 338; 348.
Из этих чисел только 308 делится на 12 с остатком 8, 308 : 12 = 12 * 25 + 8, следовательно 308 орехов было у белочки.
Ответ: 308 орехов.

Задание 1334

В одной кучке лежит 171 камешек, а в другой − 172 камешка. Игроку за один ход разрешается взять любое количество камешков, но только из одной кучки. Проиграет тот, кому будет нечего брать. Кто из двух игроков выиграет при правильной стратегии − тот, кто начинает, или второй игрок?

Решение

Выиграет второй, если будет брать такое же количество камушек из той же кучки, что и первый. Если в какой то кучке останется 1 камушек, то второму нужно взять из другой кучки все камушки кроме одного. Тогда останется в каждой кучке по одному камушку, и после того как первый из одной кучки камешек заберет, то у второго станется последний ход. Если же в одной кучке первый возьмет последний камушек, то второму нужно забрать все камушки во второй кучке.

282-283

Страница 282-283

Ответы к параграфу 47. Графики

Задание 1335

На рисунке 198 изображен график изменения температуры воздуха на протяжении суток.
Пользуясь этим графиком, установите:
1) какой была температура воздуха в 4 ч; в 6 ч; в 10 ч; в 18 ч; в 22 ч;
2) в котором часу температура воздуха была 5°C; −2°C;
3) в котором часу температура воздуха была нулевой;
4) какой была самая низкая температура и в каком часу;
5) какой была самая высокая температура и в каком часу;
6) на протяжении каких промежутков времени температура воздуха была ниже 0°C; выше 0°C;
7) на протяжении каких промежутков времени температура воздуха повышалась; понижалась.

Решение

1) −4°C; −5°C; −2°C; 5°C; 0°C.

2) 5°C было в 13 ч и в 18 ч;
−2°C было в 3 ч, в 10 ч и в 23 ч.

3) 0°C было в 2 ч, в 11 ч и в 22 ч.

4) самая низкая температура −5°C была в 6 часов.

5) самая высокая температура 7°C была в 16 часов.

6) с 2 ч до 11 ч и с 22 ч до 24 ч температура воздуха была ниже 0°C;
с 0 ч до 2 ч и с 11 ч до 22 ч температура воздуха была выше 0°C.

7) с 6 ч до 16 ч температура воздуха повышалась;
с 0 ч до 6 ч и с 16 ч до 24 ч температура воздуха понижалась.

Задание 1336

На рисунке 199 изображен график изменения температуры воздуха на протяжении суток.
Пользуясь графиком, установите:
1) какой была температура воздуха в 2 ч; в 8 ч; в 12 ч; в 16 ч; в 22 ч;
2) в котором часу температура воздуха была −3°C; −6°C; 0°C;
3) какой была самая низкая температура и в каком часу;
4) какой была самая высокая температура и в каком часу;
5) на протяжении каких промежутков времени температура воздуха была ниже 0°C; выше 0°C;
6) на протяжении каких промежутков времени температура воздуха повышалась; понижалась.

Решение

1) −5°C; −6°C; −4°C; 0°C; −1°C.

2) −3°C было в 14 ч;
−6°C было в 2 ч 30 мин, в 8 ч;
0°C было в 16 ч, в 21 ч.

3) самая низкая температура −10°C была в 6 часов.

4) самая высокая температура 4°C была в 19 часов.

5) с 0 ч до 16 ч и с 21 ч до 24 ч температура воздуха была ниже 0°C;
с 16 ч до 21 ч температура воздуха была выше 0°C.

6) с 6 ч до 21 ч температура воздуха повышалась;
с 0 ч до 6 ч и с 21 ч до 24 ч температура воздуха понижалась.

284

Страница 284

Задание 1337

На рисунке 200 изображен график изменения температуры раствора во время химического опыта.
Установите:
1) какой была начальная температура раствора;
2) какой была температура раствора через 30 минут после начала опыта; через полтора часа;
3) какой была самая высокая температура раствора и через сколько минут после начала опыта;
4) через сколько минут после начала опыта температура раствора была 35°C.

Решение

1) 10°C была начальная температура раствора

2) 30°C была температура раствора через 30 минут после начала опыта;
15°C была температура раствора через полтора часа после начала опыта.

3) 45°C была самая высокая температура раствора и через 60 минут после начала опыта

4) через 40 и через 70 минут после начала опыта температура раствора была 35°C

285

Страница 285

Задание 1338

Мотоциклист выехал из дома и через некоторое время вернулся назад. В дороге он 2 раза останавливался для отдыха. На рисунке 201 изображен график изменения расстояния от дома в зависимости от времени (график движения мотоциклиста).
1) Какое расстояние проехал мотоциклист за первый час движения?
2) На каком расстоянии от дома мотоциклист остановился для первого отдыха? Для второго отдыха?
3) Сколько длился первый отдых? Второй отдых?
4) На каком расстоянии от дома был мотоциклист через 5 ч после начала движения?
5) С какой скоростью двигался мотоциклист последние полчаса?

Решение

1) 60 км проехал мотоциклист за первый час движения.

2) на расстоянии 120 км от дома мотоциклист остановился для первого отдыха;
на расстоянии 75 км от дома мотоциклист остановился для второго отдыха.

3) 3 ч − 2 ч = 1 ч длился первый отдых;
4,5 ч − 4 ч = 0,5 ч = 30 мин длился второй отдых.

4) На расстоянии 60 км от дома был мотоциклист через 5 ч после начала движения.

5) $45{\operatorname к}{\operatorname м}:\frac12{\operatorname ч}=45{\operatorname к}{\operatorname м}\ast\frac21{\operatorname ч}=90$ км/ч скорость мотоциклиста в последние полчаса.

Задание 1339

На рисунке 202 изображен график движения туриста.
1) На каком расстоянии от дома был турист через 10 ч после начала движения?
2) Сколько времени он затратил на остановку?
3) Через сколько часов после выхода турист был на расстоянии 8 км от дома?
4) С какой скоростью шел турист до остановки?
5) С какой скоростью шел турист последние два часа?

Решение

1) На расстоянии 10 км от дома был турист через 10 ч после начала движения

2) 7 ч − 4 ч = 3 ч затратил турист на остановку

3) Через 2 ч и через 11 часов после выхода турист был на расстоянии 8 км от дома

4) 16 км : 4 ч = 4 км/ч скорость туриста до остановки

5) 6 км : 2 ч = 3 км/ч скорость туриста последние два часа

286

Страница 286

Задание 1340

В таблице приведены данные измерения температуры воздуха на протяжении суток через каждый час. Используя эти данные, постройте график изменения температуры.
Пользуясь графиком, найдите, на протяжении какого времени температура повышалась и на протяжении какого времени понижалась.

Решение

Температура повышалась с 0 до 1 ч и с 6 до 14 ч;
Температура понижалась с 1 до 6 ч и с 14 до 24 ч.

Задание 1341

Велосипедист выехал из дома на прогулку. Сначала он ехал 2 ч со скоростью 12 км/ч, а потом отдохнул час и вернулся домой со скоростью 8 км/ч. Постройте график движения велосипедиста.

Решение

2 * 12 = 24 км проехал велосипедист за 2 ч;
24 : 8 = 3 ч возвращался домой велосипедист.

Задание 1342

Постройте график зависимости переменной y от переменной x, которая задается формулой y = −2x.

Решение

х 1 2
у -2 -4

287

Страница 287

Задание 1343

У почтальона Печкина есть три разные конверта и четыре разные почтовые марки. Сколько у него вариантов выбора конверта с маркой?

Решение

Конверт можно выбрать один из трех (3 способа);
Марку можно выбрать одну из четырех (4 способа), тогда:
3 * 14 = 12 вариантов выбора конверта с маркой.
Ответ: 12 вариантов.

Задание 1344

Вася прочитал 24% страниц книги, а потом еще 7/15 страниц книги. После этого ему осталось прочитать 44 страницы. Сколько страниц в книге?

Решение

Пусть x страниц в книге, тогда:
0,24x страниц прочитал Вася сначала;
$\frac7{15}x$ страниц прочитал Вася потом.
Так как, ему осталось прочитать 44 страницы, то:
$x-0,24x-\frac7{15}x=44$
$x-\frac6{25}x-\frac7{15}x=44$
$\frac{75}{75}x-\frac{18}{75}x-\frac{35}{75}x=44$
$\frac{22}{75}x=44$
$x=44:\frac{22}{75}$
$x=44\ast\frac{75}{22}$
$x=2\ast\frac{75}1$
x = 150 страниц в книге.
Ответ: 150 страниц.

Задание 1345

Найдите значение выражения:
1) a : b − ab, если a = −0,5, b = $\frac23$;
2) $\frac{b+c}{b-c}$, если $b=\frac27,{\operatorname с}=-\frac49$;
3) $\frac{x^2+y^2}{x-y}$, если x = −0,3, y = −0,4.

Решение

1) $a:b-ab=-0,5:\frac23-(-0,5\ast\frac23)=-\frac12\ast\frac32-(-\frac12\ast\frac23)=-\frac34-(-\frac11\ast\frac13)=-\frac34+\frac13=-\frac9{12}+\frac4{12}=-\frac5{12}$

2) $\frac{b+c}{b-c}=\frac{\frac27-\frac49}{\frac27+\frac49}=\frac{\frac{18}{63}-\frac{28}{63}}{\frac{18}{63}+\frac{28}{63}}=\frac{-\frac{10}{63}}{\frac{46}{63}}=-\frac{10}{63}\ast\frac{63}{46}=-\frac51\ast\frac1{23}=-\frac5{23}$

3) $\frac{x^2+y^2}{x-y}=\frac{(-0,3)^2+(-0,4)^2}{-0,3-(-0,4)}=\frac{0,09+0,16}{-0,3+0,4}=\frac{0,25}{0,1}=2,5$

Задание 1346

В каждую клетку квадрата размером 6 × 6 клеток вписали одно из чисел −1, 0, 1. Могут ли суммы чисел, записанных в каждой строке, в каждом столбце и по двум большим диагоналям, быть разными?

Решение

2 диагонали + 6 строк + 6 столбцов = 14 вариантов расположения чисел длиной 6 клеток.
Вариантов сумм 6 чисел (где числа могут быть только −1, 0, 1) 13 от −6 до 6, следовательно суммы чисел, записанных в каждой строке, в каждом столбце и по двум большим диагоналям, быть разными не могут, хотя бы в двух вариантах суммы будут одинаковы.

Готовые домашние задания 6 класс