Задание 485
Приведите дроби:
а) $\frac{5}{36}, \frac{2}{x^2}, \frac{11}{3x}, \frac{7}{9x^2}, \frac{1}{4x}$ к знаменателю $36x^2$;
б) $\frac{1}{20y}, \frac{5}{x^2}, \frac{7}{20}, \frac{11}{2x}, \frac{3}{5xy}$ к знаменателю $20x^2y$.
Решение
а)
$\frac{36x^2}{36} = x^2$
$\frac{5}{36} = \frac{5 * x^2}{36 * x^2} = \frac{5x^2}{36x^2}$
$\frac{36x^2}{x^2} = 36$
$\frac{2}{x^2} = \frac{2 * 36}{x^2 * 36} = \frac{72}{36x^2}$
$\frac{36x^2}{3x} = 12x$
$\frac{11}{3x} = \frac{11 * 12x}{3x * 12x} = \frac{132x}{36x^2}$
$\frac{36x^2}{9x^2} = 4$
$\frac{7}{9x^2} = \frac{7 * 4}{9x^2 * 4} = \frac{28}{36x^2}$
$\frac{36x^2}{4x} = 9x$
$\frac{1}{4x} = \frac{1 * 9x}{4x * 9x} = \frac{9x}{36x^2}$
б)
$\frac{20x^2y}{20y} = x^2$
$\frac{1}{20y} = \frac{1 * x^2}{20y * x^2} = \frac{x^2}{20x^2y}$
$\frac{20x^2y}{x^2} = 20y$
$\frac{5}{x^2} = \frac{5 * 20y}{x^2 * 20y} = \frac{100y}{20x^2y}$
$\frac{20x^2y}{20} = x^2y$
$\frac{7}{20} = \frac{7 * x^2y}{20 * x^2y} = \frac{7x^2y}{20x^2y}$
$\frac{20x^2y}{2x} = 10xy$
$\frac{11}{2x} = \frac{11 * 10xy}{2x * 10xy} = \frac{110xy}{20x^2y}$
$\frac{20x^2y}{5xy} = 4x$
$\frac{3}{5xy} = \frac{3 * 4x}{5xy * 4x} = \frac{12x}{20x^2y}$
Задание 486
Подберите одночлен или многочлен A так, чтобы равенство было верным:
а) $\frac{4a}{6a^3} = \frac{2}{A}$;
б) $\frac{12x^2y}{48xy} = \frac{x}{A}$;
в) $\frac{3a^2(x + y)}{12ab(x + y)} = \frac{A}{4b}$;
г) $\frac{7mn(x - y)^2}{14(x - y)^3} = \frac{mn}{A}$.
Решение
а)
$\frac{4a}{6a^3} = \frac{2}{A}$
$\frac{2}{3a^2} = \frac{2}{A}$
$A = 3a^2$
Ответ:
$\frac{4a}{6a^3} = \frac{2}{3a^2}$
б)
$\frac{12x^2y}{48xy} = \frac{x}{A}$
$\frac{x}{4} = \frac{x}{A}$
A = 4
Ответ:
$\frac{12x^2y}{48xy} = \frac{x}{4}$
в)
$\frac{3a^2(x + y)}{12ab(x + y)} = \frac{A}{4b}$
$\frac{a}{4} = \frac{A}{4b}$
A = a
Ответ:
$\frac{3a^2(x + y)}{12ab(x + y)} = \frac{a}{4b}$
г)
$\frac{7mn(x - y)^2}{14(x - y)^3} = \frac{mn}{A}$
$\frac{mn}{2(x - y)} = \frac{mn}{A}$
A = 2(x − y)
Ответ:
$\frac{7mn(x - y)^2}{14(x - y)^3} = \frac{mn}{2(x - y)}$
Задание 487
Сократите дробь:
а) $\frac{4}{8}$;
б) $\frac{8}{12}$;
в) $\frac{45}{210}$;
г) $\frac{256}{924}$;
д) $\frac{2a}{6}$;
е) $\frac{14a}{21ab}$;
ж) $\frac{x^5}{x^7}$;
з) $\frac{8m^3n}{12mn^2}$;
и) $\frac{24a^5b^6c}{36a^7b^4c}$;
к) $\frac{48x^3y^4z^3}{56xy^5z^4}$.
Решение
а) $\frac{4}{8} = \frac{1 * 4}{2 * 4} = \frac{1}{2}$
б) $\frac{8}{12} = \frac{2 * 4}{3 * 4} = \frac{2}{3}$
в) $\frac{45}{210} = \frac{3 * 15}{14 * 15} = \frac{3}{14}$
г) $\frac{256}{924} = \frac{64 * 4}{231 * 4} = \frac{64}{231}$
д) $\frac{2a}{6} = \frac{a * 2}{3 * 2} = \frac{a}{3}$
е) $\frac{14a}{21ab} = \frac{2 * 7a}{3b * 7a} = \frac{2}{3b}$
ж) $\frac{x^5}{x^7} = \frac{1 * x^5}{x^2 * x^5} = \frac{1}{x^2}$
з) $\frac{8m^3n}{12mn^2} = \frac{2m^2 * 4mn}{3n * 4mn} = \frac{2m^2}{3n}$
и) $\frac{24a^5b^6c}{36a^7b^4c} = \frac{2b^2 * 12a^5b^4c}{3a^2 * 12a^5b^4c} = \frac{2b^2}{3a^2}$
к) $\frac{48x^3y^4z^3}{56xy^5z^4} = \frac{6x^2 * 8xy^4z^3}{7yz * 8xy^4z^3} = \frac{6x^2}{7yz}$
Задание 488
Сократите дроби:
а) $\frac{2(x + y)}{4ax}$;
б) $\frac{a + b}{a + b}$;
в) $\frac{2(x - 1)}{5(x - 1)}$;
г) $\frac{3a(a - b)^2}{6a(a - b)^2}$;
д) $\frac{4x(x - y)^3}{16x^2y(x - y)}$;
е) $\frac{25m^2n(a - b)}{35mn^2(a - b)^2}$;
ж) $\frac{2p(p - q)(p^2 + q^2)}{4q(p - q)(p^2 + q^2)}$;
з) $\frac{8a(a + b)^2(a - b)}{18a(a - b)(a + b)}$.
Решение
а) $\frac{2(x + y)}{4ax} = \frac{x + y}{2ax}$
б) $\frac{a + b}{a + b} = 1$
в) $\frac{2(x - 1)}{5(x - 1)} = \frac{2}{5}$
г) $\frac{3a(a - b)^2}{6a(a - b)^2} = \frac{3a}{6a} = \frac{1}{2}$
д) $\frac{4x(x - y)^3}{16x^2y(x - y)} = \frac{4x(x - y)^2}{16x^2y} = \frac{(x - y)^2}{4xy}$
е) $\frac{25m^2n(a - b)}{35mn^2(a - b)^2} = \frac{25m^2n}{35mn^2(a - b)} = \frac{5m}{7n(a - b)}$
ж) $\frac{2p(p - q)(p^2 + q^2)}{4q(p - q)(p^2 + q^2)} = \frac{2p}{4q} = \frac{p}{2q}$
з) $\frac{8a(a + b)^2(a - b)}{18a(a - b)(a + b)} = \frac{8a(a + b)}{18a} = \frac{4(a + b)}{9}$
Задание 489
Сократите дроби:
а) $\frac{x - y}{y - x}$;
б) $\frac{2(a - b)}{3(b - a)}$;
в) $\frac{4mn(m - n)}{2m(n - m)}$;
г) $\frac{6a^2b^3(3 - a)}{14ab^3(a - 3)}$.
Решение
а) $\frac{x - y}{y - x} = -\frac{y - x}{y - x} = -1$
б) $\frac{2(a - b)}{3(b - a)} = -\frac{2(a - b)}{3(a - b)} = -\frac{2}{3}$
в) $\frac{4mn(m - n)}{2m(n - m)} = -\frac{4mn(m - n)}{2m(m - n)} = -\frac{4mn}{2m} = -2n$
г) $\frac{6a^2b^3(3 - a)}{14ab^3(a - 3)} = -\frac{6a^2b^3(a - 3)}{14ab^3(a - 3)} = -\frac{6a^2b^3}{14ab^3} = -\frac{3a}{7}$
Задание 490
Сократите дроби:
а) $\frac{2x + 2y}{4}$;
б) $\frac{3a + 3b}{6a}$;
в) $\frac{4m - 4n}{8mn}$;
г) $\frac{12ab}{6a - 6b}$;
д) $\frac{2a - 2b}{4a + 4b}$;
е) $\frac{6x + 6y}{3x - 3y}$.
Решение
а) $\frac{2x + 2y}{4} = \frac{2(x + y)}{4} = \frac{x + y}{2}$
б) $\frac{3a + 3b}{6a} = \frac{3(a + b)}{6a} = \frac{a + b}{2a}$
в) $\frac{4m - 4n}{8mn} = \frac{4(m - n)}{8mn} = \frac{m - n}{2mn}$
г) $\frac{12ab}{6a - 6b} = \frac{12ab}{6(a - b)} = \frac{2ab}{a - b}$
д) $\frac{2a - 2b}{4a + 4b} = \frac{2(a - b)}{4(a + b)} = \frac{a - b}{2(a + b)}$
е) $\frac{6x + 6y}{3x - 3y} = \frac{6(x + y)}{3(x - y)} = \frac{2(x + y)}{x - y}$
Задание 491
Сократите дроби:
а) $\frac{ax - bx}{cx + dx}$;
б) $\frac{ac + bc}{mc + nc}$;
в) $\frac{x^2}{x^2 + xy}$;
г) $\frac{ab}{a - ab}$;
д) $\frac{m^2n}{m^2n - mn^2}$;
е) $\frac{ax - bx}{xy + x^2}$;
ж) $\frac{p^2 - p}{ap - bp}$;
з) $\frac{x^2 - xy}{2xy + 2x^2}$.
Решение
а) $\frac{ax - bx}{cx + dx} = \frac{x(a - b)}{x(c + d)} = \frac{a - b}{c + d}$
б) $\frac{ac + bc}{mc + nc} = \frac{c(a + b)}{c(m + n)} = \frac{a + b}{m + n}$
в) $\frac{x^2}{x^2 + xy} = \frac{x^2}{x(x + y)} = \frac{x}{x + y}$
г) $\frac{ab}{a - ab} = \frac{ab}{a(1 - b)} = \frac{b}{1 - b}$
д) $\frac{m^2n}{m^2n - mn^2} = \frac{m^2n}{mn(m - n)} = \frac{m}{m - n}$
е) $\frac{ax - bx}{xy + x^2} = \frac{x(a - b)}{x(y + x)} = \frac{a - b}{x + y}$
ж) $\frac{p^2 - p}{ap - bp} = \frac{p(p - 1)}{p(a - b)} = \frac{p - 1}{a - b}$
з) $\frac{x^2 - xy}{2xy + 2x^2} = \frac{x(x - y)}{2x(y + x)} = \frac{x - y}{2(x + y)}$
Задание 492
Сократите дробь:
а) $\frac{3xy}{3x^2a - 3x}$;
б) $\frac{4m^2n}{6mn^2 - 8m^2n}$;
в) $\frac{3a^2 + 4ab}{9a^2b + 12ab^2}$;
г) $\frac{4xy - x^2}{4x^2y - x^3y}$;
д) $\frac{2mn - 6m^2}{12m^2n - 4mn^2}$;
е) $\frac{16p^3q^3 - 24p^2q^4}{12p^2q^3 - 8p^3q^2}$.
Решение
а) $\frac{3xy}{3x^2a - 3x} = \frac{3xy}{3x(ax - 1)} = \frac{y}{ax - 1}$
б) $\frac{4m^2n}{6mn^2 - 8m^2n} = \frac{4m^2n}{2mn(3n - 4m)} = \frac{2m}{3n - 4m}$
в) $\frac{3a^2 + 4ab}{9a^2b + 12ab^2} = \frac{a(3a + 4b)}{3ab(3a + 4b)} = \frac{a}{3ab} = \frac{1}{3b}$
г) $\frac{4xy - x^2}{4x^2y - x^3y} = \frac{x(4y - x)}{x^2y(4 - x)} = \frac{4y - x}{xy(4 - x)}$
д) $\frac{2mn - 6m^2}{12m^2n - 4mn^2} = \frac{2m(n - 3m)}{4mn(3m - n)} = -\frac{3m - n}{2n(3m - n)} = -\frac{1}{2n}$
е) $\frac{16p^3q^3 - 24p^2q^4}{12p^2q^3 - 8p^3q^2} = \frac{8p^2q^3(2p - 3q)}{4p^2q^2(3q - 2p)} = -\frac{2q(2p - 3q)}{2p - 3q} = -2q$
