ГДЗ к §2. Рациональные числа. Ответы к теме 2.1. Обыкновенные дроби. Конечные десятичные дроби.
Задание 58
Что называют положительным рациональным числом (дробью)?
Ответ
Положительным рациональным числом (дробью) называют число, которое можно записать в виде $\frac{p}{q}$, где p и q − натуральные числа.
Задание 59
Как называют числа p и q в записи дроби $\frac{p}{q}$?
Ответ 7 гуру
p − числитель дроби;
q − знаменатель дроби.
Задание 60
Какую дробь называют несократимой?
Ответ
Несократимой называют дробь $\frac{p}{q}$, когда числа p и q не имеют общих делителей.
Задание 61
Можно ли натуральное число записать в виде обыкновенной дроби или конечной десятичной дроби? Приведите примеры.
Решение
Любое натуральное число можно записать в виде обыкновенной дроби или в виде конечной десятичной дроби, в дробной части которой − нули.
Например:
$6 = \frac{6}{1} = \frac{12}{2}$;
8 = 8,0 = 8,00.
Задание 62
В чем заключается основное свойство дроби?
ГДЗ
Если числитель и знаменатель дроби умножить или поделить на одно и то же натуральное число, то величина дроби не изменяется.
$\frac{p}{q} = \frac{p * n}{q * n}$
Задание 63
Можно ли записать конечную десятичную дробь в виде $\frac{p}{q}$? Приведите примеры.
Решение
Любую конечную десятичную дробь можно записать в виде обыкновенной дроби, знаменателем которой является некоторая степень числа 10.
Например:
$8,3 = \frac{83}{10}$;
$5,2 = \frac{52}{10} = \frac{26}{5}$.
Задание 64
Какую дробь называют правильной; неправильной? Приведите примеры.
Решение
Дробь называется правильной, если ее числитель меньше знаменателя.
Например: $\frac{1}{2}; \frac{5}{7}$.
Дробь называется неправильной, если ее числитель больше или равен знаменателю.
Например: $\frac{3}{2}; \frac{11}{9}$.
Задание 65
Разложите числитель и знаменатель дроби на простые множители и сократите дробь, если возможно:
а) $\frac{12}{35}$;
б) $\frac{48}{100}$;
в) $\frac{105}{125}$;
г) $\frac{24}{36}$;
д) $\frac{56}{100}$;
е) $\frac{225}{300}$;
ж) $\frac{123}{321}$;
з) $\frac{111}{132}$.
Решение
а) $ \begin{array}{r|l} 12 & 2\\ 6 & 2\\ 3 & 3\\ 1 & \end{array} $
$12 = 2^2 * 3$
$ \begin{array}{r|l} 35 & 5\\ 7 & 7\\ 1 & \end{array} $
35 = 5 * 7
НОД(12;35) = 1
$\frac{12}{35}$ − дробь сократить нельзя
б) $ \begin{array}{r|l} 48 & 2\\ 24 & 2\\ 12 & 2\\ 6 & 2\\ 3 & 3\\ 1 & \end{array} $
$48 = 2^4 * 3$
$ \begin{array}{r|l} 100 & 2\\ 50 & 2\\ 25 & 5\\ 5 & 5\\ 1 & \end{array} $
$100 = 2^2 * 5^2$
НОД(48;100) = 4
$\frac{48}{100} = \frac{48 : 4}{100 : 4} = \frac{12}{25}$
в) $ \begin{array}{r|l} 105 & 3\\ 35 & 5\\ 7 & 7\\ 1 & \end{array} $
105 = 3 * 5 * 7
$ \begin{array}{r|l} 125 & 5\\ 25 & 5\\ 5 & 5\\ 1 & \end{array} $
$125 = 5^3$
НОД(105;125) = 5
$\frac{105}{125} = \frac{105 : 5}{125 : 5} = \frac{21}{25}$
г) $ \begin{array}{r|l} 24 & 2\\ 12 & 2\\ 6 & 2\\ 3 & 3\\ 1 & \end{array} $
$24 = 2^3 * 3$
$ \begin{array}{r|l} 36 & 2\\ 18 & 2\\ 9 & 3\\ 3 & 3\\ 1 & \end{array} $
$36 = 2^2 * 3^2$
НОД(24;36) = 12
$\frac{24}{36} = \frac{24 : 12}{36 : 12} = \frac{2}{3}$
д) $ \begin{array}{r|l} 56 & 2\\ 28 & 2\\ 14 & 2\\ 7 & 7\\ 1 & \end{array} $
$56 = 2^3 * 7$
$ \begin{array}{r|l} 100 & 2\\ 50 & 2\\ 25 & 5\\ 5 & 5\\ 1 & \end{array} $
$100 = 2^2 * 5^2$
НОД(56;100) = 4
$\frac{56}{100} = \frac{56 : 4}{100 : 4} = \frac{14}{25}$
е) $ \begin{array}{r|l} 225 & 3\\ 75 & 3\\ 25 & 5\\ 5 & 5\\ 1 & \end{array} $
$225 = 3^2 * 5^2$
$ \begin{array}{r|l} 300 & 2\\ 150 & 2\\ 75 & 3\\ 25 & 5\\ 5 & 5\\ 1 & \end{array} $
$300 = 2^2 * 3 * 5^2$
НОД(225;300) = 25
$\frac{225}{300} = \frac{225 : 25}{300 : 25} = \frac{9}{10}$
ж) $ \begin{array}{r|l} 123 & 3\\ 41 & 41\\ 1 & \end{array} $
123 = 3 * 41
$ \begin{array}{r|l} 321 & 3\\ 107 & 107\\ 1 & \end{array} $
321 = 3 * 107
НОД(123;321) = 3
$\frac{123}{321} = \frac{123 : 3}{321 : 3} = \frac{41}{107}$
з) $ \begin{array}{r|l} 111 & 3\\ 37 & 37\\ 1 & \end{array} $
111 = 3 * 37
$ \begin{array}{r|l} 132 & 2\\ 66 & 2\\ 33 & 3\\ 11 & 11\\ 1 & \end{array} $
$132 = 2^2 * 3 * 11$
НОД(111;1332) = 3
$\frac{111}{132} = \frac{111 : 3}{132 : 3} = \frac{37}{44}$
Задание 66
Сократите дробь:
а) $\frac{16}{24}$;
б) $\frac{240}{1000}$;
в) $\frac{1240}{10000}$;
г) $\frac{1024}{3456}$;
д) $\frac{315}{420}$;
е) $\frac{630}{1470}$;
ж) $\frac{660}{616}$;
з) $\frac{770}{1320}$;
и) $\frac{143}{260}$;
к) $\frac{112}{672}$;
л) $\frac{450}{540}$;
м) $\frac{777}{2121}$.
Решение
а) $\frac{16}{24} = \frac{16 : 8}{24 : 8} = \frac{2}{3}$
б) $\frac{240}{1000} = \frac{24}{100} = \frac{24 : 4}{100 : 4} = \frac{6}{25}$
в) $\frac{1240}{10000} = \frac{124}{1000} = \frac{124 : 4}{1000 : 4} = \frac{31}{250}$
г) $\frac{1024}{3456} = \frac{1024 : 4}{3456 : 4} = \frac{256}{864} = \frac{256 : 4}{864 : 4} = \frac{64}{216} = \frac{64 : 8}{216 : 8} = \frac{8}{27}$
д) $\frac{315}{420} = \frac{315 : 5}{420 : 5} = \frac{63}{84} = \frac{63 : 21}{84 : 21} = \frac{3}{4}$
е) $\frac{630}{1470} = \frac{63}{147} = \frac{63 : 7}{147 : 7} = \frac{9}{21} = \frac{9 : 3}{21 : 3} = \frac{3}{7}$
ж) $\frac{660}{616} = \frac{660 : 4}{616 : 4} = \frac{165}{154} = \frac{165 : 11}{154 : 11} = \frac{15}{14} = 1\frac{1}{14}$
з) $\frac{770}{1320} = \frac{77}{132} = \frac{77 : 11}{132 : 11} = \frac{7}{12}$
и) $\frac{143}{260} = \frac{143 : 13}{260 : 13} = \frac{11}{20}$
к) $\frac{112}{672} = \frac{112 : 112}{672 : 112} = \frac{1}{6}$
л) $\frac{450}{540} = \frac{45}{54} = \frac{45 : 9}{54 : 9} = \frac{5}{6}$
м) $\frac{777}{2121} = \frac{777 : 7}{2121 : 7} = \frac{111}{303} = \frac{111 : 3}{303 : 3} = \frac{37}{101}$
Задание 67
Сократите дробь:
а) $\frac{88}{99}$;
б) $\frac{777}{888}$;
в) $\frac{123}{205}$;
г) $\frac{945}{459}$;
д) $\frac{1212}{2727}$;
е) $\frac{123123}{327327}$.
Решение
а) $\frac{88}{99} = \frac{88 : 11}{99 : 11} = \frac{8}{9}$
б) $\frac{777}{888} = \frac{777 : 111}{888 : 111} = \frac{7}{8}$
в) $\frac{123}{205} = \frac{123 : 41}{205 : 41} = \frac{3}{5}$
г) $\frac{945}{459} = \frac{945 : 9}{459 : 9} = \frac{105}{51} = \frac{105 : 3}{51 : 3} = \frac{35}{17} = 2\frac{1}{17}$
д) $\frac{1212}{2727} = \frac{1212 : 3}{2727 : 3} = \frac{404}{909} = \frac{404 : 101}{909 : 101} = \frac{4}{9}$
е) $\frac{123123}{327327} = \frac{123123 : 3003}{327327 : 3003} = \frac{41}{109}$
Задание 68
Проверьте, является ли дробь несократимой:
а) $\frac{13}{21}$;
б) $\frac{62}{81}$;
в) $\frac{94}{98}$;
г) $\frac{125}{250}$;
д) $\frac{17}{10}$;
е) $\frac{63}{91}$;
ж) $\frac{126}{129}$;
з) $\frac{217}{279}$;
и) $\frac{765}{1071}$;
к) $\frac{396}{591}$;
л) $\frac{199}{200}$;
м) $\frac{1999}{2000}$.
Решение
а) $\frac{13}{21}$ − дробь несократима, так как числитель 13 − простое число, а знаменатель 21 не делится на 13.
б) 62 = 2 * 31;
$81 = 3^4$;
НОД(62;81) = 1.
$\frac{62}{81}$ − дробь несократима.
в) $\frac{94}{98}$ − дробь сократима, так как и числитель и знаменатель можно поделить на 2.
г) $\frac{125}{250}$ − дробь сократима, так как и числитель и знаменатель можно поделить на 5.
д) $\frac{17}{10}$ − дробь несократима, так как числитель 17 − простое число, а 10 не делится на 17.
е) $\frac{63}{91}$ − дробь сократима, так как и числитель и знаменатель можно поделить на 7.
ж) $\frac{126}{129}$ − дробь сократима, так как и числитель и знаменатель можно поделить на 3.
з) $217 = 7 * 31$;
$279 = 3^2 * 31$;
НОД(217;279) = 1.
$\frac{217}{279}$ − дробь нескоратима.
и) $\frac{765}{1071}$ − дробь сократима, так как и числитель и знаменатель можно поделить на 3.
к) $\frac{396}{591}$ − дробь сократима, так как и числитель и знаменатель можно поделить на 3.
л) $\frac{199}{200}$ − дробь несократима, так как числитель 199 − простое число, а знаменатель 200 не делится на 199.
м) $\frac{1999}{2000}$ − дробь несократима, так как числитель 1999 − простое число, а знаменатель 2000 не делится на 1999.
Задание 69
Запишите данные дроби в виде конечных десятичных дробей и прочитайте полученные десятичные дроби:
а) $\frac{7}{10}, \frac{17}{100}, \frac{23}{10}$;
б) $\frac{53}{1000}, \frac{178}{10}, \frac{37481}{10000}$;
в) $\frac{21}{10000}, \frac{73}{1000000}, \frac{1276}{10000}$;
г) $\frac{453}{100}, \frac{7269}{100}, \frac{5676}{10}$.
Решение
а) $\frac{7}{10} = 0,7$ − ноль целых семь десятых;
$\frac{17}{100} = 0,17$ − ноль целых семнадцать сотых;
$\frac{23}{10} = 2,3$ − две целых три десятых.
б) $\frac{53}{1000} = 0,053$ − ноль целых пятьдесят три тысячных;
$\frac{178}{10} = 17,8$ − семнадцать целых восемь десятых;
$\frac{37481}{10000} = 3\frac{7481}{10000}$ − три целых семь тысяч четыреста восемьдесят одна десятитысячная.
в) $\frac{21}{10000} = 0,0021$ − ноль целых двадцать одна десятитысячная;
$\frac{73}{1000000} = 0,000073$ − ноль целых семьдесят три миллионных;
$\frac{1276}{10000} = 0,1276$ − ноль целых одна тысяча двести семьдесят шесть десятитысячных.
г) $\frac{453}{100} = 4,53$ − четыре целых пятьдесят три сотых;
$\frac{7269}{100} = 72,69$ − семьдесят две целых шестьдесят девять сотых;
$\frac{5676}{10} = 567,6$ − пятьсот шесть семь целых шесть десятых.
Задание 70
Запишите данные конечные десятичные дроби в виде обыкновенных дробей:
а) 0,1; 0,21; 1,5;
б) 12,3; 0,007; 123,05;
в) 0,4; 0,12; 0,125;
г) 1,25; 3,75; 4,625;
д) 0,037; 2,503; 0,710;
е) 0,22; 0,055; 2,125; 4,0404.
Решение
а) $0,1 = \frac{1}{10}$;
$0,21 = \frac{21}{100}$;
$1,5 = \frac{15}{10} = \frac{3}{2}$.
б) $12,3 = \frac{123}{10}$;
$0,007 = \frac{7}{1000}$;
$123,05 = \frac{12305}{100} = \frac{2461}{20}$.
в) $0,4 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$;
$0,12 = \frac{12}{100} = \frac{3}{25}$;
$0,125 = \frac{125}{1000} = \frac{1}{8}$.
г) $1,25 = \frac{125}{100} = \frac{5}{4}$;
$3,75 = \frac{375}{100} = \frac{15}{4}$;
$4,625 = \frac{4625}{1000} = \frac{185}{40} = \frac{37}{8}$.
д) $0,037 = \frac{37}{1000}$;
$2,503 = \frac{2503}{1000}$;
$0,710 = \frac{710}{1000} = \frac{71}{100}$.
е) $0,22 = \frac{22}{100} = \frac{11}{50}$;
$0,055 = \frac{55}{1000} = \frac{11}{200}$;
$2,125 = \frac{2125}{1000} = \frac{17}{8}$;
$4,0404 = \frac{40404}{10000} = \frac{10101}{2500}$.
