Задание №597

Каким числом, четным или нечетным, является квадрат нечетного натурального числа?

Решение:

Пусть 2n + 1 − нечетное натуральное число, тогда:
( 2 n + 1 )2 = 4 n2 + 4 n + 1 = ( 4 n2 + 4 n ) + 1 = 2 ( 2 n2 + 2 n ) + 1.
Значение выражения 2 ( 2 n2 + 2 n ) всегда будет четным, так как оно кратно двум, следовательно:
2 ( 2 n2 + 2 n ) + 1 − всегда нечетное число, так как сумма четного числа и единицы, всегда число нечетное.

Задание №598

Выведите формулу куба суммы двух выражений:
( a + b )3 = a3 + 3 a2 b + 3 a b2 + b3.
Пользуясь этой формулой, преобразуйте в многочлен выражение:
1) ( x + 3 )3;
2) ( 2 x + y )3.

Решение:

1) ( x + 3 )3 = x3 + 3 x2 ∗ 3 + 3 x ∗ 3 2 + 3 3 = x3 + 9 x2 + 27 x + 27

2) ( 2 x + y )3 = ( 2 x )3 + 3 ∗ ( 2 x )2 ∗ y + 3 ∗ 2 x ∗ y2 + y3 = 8 x3 + 12 x2 y + 6 x y2 + y3

Задание №599

Выведите формулу куба разности двух выражений:
( a − b )3 = a3 − 3 a2 b + 3 a b2 − b3.
Пользуясь этой формулой, преобразуйте в многочлен выражение:
1) ( 1 − x )3;
2) ( x − 5 y )3.

Решение:

1) ( 1 − x )3 = 13 − 3 ∗ 12 ∗ x + 3 ∗ 1 ∗ x2 − x3 = 1 − 3 x + 3 x2 − x3

2) ( x − 5 y )3 = x3 − 3 ∗ x2 ∗ 5 y + 3 ∗ x ∗ ( 5 y )2 − ( 5 y )3 = x3 − 15 x2 y + 75 x y2 − 125 y3

Задание №600

Выведите формулу квадрата трехчлена:
( a + b + c )2 = a2 + b2 + c2 + 2 a b + 2 b c + 2 a c.
Пользуясь этой формулой, преобразуйте в многочлен выражение:
1) ( a + b − c )2;
2) ( a − b + 4 )2.

Решение:

1) ( a + b − c )2 = a2 + b2 + c2 + 2 a b − 2 b c − 2 a c

2) ( a − b + 4 )2 = a2 + b2 + 4 2 − 2 a b − 2 b ∗ 4 + 2 a ∗ 4 = a2 + b2 + 16 − 2 a b − 8 b + 8 a

Задание №601

Древнегреческий ученый Евклид (III в. до н.э.) доказывал формулы квадрата суммы и квадрата разности двух выражений геометрически. Пользуясь рисунками 5 и 6, восстановите его доказательство.

Решение:

1) Сторона большого квадрата на рисунке 5 равна a + b, следовательно площадь большого квадрата равна (a + b)^2.
Чтобы доказать формулу квадрата суммы, найдем площадь большого квадрата, как сумму площадей следующих фигур:
a 2 − площадь квадрата со стороной a;
2ab − площадь двух прямоугольников с длиной равной a и шириной равной b;
b 2 − площадь квадрата со стороной b, тогда:
S = a2 + 2 a b + b2 = ( a + b )2.

2) Сторона среднего квадрата на рисунке 6 равна a − b, следовательно площадь этого квадрата равна (a − b)2.
Чтобы доказать формулу квадрата суммы, найдем площадь среднего квадрата, как разность площадей следующих фигур:
a2 − площадь большого квадрата со стороной a;
2((a − b)b) − площадь двух прямоугольников с длиной равной a − b и шириной равной b;
b2 − площадь малого квадрата со стороной b, тогда:
S = a2 − 2 ( ( a − b ) b ) − b2 = a2 − 2 ( a b − b2 ) − b2 = a2 − 2 a b + 2 b2 − b2 = a2 − 2 a b + b2 = ( a − b )2.

Задание №602

Чему равен остаток при делении квадрата нечетного натурального числа на 8?

Решение:

Пусть 2n + 1 − нечетное натуральное число, тогда:
( 2 n + 1 )2 = 4 n2 + 4 n + 1 = 4 n ( n + 1 ) + 1
Среди последовательных натуральных чисел n и n + 1 обязательно одно число четное, а другое нечетное, тогда:
n(n + 1) − четное число, так как произведение четного и нечетного чисел, всегда число четное.
Так как n(n + 1) − число четное, значит оно делится нацело на 2, следовательно значение выражения 4n(n + 1) делится нацело на 8.
Отсюда следует, что при делении выражения 4n(n + 1) + 1 на 8, остаток будет равен 1.

Задание №603

Выясните, какой остаток может давать квадрат натурального числа при делении на 4.

Решение:

Четное число кратно двум, значит всегда нацело делится на 2, следовательно квадрат четного числа всегда будет нацело делится на 4, так как 22 = 4. Получается что при делении квадрата четного натурального числа на 4, остаток будет равен 0.
Пусть 2n + 1 − нечетное натуральное число, тогда:
( 2 n + 1 )2 = 4 n2 + 4 n + 1 = 4 ( n2 + n ) + 1
При делении выражения 4 ( n2 + n ) + 1 на 4 остаток будет равен 1, так как выражение 4 ( n2 + n ) нацело делится на 4, так как кратно четырем и остается единица.
Отсюда получается, что при делении квадрата натурального нечетного числа на 4, остаток будет равен 1.

Задание №604

Докажите, что разность суммы квадратов двух последовательных целых чисел и их удвоенного произведения не зависит от выбора чисел.

Решение:

Пусть n − первое число, тогда n + 1 − второе число.
Составим уравнение:
( n2 + ( n + 1 )2 ) − 2 n ( n + 1 ) = n2 + n2 + 2 n + 1 − 2 n2 − 2 n = ( n2 + n2 − 2 n2 ) + ( 2 n − 2 n ) + 1 = 0 + 0 + 1 = 1, следовательно при любом выборе двух последовательных целых чисел разность суммы их квадратов и их удвоенного произведения будет равна 1.

Задание №605

Докажите, что если остаток при делении натурального числа на 16 равен 4, то квадрат этого числа делится на цело на 16.

Решение:

Пусть n − натуральное число, а − неполное частное при делении n на 16, тогда:
n = 16a + 4.
( 16 a + 4 )2 = 256 a2 + 128 a + 16 = 16 ( 16 a2 + 8 a + 1 ), следовательно квадрат данного натурального числа делится нацело на 16, так как кратен 16.

Задание №606

Докажите, что если остаток при делении натурального числа на 25 равен 5, то квадрат этого числа кратен 25.

Решение:

Пусть n − натуральное число, а − неполное частное при делении n на 25, тогда:
n = 25a + 5.
( 25 a + 5 )2 = 625 a2 + 250 a + 25 = 25 ( 25 a2 + 10 a + 1 ), следовательно квадрат данного натурального числа делится нацело на 25, так как кратен 25.