Задание 1159

При каком значении a уравнение:
1) 5ax = 14 − x имеет корень, равный числу 4;
2) (2a + 1)x = −6a + 2x − 13 имеет корень, равный числу −1?

Решение

1) 5a * 4 = 14 − 4
20a = 10
a = 10 : 20
a = 0,5

2) (2a + 1) * (−1) = −6a + 2 * (−1) − 13
−2a − 1 = −6a − 2 − 13
−2a + 6a = −2 − 13 + 1
4a = −14
a = −14 : 4
a = −3,5

Задание 1160

При каком значении a уравнение:
1) 4ax = 84 имеет корень, равный числу −3;
2) (a − 7)x = 6 + 5a имеет корень, равный числу 1?

Решение

1) 4a * (−3) = 84
−12a = 84
a = 84 : (−12)
a = −7

2) (a − 7) * 1 = 6 + 5a
a − 7 = 6 + 5a
a − 5a = 6 + 7
−4a = 13
$a=-\frac{13}4=-3\frac14$

Задание 1161

Решите уравнение:
1) 3(6x − 1) = 2(9x + 1) − 10;
2) 1,4(2 − 5x) = 15 − (7x + 12,2).

Решение

1) 3(6x − 1) = 2(9x + 1) − 10
18x − 3 = 18x + 2 − 10
18x − 18x = 3 + 2 − 10
0 ≠ −5, уравнение не имеет корней.

2) 1,4(2 − 5x) = 15 − (7x + 12,2)
2,8 − 7x = 15 − 7x − 12,2
7x − 7x = 15 − 12,2 − 2,8
0 = 0, уравнение имеет бесконечно много корней.

Задание 1162

Решите уравнение:
1) 20 − 4x = 8(3x + 2,5) − 28x;
2) 4x + 9 = 5(2x − 7) − 6x.

Решение

1) 20 − 4x = 8(3x + 2,5) − 28x
20 − 4x = 24x + 20 − 28x
−4x − 24x + 28x = 20 − 20
0 = 0, уравнение имеет бесконечно много корней.

2) 4x + 9 = 5(2x − 7) − 6x
4x + 9 = 10x − 35 − 6x
4x − 10x + 6x = −35 − 9
0 ≠ −44, уравнение имеет бесконечно много корней.

Задание 1163

При каких значениях a уравнение не имеет корней:
1) ax = 1;
2) (a − 2)x = 3?

Решение

1) 0 * x = 1
0 ≠ 1, то есть при а = 0 уравнение не имеет корней.

2) (a − 2)x = 3
a − 2 = 0
a = 2, то есть при а = 2 уравнение не имеет корней.

Задание 1164

Найдите все целые значения a, при которых корень уравнения является целым числом:
1) ax = −14;
2) (a − 2)x = 12.

Решение

1) ax = −14
$x=-\frac{14}a$, следовательно корень уравнения будет целым числом при a = 1; −1; 2; −2; 7; −7; 14; −14.

2) (a − 2)x = 12
$x=-\frac{12}{a-2}$, следовательно корень уравнения будет целым числом при a = 0; 1; 3; 4; 5; 8; 14; −1; −2; −4; −10.

Задание 1165

Найдите все целые значения m, при которых корень уравнения является натуральным числом:
1) mx = 20;
2) (m + 3)x = −18.

Решение

1) mx = 20
$x=\frac{20}m$, следовательно корень уравнения будет натуральным числом при m = 1; 3; 4; 5; 10; 20.

2) (m + 3)x = −18.
$x=-\frac{18}{m+3}$, следовательно корень уравнения будет натуральным числом при m = −21; −12; −9; −6; −5; −4.

Задание 1166

Сколько процентов число 4 составляет от обратного ему числа?

Решение

1/4 обратное число числу 4, тогда:
$(4:\frac14)\ast100$ % = 4 * 4 * 100% = 1600%
Ответ: 1600%.

Задание 1167

Сколько процентов число 5, составляет от числа, являющегося его квадратом?

Решение

$5^2$ = 25, тогда:
5 : 25 * 100% = 0,2 * 100% = 20%
Ответ: 20%.

Задание 1168

Некоторое число сначала увеличили на 10%, а потом уменьшили результат на 10%. Установите, полученное число больше или меньше исходного и на сколько процентов.

Решение

Пусть x − первоначальное число, тогда:
x + 0,1x = 1,1x − число после увеличения;
1,1x − 0,1 * (1,1x) = 1,1x − 0,11x = 0,99x число после уменьшения.
(x − 0,99x) = 0,01x, следовательно полученное число меньше исходного на 1%.
Ответ: меньше на 1%.

Задание 1169

На столе стояла коробка с конфетами. Женя взял половину конфет, а Катя − треть остальных, после чего в коробке осталось 6 конфет. Сколько конфет было в коробке сначала?

Решение

Пусть x конфет было всего, тогда:
$x-\frac12x=\frac12x$ конфет осталось после Жени;
$\frac12x\ast\frac13x=\frac16x$ конфет взяла Катя.
Так как в коробке осталось 6 конфет, то:
$x-\frac12x-\frac16x=6$
$\frac66x-\frac36x-\frac16x=6$
$\frac26x=6$
$\frac13x=6$
$x=6:\frac13$
$x=6\ast\frac31$
x = 18 конфет было в коробке сначала.
Ответ: 18 конфет.

Задание 1170

Из шести девочек и троих мальчиков надо выбрать одного ученика для дежурства в школьной столовой. Какова вероятность того, что дежурным будет мальчик?

Решение

6 + 3 = 9 (уч.) - всего;
$\frac39=\frac13$ - вероятность того, что дежурным будет мальчик.
Ответ: 1/3.

Задание 1171

Двузначное число, первая цифра которого 5, разделили на однозначное и получили в остатке 8. Найдите делимое и делитель.

Решение

Так как остаток 8, то однозначное число (делитель) будет больше остатка, значит 9.
Число кратное 9, первая цифра которого 5 равно 54, следовательно делимое будет равно 54 − 1 = 53.
Ответ: 53 − делимое, 9 − делитель.