Задание 4. Составьте две разные пропорции по условию задачи, как это сделано в примере 2:
"На 10 одинаковых юбок требуется 8 м ткани. Сколько метров этой ткани потребуется на 6 таких же юбок?"

Решение

10 юбок − 8 м ткани
6 юбок − x м ткани
Можно составить пропорции:
1) $\frac{10}{6} = \frac{8}{x}$;
2) $\frac{10}{8} = \frac{6}{x}$.

Задание 5. Решите задачу двумя способами, как это сделано в примере 3:
"Конфеты расфасовали в 20 упаковок по 200 г в каждой. Сколько упаковок получится, если это же количество конфет расфасовать в упаковки по 125 г?"

Решение

20 упаковок − 200 г
x упаковок − 125 г
Способ 1.
$\frac{20}{x} = \frac{125}{200}$
$x = \frac{20 * 200}{125} = 32$ (упаковки) − получится.

Способ 2.
20 * 200 = x * 125
125x = 4000
x = 4000 : 125
x = 32 (упаковки)
$\frac{20}{x} = \frac{125}{200}$
$x = \frac{20 * 200}{125} = 32$ (упаковки) − получится.
Ответ: 32 упаковки.

Ответы к упражнениям

Задание 177. Проверьте двумя способами, является ли пропорцией следующее равенство:
а) $\frac{14}{70} = \frac{25}{125}$;
б) 42 : 3 = 26 : 2;
в) $\frac{7,5}{15} = \frac{0,6}{1,2}$;
г) $\frac{2}{3} : \frac{1}{2} = 4 : 3$.

Решение

а) $\frac{14}{70} = \frac{25}{125}$
1 способ.
$\frac{14}{70} = 0,2$
$\frac{25}{125} = 0,2$
0,2 = 0,2 − является пропорцией
2 способ.
14 * 125 = 70 * 25
1750 = 1750 − является пропорцией

б) 42 : 3 = 26 : 2
1 способ.
42 : 3 = 14
26 : 2 = 13
14 ≠ 13 − не является пропорцией
2 способ
42 * 2 = 3 * 26
84 ≠ 78 − не является пропорцией

в) $\frac{7,5}{15} = \frac{0,6}{1,2}$
1 способ.
$\frac{7,5}{15} = 0,5$
$\frac{0,6}{1,2} = 0,5$
0,5 = 0,5 − является пропорцией
2 способ.
7,5 * 1,2 = 15 * 0,6
9 = 9 − является пропорцией

г) $\frac{2}{3} : \frac{1}{2} = 4 : 3$
1 способ.
$\frac{2}{3} : \frac{1}{2} = \frac{2}{3} * \frac{2}{1} = \frac{4}{3}$
$4 : 3 = \frac{4}{3}$
$\frac{4}{3} = \frac{4}{3}$ − является пропорцией
2 способ.
$\frac{2}{3} * 3 = \frac{1}{2} * 4$
2 = 2 − является пропорцией

Задание 178. Найдите неизвестный член пропорции:
а) $\frac{x}{10} = \frac{4}{5}$;
б) $\frac{6}{a} = \frac{3}{4}$;
в) $\frac{0,4}{b} = \frac{2}{7}$;
г) $\frac{3}{8} = \frac{y}{3,2}$;
д) 3 : y = 2 : 5;
е) 6 : 7 = 9 : c;
ж) x : 1,4 = 3 : 0,7;
з) 9 : 0,8 = a : 1,6.

Решение

а) $\frac{x}{10} = \frac{4}{5}$
5x = 10 * 4
5x = 40
x = 8

б) $\frac{6}{a} = \frac{3}{4}$
3a = 6 * 4
3a = 24
a = 24 : 3
a = 8

в) $\frac{0,4}{b} = \frac{2}{7}$
2b = 0,4 * 7
2b = 2,8
b = 1,4

г) $\frac{3}{8} = \frac{y}{3,2}$
8y = 3 * 3,2
8y = 9,6
y = 1,2

д) 3 : y = 2 : 5
2y = 3 * 5
2y = 15
y = 15 : 2
y = 7,5

е) 6 : 7 = 9 : c
6c = 7 * 9
6c = 63
c = 63 : 6
c = 10,5

ж) x : 1,4 = 3 : 0,7
0,7x = 1,4 * 3
0,7x = 4,2
x = 4,2 : 0,7
x = 6

з) 9 : 0,8 = a : 1,6
0,8a = 9 * 1,6
0,8a = 14,4
a = 14,4 : 0,8
a = 18

Задание 179. Из пропорции $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ выразите число a; число b. Сформулируйте правило нахождения неизвестного крайнего члена пропорции; неизвестного среднего члена пропорции.

Решение задачи

$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$
$a = \frac{bc}{d}$
$b = \frac{ad}{c}$
Чтобы найти неизвестный крайний член пропорции, нужно произведение средних членов пропорции разделить на известный крайний член пропорции.
Чтобы найти неизвестный средний член пропорции, нужно произведение крайних членов пропорции разделить на известный средний член пропорции.

Задание 180. Обозначьте неизвестную величину буквой и составьте разные пропорции по условию задачи:
а) Таня занимается рассылкой объявлений. Она запечатывает 100 конвертов за 16 мин. Сколько конвертов запечатает она за 40 мин, если будет работать с такой же скоростью?
б) Ольга может за 30 с набрать на компьютере 160 знаков. Сколько знаков она наберет за 5 мин, если будет работать с той же скоростью?

Решение задач

а) Пусть x (конвертов) − запечатает Таня за 40 минут.
100 конвертов − 16 минут
x конвертов − 40 минут
Прямая пропорциональность.
$\frac{100}{x} = \frac{16}{40}$
$x = \frac{100 * 40}{16} = \frac{100 * 5}{2} = 50 * 5 = 250$ (конвертов) − запечатает Таня за 40 минут.
Ответ: 250 конвертов.

б) Пусть x (знаков) − наберет Ольга за 5 мин.
5 мин = 300 с
30 с − 160 знаков
300 с − x знаков
Прямая пропорциональность.
$\frac{30}{300} = \frac{160}{x}$
$x = \frac{300 * 160}{30} = 10 * 160 = 1600$ (знаков) − наберет Ольга за 5 минут.
Ответ: 1600 знаков.

Задание 181. а) За 2,5 ч выпало 1,5 мм осадков. Сколько осадков выпало бы за 6 ч, если бы дождь шел с такой же силой?
б) За 2,5 мин на принтере распечатали 15 страниц. За какое время можно распечатать на этом принтере 100 страниц?

Решение задач

а) Пусть x (мм) − осадков выпало бы за 6 ч
2,5 ч − 1,5 мм
6 ч − x мм
Прямая пропорциональность.
$\frac{2,5}{6} = \frac{1,5}{x}$
$x = \frac{1,5 * 6}{2,5} = \frac{15 * 6}{25} = \frac{3 * 6}{5} = \frac{18}{5} = 3,6$ (мм) − осадков выпало бы за 6 часов.
Ответ: 3,6 мм

б) Пусть x (мин) − нужно, чтобы распечатать 100 страниц.
2,5 мин − 15 страниц
x мин − 100 страниц
Прямая пропорциональность.
$\frac{2,5}{x} = \frac{15}{100}$
$x = \frac{2,5 * 100}{15} = \frac{25 * 100}{150} = \frac{1 * 100}{6} = \frac{50}{3} = 16\frac{2}{3}$ (мин) = 16 мин 40 с − нужно, чтобы распечатать 100 страниц.
Ответ: за 16 мин 40 с.

Задание 182. Масштаб карты 1 : 5000000.
а) Расстояние между Москвой и Курском на карте равно 9 см. Чему равно это расстояние в действительности?
б) Расстояние между Москвой и Ригой 900 км. Чему равно это расстояние на карте?

Решение задач

а) Пусть x (см) − расстояние между Москвой и Курском в действительности.
1 см на карте − 5000000 см на местности
9 см на карте − x см на местности
Прямая пропорциональность.
$\frac{1}{9} = \frac{5000000}{x}$
$x = \frac{5000000 * 9}{1} = 45000000$ (см) = 450 (км) − расстояние между Москвой и Курском.
Ответ: 450 км.

б) Пусть x (см) − расстояние между Москвой и Ригой на карте.
1 см на карте − 5000000 см на местности
x см на карте − 90000000 на местности
Прямая пропорциональность.
$\frac{1}{x} = \frac{5000000}{90000000}$
$x = \frac{90000000 * 1}{5000000} = 18$ (см) − расстояние между Москвой и Ригой на карте.
Ответ: 18 см.