Задание 113. Сформулируйте условие, при котором числа $4^m$ и $4^n$, где m∈N, n∈N, m∉n, оканчиваются одной и той же цифрой.

Решение

Степени чисел, которые оканчиваются цифрой 4, могут оканчиваться только на цифры 4 и 6.
Числа $4^m$ и $4^n$ оканчиваются одной и той же цифрой, если показатели степени m и n либо оба четны, либо оба нечетны.

Задание 114. Делится ли на 10:
сумма $11^{14} + 3^{22}$;
разность $7^{20} - 9^{10}$;
произведение $12^{15} * 15^{12}$?

Решение

$11^{14} + 3^{22}$
$11^{14}$ − оканчивается на 1;
$3^{22}$ − оканчивается на 9, т.к. 22 = 4 * 5 + 2;
1 + 9 = 10 − значит $11^{14} + 3^{22}$ − оканчивается на 0, а значит делится на 10.

$7^{20}$ − оканчивается на 1, т.к. 20 = 4 * 5;
$9^{10}$ − оканчивается на 1, так как 10 = 4 * 2 + 2;
1 − 1 = 0 − значит $7^{20} - 9^{10}$ − оканчивается на 0, а значит делится на 10.

$12^{15}$ − оканчивается на 0;
$15^{12}$ − оканчивается на 5;
0 * 5 = 0 − значит $12^{15} * 15^{12}$ − оканчивается на 0, а значит делится на 10.

Ответы 7 гуру на дополнительные задания по теме "Вычисления с рациональными числами"

Задание 115. Вычислите:
а) $0,8 + (-\frac{5}{6})$;
б) $-\frac{1}{50} + 1,37$;
в) $-7,11 - \frac{1}{2}$;
г) $\frac{2}{3} - 0,8$;
д) $-\frac{2}{7} * 1,4$;
е) $-0,24 * (-\frac{3}{16})$;
ж) $4,2 : (-\frac{6}{7})$;
з) $0,16 : 2\frac{2}{5}$;
и) $3\frac{1}{5} : 0,64$.

Решение

а) $0,8 + (-\frac{5}{6}) = \frac{8}{10} + (-\frac{5}{6}) = \frac{4}{5} + (-\frac{5}{6}) = \frac{24 - 25}{30} = -\frac{1}{30}$

б) $-\frac{1}{50} + 1,37 = -\frac{1}{50} + \frac{137}{100} = \frac{-2 + 137}{100} = \frac{135}{100} = 1,35$

в) $-7,11 - \frac{1}{2} = -7,11 - 0,5 = -7,61$

г) $\frac{2}{3} - 0,8 = \frac{2}{3} - \frac{8}{10} = \frac{2}{3} - \frac{4}{5} = \frac{10 - 12}{15} = -\frac{2}{15}$

д) $-\frac{2}{7} * 1,4 = -\frac{2}{7} * \frac{14}{10} = -\frac{2}{7} * \frac{7}{5} = -\frac{2}{5}$

е) $-0,24 * (-\frac{3}{16}) = \frac{24}{100} * \frac{3}{16} = \frac{3}{100} * \frac{3}{2} = \frac{9}{200}$

ж) $4,2 : (-\frac{6}{7}) = \frac{42}{10} * (-\frac{7}{6}) = \frac{21}{5} * (-\frac{7}{6}) = -\frac{7 * 7}{5 * 2} = -\frac{49}{10} = -4,9$

з) $0,16 : 2\frac{2}{5} = \frac{16}{100} : \frac{12}{5} = \frac{4}{25} * \frac{5}{12} = \frac{1}{5} * \frac{1}{3} = \frac{1}{15}$

и) $3\frac{1}{5} : 0,64 = \frac{16}{5} : \frac{64}{100} = \frac{16}{5} : \frac{64}{100} = \frac{16}{5} : \frac{16}{25} = \frac{16}{5} * \frac{25}{16} = 5$

Задание 116. В числителе дроби запишите произведение всех натуральных четных чисел, меньших 10, а в знаменателе − произведение всех натуральных нечетных чисел, меньших 10. Сократите полученную дробь и сравните ее с $\frac{1}{3}$.

Решение

$\frac{2 * 4 * 6 * 8}{1 * 3 * 5 * 7 * 9} = \frac{2 * 4 * 2 * 8}{1 * 1 * 5 * 7 * 9} = \frac{128}{315}$;
$\frac{1}{3} = \frac{105}{315}$;
$\frac{128}{315} > \frac{105}{315}$;
$\frac{128}{315} > \frac{1}{3}$.

Задание 117. Сравните дроби:
а) $\frac{1,4 * 6 * 0,28}{0,24 * 0,2 * 21}$ и $\frac{6,9 * 9,6 * 0,05}{4 * 0,36}$;
б) $\frac{1,5 * 0,084}{0,18 * 3,6}$ и $\frac{0,27 * 0,05}{0,062 * 0,75}$.

Решение

а) $\frac{1,4 * 6 * 0,28}{0,24 * 0,2 * 21} = \frac{14 * 6 * 28}{24 * 2 * 21} = \frac{2 * 1 * 14}{4 * 1 * 3} = \frac{7}{3} = 2\frac{1}{3}$;
$\frac{6,9 * 9,6 * 0,05}{4 * 0,36} = \frac{69 * 96 * 0,05}{4 * 36} = \frac{23 * 24 * 0,05}{1 * 12} = \frac{23 * 2 * 0,05}{1} = 23 * 0,1 = 2,3$;
$2\frac{1}{3} = \frac{7}{3} = \frac{70}{30}$;
$2,3 = \frac{23}{10} = \frac{69}{30}$;
$\frac{70}{30} > \frac{69}{30}$, значит:
$\frac{1,4 * 6 * 0,28}{0,24 * 0,2 * 21} > \frac{6,9 * 9,6 * 0,05}{4 * 0,36}$.

б) $\frac{1,5 * 0,084}{0,18 * 3,6} = \frac{1,5 * 84}{18 * 36} = \frac{1,5 * 7}{18 * 3} = \frac{15 * 7}{18 * 30} = \frac{1 * 7}{18 * 2} = \frac{7}{36}$;
$\frac{0,27 * 0,05}{0,062 * 0,75} = \frac{270 * 5}{62 * 75} = \frac{135 * 1}{31 * 15} = \frac{9}{31}$.
$\frac{7}{36} = \frac{7 * 31}{36 * 31} = \frac{217}{36 * 31}$;
$\frac{9}{31} = \frac{9 * 36}{31 * 36} = \frac{324}{31 * 36}$;
$\frac{217}{36 * 31} < \frac{324}{31 * 36}$, значит:
$\frac{1,5 * 0,084}{0,18 * 3,6} < \frac{0,27 * 0,05}{0,062 * 0,75}$.

Задание 118. Вычислите:
а) $\frac{2,8 : 2\frac{4}{5} * 2\frac{2}{3}}{1,6 : 1,3}$;
б) $\frac{1,8 : 1\frac{1}{5} * 0,12}{0,27 : \frac{2}{7}}$.

Решение

а) $\frac{2,8 : 2\frac{4}{5} * 2\frac{2}{3}}{1,6 : 1,3} = \frac{2,8 : 2,8 * 2\frac{2}{3}}{16 : 13} = \frac{2\frac{2}{3}}{\frac{16}{13}} = \frac{8}{3} * \frac{13}{16} = \frac{1}{3} * \frac{13}{2} = \frac{13}{6} = 2\frac{1}{6}$

б) $\frac{1,8 : 1\frac{1}{5} * 0,12}{0,27 : \frac{2}{7}} = \frac{1,8 : 1,2 * 0,12}{\frac{27}{100} * \frac{7}{2}} = \frac{18 : 12 * 0,12}{\frac{189}{200}} = \frac{1,5 * 0,12}{\frac{189}{200}} = \frac{0,18}{\frac{189}{200}} = \frac{18}{100} : \frac{189}{200} = \frac{9}{50} * \frac{200}{189} = \frac{1}{1} * \frac{4}{21} = \frac{4}{21}$

Задание 119. Вычислите и запишите ответ в виде десятичной дроби:
а) $\frac{\frac{4,5}{10,5} + \frac{10,5}{4,5}}{\frac{4,5}{10,5} - \frac{10,5}{4,5}}$;
б) $\frac{\frac{0,5 - 1}{0,5 + 1} + \frac{0,5 + 1}{0,5 - 1}}{\frac{0,5 - 1}{0,5 + 1} - \frac{0,5 + 1}{0,5 - 1}}$.

Решение

а) $\frac{\frac{4,5}{10,5} + \frac{10,5}{4,5}}{\frac{4,5}{10,5} - \frac{10,5}{4,5}} = \frac{\frac{45}{105} + \frac{105}{45}}{\frac{45}{105} - \frac{105}{45}} = \frac{\frac{3}{7} + \frac{7}{3}}{\frac{3}{7} - \frac{7}{3}} = \frac{\frac{9 + 49}{21}}{\frac{9 - 49}{21}} = \frac{58}{21} : (-\frac{40}{21}) = \frac{58}{21} * (-\frac{21}{40}) = -\frac{29}{20} = -1\frac{9}{20} = -1\frac{45}{100} = -1,45$

б) $\frac{\frac{0,5 - 1}{0,5 + 1} + \frac{0,5 + 1}{0,5 - 1}}{\frac{0,5 - 1}{0,5 + 1} - \frac{0,5 + 1}{0,5 - 1}} = \frac{\frac{-0,5}{1,5} + \frac{1,5}{-0,5}}{\frac{0,5}{1,5} - \frac{1,5}{-0,5}} = \frac{-\frac{5}{15} - \frac{15}{5}}{-\frac{5}{15} + \frac{15}{5}} = \frac{-\frac{1}{3} - 3}{-\frac{1}{3} + 3} = \frac{-3\frac{1}{3}}{2\frac{2}{3}} = -\frac{10}{3} : \frac{8}{3} = -\frac{10}{3} * \frac{3}{8} = -\frac{10}{8} = -\frac{5}{4} = -\frac{125}{100} = -1,25$

Задание 120. Найдите значение выражения:
а) $\frac{70,2 * 0,5}{9 * 1\frac{1}{2}} - \frac{2,4 * 10,8}{4 * 1\frac{4}{5}} - \frac{1,4 * 16,2}{3 * 1\frac{1}{5}}$;
б) $\frac{\frac{8}{15} * 1\frac{9}{16}}{1,5} + \frac{1\frac{1}{9} * \frac{3}{5}}{1,6} + \frac{2\frac{2}{3} * \frac{3}{16}}{1,8}$.

Решение

а) $\frac{70,2 * 0,5}{9 * 1\frac{1}{2}} - \frac{2,4 * 10,8}{4 * 1\frac{4}{5}} - \frac{1,4 * 16,2}{3 * 1\frac{1}{5}} = \frac{\frac{702}{10} * \frac{1}{2}}{\frac{9}{1} * \frac{3}{2}} - \frac{\frac{24}{10} * \frac{108}{10}}{\frac{4}{1} * \frac{9}{5}} - \frac{\frac{14}{10} * \frac{162}{10}}{\frac{3}{1} * \frac{6}{5}} = \frac{\frac{351}{10}}{\frac{27}{2}} - \frac{\frac{6 * 108}{25}}{\frac{36}{5}} - \frac{\frac{7 * 81}{25}}{\frac{18}{5}} = \frac{351}{10} : \frac{27}{2} - \frac{6 * 108}{25} : \frac{36}{5} - \frac{7 * 81}{25} : \frac{18}{5} = \frac{351}{10} * \frac{2}{27} = \frac{6 * 108}{25} * \frac{5}{36} - \frac{7 * 81}{25} * \frac{5}{18} = \frac{13}{5} - \frac{18}{5} - \frac{63}{10} = -1 - 6,3 = -7,3$

б) $\frac{\frac{8}{15} * 1\frac{9}{16}}{1,5} + \frac{1\frac{1}{9} * \frac{3}{5}}{1,6} + \frac{2\frac{2}{3} * \frac{3}{16}}{1,8} = \frac{\frac{8}{15} * \frac{25}{16}}{\frac{3}{2}} + \frac{\frac{10}{9} * \frac{3}{5}}{\frac{16}{10}} + \frac{\frac{8}{3} * \frac{3}{16}}{\frac{18}{10}} = \frac{\frac{5}{3 * 2}}{\frac{3}{2}} + \frac{\frac{2}{3}}{\frac{8}{5}} + \frac{\frac{1}{2}}{\frac{9}{5}} = \frac{5}{6} : \frac{3}{2} + \frac{2}{3} : \frac{8}{5} + \frac{1}{2} : \frac{9}{5} = \frac{5}{6} * \frac{2}{3} + \frac{2}{3} * \frac{5}{8} + \frac{1}{2} * \frac{5}{9} = \frac{5}{9} + \frac{5}{12} + \frac{5}{18} = \frac{20 + 15 + 10}{36} = \frac{45}{36} = 1\frac{9}{36} = 1\frac{1}{4} = 1,25$

Задание 121. Вычислите значение выражения при a = 1,5, b = 0,7, c = −0,5:
а) $\frac{a - b}{a + b} + \frac{b - c}{b + c} + \frac{c - a}{c + a}$;
б) $\frac{(b - a)(b - c)(c - a)}{(a + b)(b + c)(c + a)}$.

Решение

а) $\frac{a - b}{a + b} + \frac{b - c}{b + c} + \frac{c - a}{c + a} = \frac{1,5 - 0,7}{1,5 + 0,7} + \frac{0,7 - (-0,5)}{0,7 + (-0,5)} + \frac{-0,5 - 1,5}{-0,5 + 1,5} = \frac{0,8}{2,2} + \frac{1,2}{0,2} + \frac{-2}{1} = \frac{8}{22} + \frac{12}{2} - 2 = \frac{8}{22} + 6 - 2 = 4 + \frac{4}{11} = 4\frac{4}{11}$

б) $\frac{(b - a)(b - c)(c - a)}{(a + b)(b + c)(c + a)} = \frac{(0,7 - 1,5)(0,7 - (-0,5))(-0,5 - 1,5)}{(1,5 + 0,7)(0,7 + (-0,5))(-0,5 + 1,5)} = \frac{-0,8 * 1,2 * (-2)}{2,2 * 0,2 * 1} = \frac{8 * 12 * 2}{22 * 2} = \frac{48}{11} = 4\frac{4}{11}$