В шестом классе изучается тема деления чисел в данном отношении. Тема для учеников не всегда понятна с первого объяснения учителя, поэтому разберем ее подробнее на страницах сайта 7 гуру. Напишем понятия и правила, разберем примеры решения задач на деление в данном отношении.

Понятие отношения

Частное двух не равных нулю чисел a и b называется отношением чисел a и b. Числа a и b называются членами отношения.

Скорость – это отношение пройденного пути ко времени, за которое этот путь пройден.
Скорость сближения – это расстояние, на которое сближаются объекты за единицу времени.
Цена товара – это отношение стоимости товара к его массе или количеству единиц товара.

Правило деления числа в данном отношении.

Чтобы разделить число c в отношении a к b, можно разделить число c на сумму членов отношения a + b и результат умножить на каждый член отношения, числа a, b и c не равны нулю.

Задача 1. Разделите между двумя друзьями 80 конфет в отношении 1:4.

1 способ:
Таким способом мы решали подобные задачи в начальной школе. Сначала узнаем, сколько всего частей в целом. Узнаем количество предметов в одной части. Умножаем на нужные количества частей, чтобы ответить на вопрос.

1) 1 + 4 = 5 (частей) - всего
2) 80 : 5 = 16 (конфет) - в одной части, а поскольку первому другу досталась 1 часть, то это количество конфет, которые ему достались.
3) 16 * 4 = 64 (конфеты) - в четырех частях, достались второму другу

2 способ:
Решаем по правилу деления числа на части. Этим способом предпочтительнее пользоваться при решении подобных задач.

1)  $\frac{80}{1+4}\ast1=16$ (конфет) - получил первый друг

2) $\frac{80}{1+4}\ast4=64$ (конфет) - получил второй друг

Ответ: конфеты между друзьями надо разделить так: первому – 16 конфет, а второму – 64 конфеты.

Задача 2.  Сестра и брат сложили свои деньги для покупки лотерейного билета. У сестры было 50 рублей, а у брата 30 рублей. Билет выиграл 4000 рублей. Как они должны разделить эти деньги между собой?

Решение:

1) $50:30=\frac{50}{30}=\frac53$ - отношение, в котором нужно разделить выигрыш

2) $\frac{4000}{5+3}\ast5=500\ast5=2500$ (р.) - сестре от выигрыша

3) $\frac{4000}{5+3}\ast3=500\ast3=1500$ (р.) - брату от выигрыша

Ответ: 2500 рублей, 1500 рублей.

Задача 3. Трое хотят купить фирму по продаже мороженого. Первый желает иметь 6 частей акций, второй – 4 части акций, третий – 2 части. Всего нужно заплатить 960 000 рублей. Сколько денег должен внести каждый из них.

Решение:

1) $\frac{960000}{6+4+2}\ast6=480000$ (р.) - должен внести первый

2) $\frac{960000}{6+4+2}\ast4=320000$ (р.) - должен внести второй

3) $\frac{960000}{6+4+2}\ast4=160000$ (р.) - должен внести третий

Ответ: 480 000 рублей, 320 000 рублей, 160 000 рублей.

Задача 4. Первая машинистка печатает 180 страниц за 20 часов, а вторая – за 30 часов. Как распределить между ними 180 страниц, чтобы они напечатали их в кратчайший срок?

Решение:

1) 180 : 20 = 9 (стр.) - напечатает первая машинистка за 1 час
2) 180 : 30 = 6 (стр.) - напечатает вторая машинистка за 1 час
3) 9:6 = 3:2  - в этом отношении нужно разделить 180 страниц

4) $\frac{180}{3+2}\ast3=108$ (стр.) - надо дать печатать первой машинистке

5) $\frac{180}{3+2}\ast2=72$ (стр.) - надо дать печатать второй машинистке

Ответ: первой машинистке – 108 страниц, второй – 72 страницы.

Задача 5. Мотоциклист может проехать расстояние между пунктами за 4 часа, а велосипедист – за 12 часов. Однажды они одновременно отправились навстречу друг другу из этих пунктов. Сколько километров проедет каждый до встречи, если расстояние между пунктами 120 километров?

Решение:

Так как время преодоления расстояния мотоциклистом и велосипедистом равно 12:4, значит, скорость мотоциклиста будет в 3 раза больше, чем велосипедиста. Следовательно, за одно и то же время мотоциклист проедет в 3 раза большее расстояние. Это значит, что весь путь делится между ними в отношении 1:3.

1) $\frac{120}{1+3}\ast1=30$ (км) - проедет велосипедист

2) $\frac{120}{1+3}\ast3=90$ (км) - проедет мотоциклист

Ответ: 30 км, 90 км.

Задача 6. Сортировка элементов по категориям. Поставьте в соответствующие столбцы (1:4; 2:5) числа, которые можно разделить нацело в заданных отношениях. Варианты ответов: 25, 13, 14, 45, 28, 6.

Для решения нужно сначала посчитать сумму частей первого столбца:
1 + 4 = 5
Затем проверить, какие из чисел кратны 5. Это 25 и 45.
Аналогично для второго столбца.
2 + 5 = 7
Числа, кратные 7:  14 и 28.

Ответ:
1:4   2:5
25     14
45     28