Задание №820

Докажите, что в любом 60−значном числе, десятичная запись которого не содержит нулей, можно зачеркнуть несколько цифр так, что полученное в результате этого число будет делиться нацело на 1001.

Решение:

Любое натуральное число, записанное 6-ю одинаковыми цифрами, делится нацело на 1001.
Остаётся заметить, что по принципу Дирихле в записи любого 60-значного числа найдутся шесть одинаковых цифр. Отметим, что условие задачи избыточно. Можно утверждать, что указанным свойством обладает любое 46-значное число, запись которого не содержит нулей.