Задание №419

Выбрали некоторые три последовательных натуральных числа. Зависит ли разность квадрата второго из этих чисел и произведения перового и третьего от выбора чисел?

Решение:

Примем первое число за n, тогда (n + 1) − второе число, (n + 2) − третье число.
( n + 1 )2 − n ( n + 2 ) = ( n + 1 ) ( n + 1 ) − n2 − 2 n = n2 + n + n + 1 − n2 − 2 n = ( n2 − n2 ) + ( n + n − 2 n ) + 1 = 0 + 0 + 1 = 1
Значит, разность квадрата второго из этих чисел и произведения перового и третьего не зависит от выбора чисел, так как при любых числах значение выражение будет равно 1.

Задание №420

Докажите, что значение выражения
   a b  ∗ b a  − a b делится нацело на 10 независимо от значений a и b.

Решение:

__     __
a b  ∗ b a  − a b = ( 10 a + b ) ( 10 b + a ) − a b = 100 a b + 10 b2 + 10 a2 + a b − a b = 10 a2 + ( 100 a b + a b − a b ) + 10 b2 = 10 a2 + 100 a b + 10 b2 = 10 ( a2 + 10 a b + b2 )
Так как выражение a2 + 10 a b + b2 умножается на 10, следовательно значение выражения
__     __
a b  ∗ b a  − a b делится нацело на 10 независимо от значений a и b.

Задание №421

Остаток при делении натурального числа x на 6 равен 3, а остаток при делении натурального числа y на 6 равен 2. Докажите, что произведение чисел x и y делится нацело на 6.

Решение:

Пусть неполное частное при делении x на 6 равно a, а при делении y на 6 равно b, тогда:
x = 6a + 3;
y = 6b + 2, следовательно:
xy = (6a + 3)(6b + 2) = 36ab + 12a +18b + 6 = 6(6ab + 2a +3b + 1)
Так как выражение 6ab + 2a +3b + 1 умножается на 6, следовательно произведение чисел x и y делится нацело на 6.

Задание №422

Остаток при делении натурального числа a на 8 равен 3, а остаток при делении натурального числа b на 8 равен 7. Докажите, что остаток при делении произведения чисел a и b на 8 равен 5.

Решение:

Пусть неполное частное при делении a на 8 равно x, а при делении b на 8 равно y, тогда:
a = 8x + 3;
b = 8y + 7, 
ab = (8x + 3)(8y + 7) = 64xy + 56x + 24y + 21 = 64xy + 56x + 24y + 16 + 5 = 8(8xy + 7x + 3y + 2) + 5
Значит, остаток при делении произведения чисел a и b на 8 равен 5.

Задание №423

Остаток при делении натурального числа m на 11 равен 9, а остаток при делении натурального числа n на 11 равен 5. Докажите, что остаток при делении произведения чисел m и n на 11 равен 1.

Решение:

Пусть неполное частное при делении m на 11 равно x, а при делении n на 11 равно y, тогда:
m = 11x + 9;
n = 11y + 5,
mn = (11x + 9)(11y + 5) = 121xy + 99y + 55x + 45 = 121xy + 99y + 55x + 44 + 1 = 11(11xy + 9y + 5x + 4) + 1
Значит, остаток при делении произведения чисел m и n на 11 равен 1.

Задание №424

Докажите, что если ab + bc + ac = 0, то ( a − b ) ( a − c ) + ( b − c ) ( b − a ) + ( c − a ) ( c − b ) = a2 + b2 + c2.

Решение:

( a − b ) ( a − c ) + ( b − c ) ( b − a ) + ( c − a ) ( c − b ) = a2 + b2 + c2
a2 − a b − a c + b c + b2 − b c − a b + a c + c2 − a c − b c + a b = a2 + b2 + c2
a2 + ( − a b − a b + a b ) + ( b c − b c − b c ) + ( − a c + a c − a c ) + b2 + c2 = a2 + b2 + c2
a2 − a b − b c − a c + b2 + c2 = a2 + b2 + c2
a2 + b2 + c2 − ( a b + b c + a c ) = a2 + b2 + c2
a2 + b2 + c2 − 0 = a2 + b2 + c2
a2 + b2 + c2 = a2 + b2 + c2

Задание №425

Двое рабочих изготовили вместе 108 деталей. первый рабочий работал 5 ч, а второй − 3 ч. Сколько деталей изготавливал ежечасно каждый рабочий, если вместе за 1 ч они изготавливают 26 деталей?

Решение:

Пусть x деталей в час изготавливает первый рабочий, тогда (26 − x) деталей в час изготавливает второй рабочий, 5x деталей изготовил первый рабочий, 3(26 − x) деталей изготовил второй рабочий, а всего рабочие изготовили 108 деталей.
Составим уравнение:
5x + 3(26 − x) = 108
5x + 78 − 3x = 108
5x − 3x = 108 − 78
2x = 30
x = 30 : 2
x = 15
Значит, 15 деталей в час изготавливает первый рабочий;
26 − x = 26 − 15 = 11 (д.) в час изготавливает второй рабочий.
Ответ: 15 и 11 деталей в час.

Задание №426

Смешали 72 г пятипроцентного раствора соли и 48 г пятнадцатипроцентного раствора соли. найдите процентное содержание соли в полученном растворе.

Решение:

5% = 0,05
0,05 от 72 г
72 * 0,05 = 3,6 (г) - масса соли в 5−% растворе;
15% = 0,15
0,15 от 48 г
48 * 0,15 = 7,2 (г) - масса соли в 15−% растворе;
72 + 48 = 120 (г) - масса смеси двух растворов;
3,6 + 7,2 = 10,8 (г) - масса соли в смеси двух растворов;
120 г  -  100%
10,8 г -  х%
10,8 * 100 : 120 =  9 (%) - содержание соли в полученном растворе.
Ответ: 9 %.

Задание №427

Решите уравнение:
1) 1 x  + 2= x6 ;
2) x4  + x8  = 1 x2 .

Решение:

    __      __      __
1) 1 x  + 2 x  = x6 
1 * 10 + x + 2 * 10 + x = 10x + 6
10 + x + 20 + x − 10x = 6
−8x = 6 − 10 − 20
−8x = −24
x = −24 : −8
x = 3
    __    __      ___
2) x4  + x8  = 1 x2 
10x + 4 + 10x + 8 = 1 * 100 + 10x + 2
10x + 10x − 10x = 100 + 2 − 8 − 4
10x = 90
x = 90 : 10
x = 9

Задание №428

Докажите тождество:
1) 18 16 n = 12 8 n ∗ 9 12 n;
2) 75 8 n = 225 4 n ∗ 625 2 n, где n − натуральное число.

Решение:

1) 18 16 n = 12 8 n ∗ 9 12 n
( 2 ∗ 9 )16 n = ( 3 ∗ 4 )8 n ∗ ( 3 ∗ 3 )12 n
( 2 ∗ 3 2 )16 n = ( 3 ∗ 2 2 )8 n ∗ ( 3 2 )12 n
2 16 n ∗ 3 32 n = 3 8 n ∗ 2 16 n ∗ 3 24 n
3 32 n ∗ 2 16 n = ( 3 8 n ∗ 3 24 n ) ∗ 2 16 n
3 32 n ∗ 2 16 n = 3 8 n + 24 n ∗ 2 16 n
3 32 n ∗ 2 16 n = 3 32 n ∗ 2 16 n 

2) 75 8 n = 225 4 n ∗ 625 2 n
( 3 ∗ 25 )8 n = ( 9 ∗ 25 )4 n ∗ ( 25 2 )2 n
3 8 n ∗ 25 8 n = ( 3 2 ∗ 25 )4 n ∗ 25 4 n
3 8 n ∗ 25 8 n = 3 8 n ∗ 25 4 n ∗ 25 4 n
3 8 n ∗ 25 8 n = 3 8 n ∗ 25 4 n + 4 n
3 8 n ∗ 25 8 n = 3 8 n ∗ 25 8 n

Задание №429

(Старинная греческая задача.) Демохар четвертую часть жизни прожил мальчиком, пятую часть − юношей, третью часть − зрелым мужчиной и 13 лет − в годах. Сколько лет прожил Демохар?

Решение:

Пусть всего x лет прожил Демохар, тогда 1/4 x лет он прожил мальчиком, 1/5 x лет юношей, 1/3 x лет зрелым мужчиной.
Составим уравнение:
$\frac14x+\frac15x+\frac13x+13=x$
$\frac14x+\frac15x+\frac13x-x=-13$
$\frac{15+12+20-60}{60}x=-13$
$-\frac{13}{60}x=-13$
x = − 13 : − 13/60
x = − 13 ∗ − 60/13
x = 60
Значит, Демохар прожил  60 лет.
Ответ: 60 лет.

Задание №430

Вычислите, используя распределительное свойство умножения:
1) 4,8 + 2,9 + 4,8 * 7,1;
2) 3 9/14 ∗ 7/9 − 2 5/14 ∗ 7/9;
3) 3 9/14 ∗ 0, 3 − 0, 3 ∗ 1 10/21 + 0, 3 ∗ 1 1/6.

Решение:

1) 4,8 + 2,9 + 4,8 * 7,1 = 4,8 * (2,9 + 7,1) = 4,8 * 10 = 48

2) $3\frac9{14}\ast\frac79-2\frac5{14}\ast\frac79=\frac79\ast(3\frac9{14}-2\frac5{14})=\frac79\ast1\frac27=\frac79\ast\frac97=1$

3) $3\frac9{14}\ast0,3-0,3\ast1\frac{10}{21}+0,3\ast1\frac16=\frac3{10}\ast(3\frac9{14}-1\frac{10}{21}+1\frac16)=\frac3{10}\ast(3\frac{27}{42}-1\frac{20}{42}+1\frac7{42})=\frac3{10}\ast3\frac13=\frac3{10}\ast\frac{10}3=1$