Задание №376
Найдите корень уравнения:
Решение:
1) $x-\frac{7x+1}8=\frac{4x+3}4$
$x-\frac{7x+1}8-\frac{4x+3}4=0$
$\frac{8x-7x-1-2(4x+3)}8=0$
$\frac{8x-7x-1-8x-6}8=0$
8x − 7x − 1 − 8x − 6 = 0
−7x = 6 + 1
x = 7 : (−7)
x = −1
2) $\frac{2x+1}6-\frac{3x+1}7=2$
$\frac{7(2x+1)-6(3x+1)}{42}=2$
7(2x + 1) − 6(3x + 1) = 2 * 42
14x + 7 − 18x − 6 = 84
−4x = 84 − 7 + 6
−4x = 83
x = − 83/4
x = −20,75
3) $\frac{2x+3}3-\frac{5x+13}6+\frac{5-2x}2=6$
$\frac{2(2x+3)-(5x+13)+3(5-2x)}6=6$
2(2x + 3) − (5x + 13) + 3(5 − 2x) = 6 * 6
4x + 6 − 5x − 13 + 15 − 6x = 36
4x − 5x − 6x = 36 − 6 + 13 − 15
−7x = 28
x = 28 : −7
x = −4
4) $\frac{4x^2+5x}{14}+\frac{10-2x^2}7=5$
$\frac{4x^2+5x+2(10-2x^2)}{14}=5$
4 x2 + 5 x + 2 ( 10 − 2 x2 ) = 5 ∗ 14
4 x2 + 5 x + 20 − 4 x2 = 70
5x = 70 − 20
x = 50 : 5
x = 10
Задание №377
При каком значении переменной значение выражения 8y(y − 7) на 15 больше значения выражения 2y(4y − 10,5)?
Решение:
8y(y − 7) − 2y(4y − 10,5) = 15
8 y2 − 56 y − 8 y2 + 21 y = 15
−35y = 15
y = − 15/35
y = − 3/7
Задание №378
Длина прямоугольника в 3 раза больше его ширины. Если ширину прямоугольника уменьшить на 6 см, то его площадь уменьшится на 144 см2. Найдите исходную ширину прямоугольника.
Решение:
Пусть ширина прямоугольника x см, тогда длина будет (3x) см, (3 x ∗ x = 3 x2 ) см2 площадь прямоугольника.
Составим уравнение:
3 x2 − 3 x ( x − 6 ) = 144
3 x2 − 3 x2 + 18 x = 144
18x = 144
x = 144 : 18
x = 8
Значит, 8 см - исходная ширина прямоугольника.
Ответ: 8 см.
Задание №379
Ширина прямоугольника на 8 см меньше его длины. Если длину прямоугольника увеличить на 6 см, то его площадь увеличится на 72 см2. Найдите периметр данного прямоугольника.
Решение:
Пусть x см ширина прямоугольника, тогда (x + 8) см начальная длина прямоугольника, x(x + 8) см2 начальная площадь прямоугольника, (x + 8 + 6 = x + 14) см длина прямоугольника после увеличения, а x(x + 14) см2 площадь прямоугольника после увеличения.
Составим уравнение:
x(x + 14) − x(x + 8) = 72
x2 + 14x − x2 − 8x = 72
14x − 8x = 72
6x = 72
x = 72 : 6
x = 12
Значит, 12 см - начальная ширина прямоугольника;
x + 8 = 12 + 8 = 20 (см) начальная длина прямоугольника.
P = 2(12 + 20) = 2 * 32 = 64 (см) периметр прямоугольника до увеличения.
Ответ: 64 см.
Задание №380
За 3 дня турист прошел 108 км. За второй день он прошел на 6 км больше, чем за первый, а за третий − 5/13 расстояния, пройденного за первых два дня. Сколько километров турист прошел за каждый из этих дней?
Решение:
Пусть x км прошел турист в первый день, тогда (x + 6) км прошел турист во второй день, (x + x + 6 = 2x + 6) км прошел турист за первые два дня, а 5/13 ( 2 x + 6 ) км прошел турист в третий день.
Составим уравнение:
$2x+6+\frac5{13}(2x+6)=108$
$2x+6+\frac{10x+30}{13}=108$
$\frac{13(2x+6)+10x+30}{13}=108$
13(2x + 6) + 10x + 30 = 108 * 13
13(2x + 6) + 10x + 30 = 1404
26x + 78 + 10x + 30 = 1404
36x = 1404 − 78 − 30
36x = 1296
x = 1296 : 36
x = 36
Значит, 36 км прошел турист в первый день;
x + 6 = 36 + 6 = 42 (км) прошел турист во второй день;
$\frac5{13}(2x+6)=\frac5{13}(2\ast36+6)=\frac5{13}(72+6)=\frac5{13}(72+6)=\frac5{13}(78)=5\ast6=30$ (км) прошел турист в третий день.
Ответ: 36, 42 и 30 км.
Задание №381
Три бригады рабочих изготовили за смену 80 деталей. Первая бригада изготовила на 12 деталей меньше, чем вторая, а третья − 3/7 количества деталей, изготовленных первой и второй бригадами вместе. Сколько деталей изготовила каждая бригада?
Решение:
Пусть x деталей изготовила первая бригада, тогда (x + 12) деталей изготовила вторая бригада, (x + x + 12 = 2x + 12) деталей изготовили первые две бригады вместе, а 3/7 ( 2 x + 12 ) деталей изготовила третья бригада.
Составим уравнение:
$2x+12+\frac37(2x+12)=80$
$\frac{7(2x+12)+3(2x+12)}7=80$
7(2x + 12) + 3(2x + 12) = 80 * 7
14x + 84 + 6x + 36 = 560
20x = 560 − 84 − 36
20x = 440
x = 440 : 20
x = 22
Значит, 22 детали изготовила первая бригада;
x + 12 = 22 + 12 = 34 (д.) изготовила вторая бригада;
$\frac37(2x+12)=\frac37(2\ast22+12)=\frac37(44+12)=\frac37\ast56=3\ast8=24$ (д.) изготовила третья бригада.
Ответ: 22, 34 и 24 детали.
Задание №382
Упростите выражение:
1) x n + 1 ( x n + 6 − 1 ) − x n + 2 ( x n + 5 − x3 );
2) x n + 2 ( x2 − 3 ) − x n ( x n + 2 − 3 x2 − 1 ), где n − натуральное число.
Решение:
1) xn + 1 ( xn + 6 − 1 ) − xn + 2 ( xn + 5 − x3 ) = xn + 1 + n + 6 − xn + 1 − xn + 2 + n + 5 + xn + 2 + 3 = x2 n + 7 − xn + 1 − x2 n + 7 + xn + 5 = xn + 5 − xn + 1
2) xn + 2 ( x2 − 3 ) − xn ( xn + 2 − 3 x2 − 1 ) = xn + 2 + 2 − 3 xn + 2 − xn + n + 2 + 3 xn + 2 + xn = xn + 4 − 3 xn + 2 − x2 n + 2 + 3 xn + 2 + xn = xn + 4 − x2 n + 2 + xn
Задание №383
Упростите выражение:
1) x n ( x n + 4 + 2 x ) + x ( 3 x n − x2 n + 3 );
2) x ( 4 x n + 1 + 2 x n + 4 − 7 ) − x n + 2 ( 4 + 2 x3 − x n ), где n − натуральное число.
Решение:
1) x n ( x n + 4 + 2 x ) + x ( 3 x n − x2 n + 3 ) = x n + n + 4 + 2 x n + 1 + 3 x n + 1 − x2 n + 3 + 1 = x2 n + 4 + 2 x n + 1 + 3 x n + 1 − x2 n + 4 = 5 x n + 1
2) x ( 4 x n + 1 + 2 x n + 4 − 7 ) − x n + 2 ( 4 + 2 x3 − x n ) = 4 x n + 1 + 1 + 2 x n + 4 + 1 − 7 x − 4 x n + 2 − 2 x n + 2 + 3 + x n + 2 + n = 4 x n + 2 + 2 x n + 5 − 7 x − 4 x n + 2 − 2 x n + 5 + x2 n + 2 = x2 n + 2 − 7 x
Задание №384
Остаток при делении натурального числа a на 3 равен 1, а остаток при делении натурального числа b на 9 равен 7. Докажите, что значение выражения 4a + 2b делится нацело на 3.
Решение:
Пусть неполное частное при делении a на 3 равно x, а при делении b на 9 равно y, тогда:
a = 3x + 1;
b = 9y + 7, следовательно:
4a + 2b = 4(3x + 1) + 2(9y + 7) = 12x + 4 + 18y + 14 = 12x + 18y + 18 = 3(4x + 6y + 6), так как выражение 4x + 6y + 6 умножается на 3, следовательно значение выражения 4a + 2b делится нацело на 3.
