Задание 81. На нелинованной бумаге проведите прямую. Обозначьте ее буквой k. Отметьте одну точку, лежащую на этой прямой, и одну точку, не лежащую на этой прямой. С помощью угольника через каждую из этих точек проведите прямую, перпендикулярную прямой k.
Решение
Задание 82. На листе нелинованной бумаги проведите прямую k и отметьте точку C, лежащую на прямой k, и точку D, не лежащую на прямой k. С помощью перегибаний постройте прямую, перпендикулярную прямой k:
а) проходящую через точку C;
б) проходящую через точку D.
Смежные углы
Задание 83. Одна сторона углов 1 и 2 на рисунке 2.8 общая, а две другие стороны составляют прямую линию. Такие углы называют смежными. Смежные углы образуют развернутый угол, т.е. их суммы равна 180°.
а) Один из двух смежных углов равен 40°. Чему равен другой угол?
б) Могут ли смежные углы быть равными? Если да, то сделайте соответствующий рисунок.
в) Назовите все пары смежных углов, изображенных на рисунке 2.1.
г) По рисунку 2.6 назовите угол, смежный с углом AOC. Сколько таких углов? Назовите углы, смежные с углом COK; AOM; KOD.
Решение
а) 180° − 40° = 140° − другой угол.
Ответ: 140°
б) Смежные углы могут быть равными, если каждый из них прямой, так как:
180° : 2 = 90°.
в) Смежные углы:
1 и 2;
1 и 4;
2 и 3;
3 и 4.
г) Угол, смежный с ∠AOC, есть угол ∠BOC и угол ∠AOD. Таких углов всего 2.
Углы, смежные с углом ∠COK: ∠KOD, ∠COM.
Углы, смежные с углом ∠AOM: ∠AOK, ∠MOB.
Углы, смежные с углом ∠KOD: ∠DOM, ∠KOC.
Задание 84. а) Сколько пар смежных углов образуется при пересечении двух прямых?
б) Сумма трех углов, образовавшихся при пересечении двух прямых, равна 240°. Найдите величину каждого угла.
Ответы 7 гуру
а) При пересечении двух прямых образуется 4 пары смежных углов.
б) Дано:
∠1 + ∠4 + ∠3 = 240°
Найти:
∠1 = ?;
∠2 = ?;
∠3 = ?;
∠4 = ?.
Решение:
∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 = 360°;
(∠1 + ∠4 + ∠3) + ∠4 = 360°;
240° + ∠4 = 360°;
∠4 = 360° − 240°;
∠4 = 120°;
∠2 = ∠4 = 120° − углы вертикальные;
∠2 и ∠1 − смежные, значит:
∠2 + ∠1 = 180°;
120° + ∠1 = 180°;
∠1 = 180° − 120°;
∠1 = 60°;
∠1 = ∠3 = 60° − углы вертикальные.
Ответ:
∠1 = 60°;
∠2 = 120°;
∠3 = 60°;
∠4 = 120°.
Задание 85. ЗАДАЧА−ИССЛЕДОВАНИЕ
Рассмотрите рисунок: углы BOC и COA − смежные, луч OM − биссектриса угла COB, луч ON − биссектриса угла AOC.
1) Пусть ∠AOC = 40°. Чему равен угол между биссектрисами?
2) Решите эту же задачу при условии, что угол AOC равен 60°; 82°.
3) Какое можно выдвинуть предположение, решив эти задачи? Попробуйте обосновать свой вывод.
Решение
1) ∠NOM − угол между биссектрисами.
Если ∠AOC = 40°,то:
∠BOC = 180° − 40° = 140° − так как ∠AOC и ∠BOC смежные.
Биссектриса делит угол пополам, значит:
∠MOC = 140° : 2 = 70°, а ∠NOC = 40° : 2 = 20°.
∠NOM = ∠MOC + ∠NOC;
∠NOM = 70° + 20° = 90°.
Ответ: угол между биссектрисами равен 90°.
2) ∠NOM − угол между биссектрисами.
Если ∠AOC = 60°,то:
∠BOC = 180° − 60° = 120° − так как ∠AOC и ∠BOC смежные.
Биссектриса делит угол пополам, значит:
∠MOC = 120° : 2 = 60°, а ∠NOC = 60° : 2 = 30°.
∠NOM = ∠MOC + ∠NOC;
∠NOM = 60° + 30° = 90°.
Ответ: угол между биссектрисами равен 90°.
∠NOM − угол между биссектрисами.
Если ∠AOC = 82°,то:
∠BOC = 180° − 82° = 98° − так как ∠AOC и ∠BOC смежные.
Биссектриса делит угол пополам, значит:
∠MOC = 98° : 2 = 49°, а ∠NOC = 82° : 2 = 41°.
∠NOM = ∠MOC + ∠NOC;
∠NOM = 49° + 41° = 90°.
Ответ: угол между биссектрисами равен 90°.
3) Можно предположить, что угол между биссектрисами смежных углов равен 90°.
∠AOC + ∠BOC = 180° − так как ∠AOC и ∠BOC смежные.
∠MOC = ∠BOC : 2, а ∠NOC = ∠AOC : 2, так как OM и ON − биссектрисы.
∠MON = ∠MOC + ∠NOC = ∠BOC : 2 + ∠AOC : 2 = (∠BOC + ∠AOC) : 2 = 180° : 2 = 90°.
