Важно не только уметь решать квадратные уравнения, но и уметь составить их по условию задачи. Рассмотрим несколько таких задач.
Примеры задач и ответы к ним
1. Составь уравнение к задаче, заполнив шаги решения.
Одно число на 3 меньше другого. Найди большее число, если известно, что их произведение равно 108.
Запиши в каждое поле ответа верное выражение без пробелов.
Ответ:
Пусть большее число равно x, тогда меньшее равно х-3
Их произведение можно записать в виде х(х-3)
Так как произведение чисел равно 108, мы получим уравнение х(х-3)=108
2. Какое уравнение соответствует задаче?
Найди длину прямоугольника, если известно, что она на 4 см больше ширины, а площадь прямоугольника равна 60 см2.
Выбери верный вариант ответа.
Ответ:
х(х-4)=60
3. Какое уравнение соответствует задаче?
Сумма квадратов двух последовательных натуральных чисел равна 25. Найди эти числа.
Выбери верный вариант ответа.
Ответ:
х2 + (х + 1)2 = 25
4. Найди два последовательных натуральных числа, произведение которых равно 210.
Запиши в поле ответа меньшее из чисел.
Ответ:
х(х+1)=210
х2+х-210=0
х1=-15
х2=14, значит, второе число 15
14
5. Вычисли длину коврика для мыши, если известно, что она на 7 см больше ширины, а площадь коврика равна 588 см2.
Ответ:
х(х-7)=588
х2-7х-588=0
х1=-21
х2=28
28
6. Руслан и Вера всё лето читали книги. Оказалось, что Руслан прочитал на 3 книги больше, чем Вера. При этом произведение прочитанных детьми книг равно 208. Сколько книг прочитал каждый из ребят?
Ответ:
х1-х2=3
х1*х2=208
х1=16
х2=13
Руслан 16 книг, Вера 13 книг
7. Используя формулу h=v0t+5t2, реши задачу.
Илья бросил сестре с балкона ключи со скоростью 3 м/с. Через какое время они упадут на землю, если балкон находится на высоте 26 м?
Запиши в поле ответа верное число.
Ответ:
26=3t+5t2
5t2 + 3t - 26 = 0
t1 = -2,6
t2 = 2
Через 2 с.
8. Найди два последовательных нечётных натуральных числа, произведение которых равно 255.
Запиши эти числа в порядке убывания, без пробелов и запятых.
Ответ:
х(х+2)=255
х2+2х-255=0
х1=-17
х2=15 - первое число, значит второе 17
1715
9. Один из братьев совершил на 4 прыжка с парашютом меньше, чем другой. Сумма квадратов количества прыжков каждого из братьев равна 106. Сколько прыжков совершили ребята вместе?
Ответ:
х2+(х-4)2-106=0
14
10. Одиннадцатиклассники подготовили к выпускному огромный плакат с фотографиями учителей. Каковы его размеры, если известно, что одна из сторон на 1,8 м больше другой, а площадь плаката равна 8,8 м2?
Запиши в каждое поле ответа верное число. Дробные значения вырази десятичной дробью.
Ответ:
Большая сторона равна 4 м.
Меньшая сторона равна 2,2 м.
11. Какова ширина прямоугольника, если его периметр равен 58 дм, а площадь равна 204 дм2?
Запиши в поле ответа верное число.
Ответ:
2(х1+х2)=58
х1*х2=204
по теореме, обратной теореме Виета
х1=12
х2=17
12
12. Максим с папой делают для щенков прямоугольный вольер из металлической сетки. Мама решила поставить его в углу комнаты так, чтобы он занял 2,7 м2. Сколько метров сетки придётся потратить, если одна из сторон вольера должна быть на 30 см меньше другой?
Запиши в поле ответа десятичную дробь.
Ответ:
30 см = 0,3 м
х(х-0,3)-2,7=0
х2-0,3х-2,7=0
х1=1,8
х2=-1,5
длина 1,8, ширина 1,5 м, периметр 6,6 м
6,6
13. Развлекательная площадка для малышей в торговом центре имеет прямоугольную форму. Она обнесена изгородью длиной 84 м. Каковы длина и ширина площадки, если её площадь равна 416 м2?
Ответ:
2(х1+х2)=84
х1*х2=416
по теореме, обратной теореме Виета
х1=26
х2=16
Длина площадки равна 26 м, ширина равна 16 м.
14. Чему равен больший катет прямоугольного треугольника, если разность катетов равна 49 м, а площадь треугольника составляет 330 м2?
Запиши в поле ответа только число, без единиц измерения.
Ответ:
х1-х2=49
х1*х2=330*2
х1=11
х2=60
60
15. Чему равен меньший катет прямоугольного треугольника, если сумма катетов равна 31 м, а площадь треугольника составляет 84 м2?
Запиши в поле ответа только число, без единиц измерения.
Ответ:
х1+х2=31
х1*х2=84*2
х1=7
х2=24
7
16. Один из катетов прямоугольного треугольника меньше гипотенузы на 1 см, а другой — на 8 см. Найди все стороны треугольника, если его периметр равен 30 см.
Запиши в поле ответа только числа в порядке убывания, без пробелов и запятых.
Ответ:
х-1+х-8+х=30
3х=39
х=13 - гипотенуза, значит 12 и 5 см - катеты
13125
17. Чему равны катеты прямоугольного треугольника, если известно, что их сумма равна 1,4 мм, а гипотенуза данного треугольника равна 1 мм?
Запиши в каждое поле ответа десятичную дробь.
Ответ:
х1+х2=1,4
х12*х22=1
х1=0,8
х2=0,6
Больший катет равен 0,8 мм, меньший равен 0,6 мм.
18. Найди два последовательных натуральных числа, если известно, что сумма их квадратов на 57 больше произведения этих чисел.
Запиши в поле ответа числа в порядке возрастания без пробелов и запятых.
Ответ:
х2+(х+1)2-57=х(х+1)
первое число 7, значит второе 8.
78
19. Найди площадь прямоугольного треугольника, если отношение его катетов 4:3, а гипотенуза равна 25 см.
Запиши в поле ответа верное число.
Ответ:
252=(4х)2+(3х)2
х1=-5
х2=5
4х=20
3х=15
площадь 20*15:2=150
Площадь равна 150 см2.
20. В партере концертного зала число рядов на 11 меньше, чем количество мест в каждом из них. Сколько рядов в партере, если известно, что в нём 276 мест?
Ответ:
х(х-11)=276
х2-11х-276=0
х=23
23-11=12
12
21. На новогоднем празднике каждый ученик восьмого класса подарил маленькие подарки всем своим одноклассникам. Сколько человек учится в этом классе, если всего на празднике было вручено 420 подарков?
Ответ:
х(х-1)=420
21
22. На конкурсе по выпечке самого большого бублика одна из команд представила бублик площадью 24 м2. Каков радиус дырки от бублика, если известно, что он в 3 раза меньше радиуса всего бублика? (Считай, что π≈3.)
Ответ:
S=πr2
3r2-3(r/3)2=24
Радиус дырки от бублика 1 м.
23. Вычисли высоту аквариума объёмом 121000 см3, если она на 28 см больше ширины, а длина аквариума равна 70 см.
Ответ:
х(х-28)*70=121000
х=57,86994
Высота аквариума равна 58 см.
24. Чему равна высота параллелограмма площадью 192 см2, если она на 4 см меньше стороны параллелограмма, к которой проведена?
Ответ:
S=ah
х(х+4)=192
х=12
12
25. Дед строил песочницу для внучки. Чтобы сделать для песочницы дно, он отрезал квадрат от прямоугольного листа фанеры площадью 1,8 м2. Какая получилась сторона у этого квадрата, если длина оставшегося от листа прямоугольника равна 110 см? Вырази ответ в см.
Ответ:
если отрезали х, то первоначально длина была (х+1,1) м
х(х+1,1)=1,8
х=0,9 м
90 см
26. На соревнованиях по бадминтону было проведено 120 поединков. Сколько спортсменов участвовало в соревнованиях, если известно, что каждый сыграл с каждым по одному разу?
Ответ:
х(х-1):2=120
16
27. Найди три последовательных целых числа, если известно, что сумма их квадратов на 38 больше их суммы.
Запиши в поле ответа числа в порядке убывания, без пробелов и знаков препинания.
Ответ:
х2+(х+1)2+(х+2)2-38=х+х+1+х+2
х=3, значит числа 3, 4 и 5.
543
28. Егор копит деньги на автомобиль. Он положил 120 000 рублей в банк под проценты и с тех пор счёт не пополнял. Какой процент ежегодно начислялся банком, если спустя два года на счету стало 134 832 рублей?
Ответ:
14 832 - проценты за 2 года. Проценты за 1-й год остались на счете и на него так же начисляются % во второй год.
6
29. Участники игры в пейнтбол закончили соревнование и пожали друг другу руки. Сколько человек участвовало в игре, если каждый участник пожал руки всем остальным, а всего рукопожатий получилось 91 ?
Ответ:
х(х-1) : 2 = 91
х2 - х - 182 = 0
х1 = -13
х2 = 14
14
30. Сколько углов должно быть в многоугольнике, чтобы в нём можно было провести только 44 диагонали?
Выбери верный вариант ответа.
Ответ:
11
