Наименьшее общее кратное двух и более чисел (НОК) - это самое маленькое целое число, которое делится нацело на любое из этих чисел.
К примеру, узнаем наименьшее общее кратное чисел 6 и 9.
Числа, кратные 6-ти: 6, 12, 18, 24 ...
Числа, кратные 9-ти: 9, 18, 27...
Самое меньшее число, которое в этих разложениях совпадает - это 18.
НОК(6;9) = 18
Как найти наименьшее общее кратное (НОК:
Чтобы найти НОК, сначала нужно разложить данные вам числа на простые множители, как и при нахождении НОД.
Пример 1. Найдем НОК(6;9).
6 = 2 · 3
9 = 3 · 3
Затем выписываем простые множители из первого разложения 2 · 3 и добавляем к ним недостающие из второго разложения.
Во втором разложении две тройки. Одна тройка у нас уже записана. Осталась еще одна, выписываем ее: 3.
Записываем наименьший общий делитель, перемножив выписанные числа.
НОК(6;9) = 2 · 3 · 3 = 18
Как себя проверить?
НОК(6;9) получился равным 18. 18 делится и на 6, и на 9 без остатка.
А если бы мы выписали множители 2 · 3 · 3 · 3 и получили бы НОК = 54?
54 тоже делится на 6 и 9 без остатка, но он больше, чем 18, а значит правильный ответ - 18.
Пример 2. Найдите НОК(а;b), если а = 3 · 5 · 11, b = 3 · 5 · 2
Наши числа уже разложены на простые множители, осталось лишь выписать те, которые участвуют в нахождении НОК.
а = 3 · 5 · 11
b = 3 · 5 · 2
НОК(а;b) = 3 · 5 · 11· 2 = 330
Пример 3. Найдите НОК(3;13).
3 и 13 - простые числа, они сами и есть простые множители.
НОК(3;13) = 3 · 13 = 39
Пример 4. Найдите НОК(44;25).
44 = 2·2·11
25 = 5·5
НОК(44, 25) = 2·2·11 · 5·5 = 44 · 25 = 1100
Из примера 3 и 4 следует, что НОК простых и взаимно простых чисел можно найти, перемножив эти числа.
Пример 5. Найдите НОК(108;144).
144 = 2·2·2·2·3·3
108 = 2·2·3·3·3
НОК(108;144) = 2·2·2·2·3·3·3 = 432
Нахождение НОК трех, четырех и более чисел
Алгоритм точно такой же, как и при нахождении НОК двух чисел.
1 - раскладываем числа на простые множители.
2 - переписываем все множители самого длинного разложения.
3 - дописываем недостающие множители из разложений других чисел.
Найдите НОК(240; 144; 480)
480 = 2·2·2·2·2·3·5
240 = 2·2·2·2·3·5
144 = 2·2·2·2·3·3
Выпишем все множители числа 480: 2·2·2·2·2·3·5 (пять двоек, одна 3 и одна 5)
Смотрим на множители числа 240 и видим, что каждый из них (а это четыре двойки, одна 3 и одна 5) повторяется, можно их зачеркнуть 2·2·2·2·3·5.
Смотрим на число 144, повторяются четыре двойки и одна 3 ( 2·2·2·2·3 ) , но у нас в этом разложении две тройки, а выписана пока только одна, поэтому вторую 3 тоже выписываем.
НОК(240; 144; 480) = 2·2·2·2·2·3·5·3 = 1440
Найдите наименьшее общее кратное пяти чисел 84, 6, 48, 7, 143.
Сначала разложим данные числа на простые множители:
84 = 2 · 2 · 3 · 7
6 = 2 · 3
48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3
7 (7 – простое число, оно совпадает со своим разложением на простые множители)
143 = 11 · 13
К множителям числа 84 (2, 2, 3 и 7) нужно добавить недостающие множители из разложения числа 6. Разложение числа 6 не содержит недостающих множителей, так как 2 и 3 уже присутствуют в разложении первого числа.
Дальше к множителям 2, 2, 3, 7 добавляем недостающие множители 2, 2 из разложения числа 48, получаем набор множителей 2, 2, 3, 7, 2, 2 .
К этому набору на следующем шаге не придется добавлять множителей, так как 7 уже содержится в нем.
Наконец, к множителям 2, 2, 2, 2, 3 и 7 добавляем недостающие множители 11 и 13 из разложения числа 143.
Получаем произведение 2 · 2 · 3 · 7 · 2 · 2 · 11 · 13 , которое равно 48048.
НОК(84, 6, 48, 7, 143) = 2·2·2·2·3·7·11·13 = 48 048.
Задачи на нахождение НОК
Мальчик хочет купить несколько пачек мороженного по 8 рублей, но у него только 5 рублевые монеты, а у продавца нет сдачи. Какое наименьшее число пачек мороженного он сможет купить?
1 способ. Нахождение НОК подбором:
Эта сумма должна делиться и на 8 рублей, и на 5 рублей без остатка.
1) Выпишем числа кратные 8: 8, 16, 24, 32, 40
2) Выпишем числа кратные 5: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40
Выбираем наименьшее общее кратное.
Нашли, эта сумма = 40 рублей.
Теперь надо узнать сколько пачек можно купить на эту сумму:
40:8=5
Ответ: мальчик может купить 5 пачек мороженного.
2 способ (общепринятый). Нахождение НОК в общем случае:
Эта сумма должна делиться и на 8 рублей, и на 5 рублей без остатка.
1) Выполним разложение 8 и 5 на простые множители.
8 | 2 5 | 5
4 | 2 1 |
2 | 2
1
НОК(8,5) = 8 * 5 = 40
2) Поскольку у нас нет одинаковых множителей, то для нахождения наименьшего общего кратного мы перемножаем эти числа между собой. Нашли НОК, т.е. эта сумма = 40 рублей. Теперь узнаем количество пачек мороженного
40 : 8 = 5 (п.)
Не забываем размерность и пишем ответ
Ответ: мальчик может купить 5 пачек мороженного.
Вдоль дороги от города (пункт А) до деревни (пункт В) были поставлены столбы через каждые 50 м. Их заменили другими, поставив на расстоянии 60 м друг от друга. Найдите расстояние от пункта А до ближайшего столба, который стоит на месте старого.
60 = 2·2·3·5
50 = 2·5·5
НОК(50;60) = 2·2·3·5·5 = 300 (м)
Ответ: 300 м от пункта А до ближайшего столба, который стоит на месте старого.
В одном городе начинаются три туристических теплоходных рейса. Первый длится 12 суток, второй - 18 суток, а третий - 21 сутки. Сегодня из города вышли теплоходы по всем трем маршрутам. Через сколько суток они снова вместе уйдут в плавание?
12 = 2·2·3
18 = 2·3·3
21 = 3·7
НОК(12;18;21) = 2·2·3·3·7 = 252 (сут.)
Ответ: через 252 суток они снова вместе уйдут в плавание.
В портовом городе начинаются три туристских теплоходных рейса, первый из которых длится 15 суток, второй – 20 и третий – 12 суток. Вернувшись в порт, теплоходы в этот же день снова отправляются в рейс. Сегодня из порта вышли теплоходы по всем трём маршрутам. Через сколько суток они впервые снова вместе уйдут в плавание? Какое количество рейсов сделает каждый теплоход?
Решение:
1) НОК (15,20 и 12) = 60 (суток) – время встречи.
2) 60 : 15 = 4 (рейса) – 1 теплоход.
3) 60 : 20 = 3 (рейса) – 2 теплоход.
4) 60 : 12 = 5 (рейсов) – 3 теплоход.
Ответ: 60 суток, 4 рейса, 3 рейса, 5 рейсов.
Маша для Медведя купила в магазине яйца. По дороге в лес она сообразила, что число яиц делится на 2,3,5,10 и 15. Сколько яиц купила Маша?
Решение:
НОК (2;3;5;10;15) = 30 (яиц)
Ответ: Маша купила 30 яиц.
Требуется изготовить ящик с квадратным дном для укладки коробок размером 16 ͯ 20 см. Какова должна быть наименьшая длина стороны квадратного дна, чтобы уместить коробки в ящик вплотную?
Решение:
1) НОК (16 и 20) = 80 (коробок).
2) S = a ∙ b – площадь 1 коробки.
S = 16 ∙ 20 = 320 ( см ² ) – площадь дна 1 коробки.
3) 320 ∙ 80 = 25600 ( см ² ) – площадь квадратного дна.
4) S = а² = а ∙ а
25600 = 160 ∙ 160 – размеры ящика.
Ответ: 160 см - сторона квадратного дна.
Вдоль дороги от пункта К стоят столбы электролинии через каждые 45 м. Эти столбы решили заменить другими, поставив их на расстоянии 60 м друг от друга. Сколько столбов было и сколько будут стоять?
Решение:
1) НОК (45 и 60) = 180.
2) 180 : 45 = 4 – было столбов.
3) 180: 60 = 3 – стало столбов.
Ответ: 4 столба, 3 столба.
Сколько солдат маршируют на плацу, если они будут маршировать строем по 12 человек в шеренге и перестраиваться в колонну по 18 человек в шеренге?
Решение:
1) НОК (12 и 18) = 36 (человек) – маршируют.
Ответ: 36 человек.
Бегун Коля знает, что через каждые 400 м от старта стоит наблюдатель, а через каждые 700 м от старта можно попить воды. На каком минимальном расстоянии от старта можно попить воды и задать вопрос наблюдателю?
НОК(400;700) = 2800 (м)
Ответ: 2800 м.
Длина шага Бори 50 см, а его отца – 70 см. Боря утверждает, что первый раз, сделав целое количество шагов, они с папой окажутся на одинаковом расстоянии от начала пути через 3 метра, а папа не соглашается. Кто прав в этом споре?
НОК(50;70)= 350 см, а не 3 метра
Ответ: прав папа.
Заведующая хозяйством Раиса Максимовна дала поручение учителю труда Ильдару Олеговичу закупить доски, которые можно распилить на равные части и по 30 см, и по 40 см. Какой длины и сколько потребуется досок, если нужно 16 кусочков по 30 см и 12 кусочков по 40 см.
1) НОК(30; 40) = 120 (см)
2) 16:(120:30) = 4 (д.)
3) 12:(120:40) = 4 (д.)
Ответ: всего 8 досок по 120 см.
Родители Артема – люди очень интересных профессий. Мама – стюардесса, а папа – машинист скорого поезда. Мама бывает дома один раз в четыре дня, а папа – один раз в семь дней. Так получилось, что оба они 1 января 2015 года уходят в рейс. Когда Артем увидит своих родителей дома вместе?
НОК(4;7) = 28
Ответ: семья будет дома вместе 28 января.
Калькулятор определения НОД и НОК
Для тех, кто уже отчаялся понять тему, НОД и НОК - калькулятор:
Если что-либо осталось для вас непонятным, задавайте вопросы в комментариях.
