Задание № 185. В портовом городе начинаются три туристских теплоходных рейса, первый из которых длится 15 суток, второй − 20 суток и третий − 12 суток. Вернувшись в порт, теплоходы в этот же день снова отправляются в рейс. Сегодня из порта вышли теплоходы по всем трём маршрутам. Через сколько суток они впервые снова вместе уйдут в плавание?

Решение

НОК(15; 20; 12) = НОК(3 * 5; 2 * 2 * 5; 2 * 2 * 3) = 3 * 5 * 2 * 2 = 60 (суток)
Ответ: 60 суток

Задание № 186. Вычислите устно:
а) 075 - 0,7
* 20
- 0,2
: 0,4
?;
б) 1 - 0,25
* 2
: 0,3
- 0,05
?;
в) 0,9 - 0,09
: 9
+ 0,6
* 10
?;
г) 23,9 - 3,9
* 0,15
- 0,8
: 0,1
?.

Ответы 7 гуру

а) 0,5, 1, 0,8, 2.
б) 0,75, 1,5, 5, 4,95.
в) 0,81, 0,09, 0,69, 6,9.
г) 20, 3, 2,2, 22.

Задание № 187. Каждую из дробей а/5 и b/6, где а и b − натуральные числа, можно представить в виде десятичной. Могут ли а и 5, b и 6 быть взаимно простыми? Могут ли два одинаковых числа быть взаимно простыми?

Решение

Числа а и 5 могут быть взаимно простыми, например, 13/5=2,6. Числа b и 6 не могут быть взаимно простыми, так как при умножении 6 на любое натуральное число нельзя получит 10, 100, 1000 и т. д., а следовательно такую дробь нельзя будет представить в виде десятичной или 6 и b не будут взаимно простыми числами.

Задание № 188. Найдите наибольший общий делитель для числителя и знаменателя дроби:
а) 3/6;
б) 14/21;
в) 22/66;
г) 39/65.

Решение

а) НОД(3; 6) = НОД(3; 2 * 3) = 3
б) НОД(14; 21) = НОД(2 * 7; 3 * 7) = 7
в) НОД(22; 66) = НОД(2 * 11; 2 * 3 * 11) = 22
г) НОД(39; 65) = НОД(3 * 13; 5 * 13) = 13

Задание № 189. Какие из следующих утверждений верны:
а) два чётных числа не могут быть взаимно простыми;
б) чётное и нечётное числа всегда взаимно простые;
в) два различных простых числа всегда взаимно простые;
г) простое и составное числа могут быть взаимно простыми;
д) любое натуральное число и натуральное число, не являющееся ни простым, ни составным, обязательно взаимно простые;
е) последовательные натуральные числа всегда взаимно простые?

Ответы

а) да верно, так как все чётные числа имеют делитель 2.
б) нет неверно, например: числа 10 и 25.
в) да верно, так как у них только один общий делитель − 1.
г) да верно, например: числа 5 и 6.
д) да верно, так как у них только один общий делитель − 1.
е) да верно, так как они отличаются на 1.

Задание № 190. Найдите наибольший общий делитель чисел:
а) 12 и 24;
б) 6 и 9;
в) 75 и 45;
г) 81 и 243;
д) 4725 и 7875.

Решение

а) НОД(12; 24) = НОД(2 * 2 * 3; 2 * 2 * 2 * 3) = 2 * 2 * 3 = 12
б) НОД(6; 9) = НОД(2 * 3; 3 * 3) = 3
в) НОД(75;45) = НОД(3 * 5 * 5; 3 * 3 * 5) = 3 * 5 = 15
г) Н0Д(81; 243) = НОД(3 * 3 * 3 * 3; 3 * 3 * 3 * 3 * 3) = 3 * 3 * 3 * 3 = 81
д) НОД(4725; 7875) = НОД(3 * 3 * 3 * 5 * 5 * 7; 3 * 3 * 5 * 5 * 5 * 7) = 3 * 3 * 5 * 5 * 7 = 1575

Задание № 191. Лист картона имеет форму прямоугольника, длина которого 48 см, а ширина 40 см. Этот лист надо разрезать без отходов на равные квадраты. Какие наибольшие квадраты можно получить из этого листа?

Решение

НОД(48; 40) = НОД(2 * 2 * 2 * 2 * 3; 2 * 2 * 2 * 5) = 2 * 2 * 2 = 8 см.

Задание № 192. Число m кратно 12. Докажите, что число m делится на 4.

Решение

Если m кратно 12, то m = 12 * а, где а − некоторое целое число.
Это произведение будет делиться на 4, потому что на 4 делится 12.

Задание № 193. Назовите все двузначные числа, записанные одинаковыми цифрами. Найдите наибольший общий делитель всех этих чисел.

Решение

11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99.
НОД(11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99) = 11.

Задание № 194. Сколько трёхзначных чисел можно составить из чётных цифр?

Решение

На место сотен место можно поставить одну из 4−х цифр (2,4,6,8).
На место десятков и единиц 3−е место можно поставить одну из 5−й цифр (0, 2, 4, 6, 8).
В итоге можно получить: 4 * 5 * 5 = 100.