Задание 559

Найдите, если это возможно, числовые значения x, для которых значение алгебраической дроби − натуральное число:
а) $\frac{12}{x + 5}$;
б) $\frac{x + 2}{x}$;
в) $\frac{x + 2}{x - 5}$;
г) $\frac{x^2 - x}{x + 1}$.

Решение

а) $\frac{12}{x + 5}$ является натуральным число при знаменателе равным 1, 2, 3, 4, 6, 12, тогда:
x + 5 = 1
x = 1 − 5
x = −4

x + 5 = 2
x = 2 − 5
x = −3

x + 5 = 3
x = 3 − 5
x = −2

x + 5 = 4
x = 4 − 5
x = −1

x + 5 = 6
x = 6 − 5
x = 1

x + 5 = 12
x = 12 − 5
x = 7
Ответ: при x = −4, −3, −2, −1, 1, 7 дробь $\frac{12}{x + 5}$ является натуральным числом.

б) $\frac{x + 2}{x} = \frac{x}{x} + \frac{2}{x} = 1 + \frac{2}{x}$
Ответ: при x = 1, 2 дробь $\frac{x + 2}{x}$ является натуральным числом.

в) $\frac{x + 2}{x - 5}$
Ответ: при x = 6 дробь $\frac{x + 2}{x - 5}$ является натуральным числом.

г) $\frac{x^2 - x}{x + 1}$
Ответ: ни при каких x дробь $\frac{x^2 - x}{x + 1}$ не является натуральным числом.

Задание 560

Докажите, что для любого числа x верно неравенство:
а) $\frac{2}{x^2 + 6x + 11} ≤ 1$;
б) $\frac{4}{x^2 - 10x + 29} ≤ 1$;
в) $\frac{6}{x^2 + 8x + 22} ≤ 1$.
Определите, при каком значении x левая часть неравенства равна правой.

Решение

а) $\frac{2}{x^2 + 6x + 11} ≤ 1$ при $x^2 + 6x + 11 ≥ 2$
$x^2 + 6x + 11 ≥ 2$
$x^2 + 6x + 11 - 2 ≥ 0$
$x^2 + 6x + 9 ≥ 0$
$(x + 3)^2 ≥ 0$ при любом значении x.
Утверждение доказано.
$(x + 3)^2 = 0$
x + 3 = 0
x = −3
Левая часть равна правой при x = −3

б) $\frac{4}{x^2 - 10x + 29} ≤ 1$ при $x^2 - 10x + 29 ≥ 4$
$x^2 - 10x + 29 ≥ 4$
$x^2 - 10x + 29 - 4 ≥ 0$
$x^2 - 10x + 25 ≥ 0$
$(x - 5)^2 ≥ 0$ при любом значении x.
Утверждение доказано.
$(x - 5)^2 = 0$
x − 5 = 0
x = 5
Левая часть равна правой при x = 5

в) $\frac{6}{x^2 + 8x + 22} ≤ 1$ при $x^2 + 8x + 22 ≥ 6$
$x^2 + 8x + 22 - 6 ≥ 0$
$x^2 + 8x + 16 ≥ 0$
$(x + 4)^2 ≥ 0$ при любом значении x.
Утверждение доказано.
$(x + 4)^2 = 0$
x + 4 = 0
x = −4
Левая часть равна правой при x = −4

Задание 561

Докажите, что для любых чисел x и y верно неравенство:
а) $\frac{3}{x^2 + y^2 - 6x + 2y + 13} ≤ 1$;
б) $\frac{5}{x^2 + y^2 + 8x - 6y + 30} ≤ 1$.
Определите, пи каких значениях x и y левая часть неравенства равна правой.

Решение

а) $\frac{3}{x^2 + y^2 - 6x + 2y + 13} ≤ 1$ при $x^2 + y^2 - 6x + 2y + 13 ≥ 3$
$x^2 + y^2 - 6x + 2y + 13 ≥ 3$
$x^2 + y^2 - 6x + 2y + 13 - 3 ≥ 0$
$x^2 + y^2 - 6x + 2y + 10 ≥ 0$
$x^2 - 6x + 9 + y^2 + 2y + 1 ≥ 0$
$(x - 3)^2 + (y + 1)^2 ≥ 0$ − при любых значениях x и y.
Утверждение доказано.
$(x - 3)^2 = 0$
x − 3 = 0
x = 3
$(y + 1)^2 = 0$
y + 1 = 0
y = −1
Левая часть равна правой при x = 3 и y = −1.

б) $\frac{5}{x^2 + y^2 + 8x - 6y + 30} ≤ 1$ при $x^2 + y^2 + 8x - 6y + 30 ≥ 5$
$x^2 + y^2 + 8x - 6y + 30 ≥ 5$
$x^2 + y^2 + 8x - 6y + 30 - 5 ≥ 0$
$x^2 + y^2 + 8x - 6y + 25 ≥ 0$
$x^2 + 8x + 16 + y^2 - 6y + 9 ≥ 0$
$(x + 4)^2 + (y - 3)^2 ≥ 0$ − при любых значениях x и y.
Утверждение доказано.
$(x + 4)^2 = 0$
x + 4 = 0
x = −4
$(y - 3)^2 = 0$
y − 3 = 0
y = 3
Левая часть равна правой при x = −4 и y = 3.