Задание 546

Найдите значения выражения при x = 0, x = −2, $x = 2^3$:
а) $\frac{x}{2}$;
б) $\frac{10}{x}$;
в) $\frac{2 - 3x}{7x}$;
г) $\frac{x - 2}{2 - 3x}$.

Решение

а) $\frac{x}{2}$
при x = 0:
$\frac{x}{2} = \frac{0}{2} = 0$
при x = −2:
$\frac{x}{2} = \frac{-2}{2} = -$
при $x = 2^3$:
$\frac{x}{2} = \frac{2^3}{2} = 2^2 = 4$

б) $\frac{10}{x}$
при x = 0:
$\frac{10}{x} = \frac{10}{0}$ − не имеет смысла
при x = −2:
$\frac{10}{x} = \frac{10}{-2} = -5$
при $x = 2^3$:
$\frac{10}{x} = \frac{10}{2^3} = \frac{5}{2^2} = \frac{5}{4} = 1,25$

в) $\frac{2 - 3x}{7x}$
при x = 0:
$\frac{2 - 3x}{7x} = \frac{2 - 3 * 0}{7 * 0} = \frac{2}{0}$ − не имеет смысла
при x = −2:
$\frac{2 - 3x}{7x} = \frac{2 - 3 * (-2)}{7 * (-2)} = \frac{2 + 6}{-14} = -\frac{8}{14} = -\frac{4}{7}$
при $x = 2^3$:
$\frac{2 - 3x}{7x} = \frac{2 - 3 * 2^3}{7 * 2^3} = \frac{2(1 - 3 * 2^2)}{7 * 2^3} = \frac{1 - 3 * 4}{7 * 2^2} = \frac{-11}{7 * 4} = -\frac{11}{28}$

г) $\frac{x - 2}{2 - 3x}$
при x = 0:
$\frac{x - 2}{2 - 3x} = \frac{0 - 2}{2 - 3 * 0} = \frac{-2}{2} = -1$
при x = −2:
$\frac{x - 2}{2 - 3x} = \frac{-2 - 2}{2 - 3 * (-2)} = \frac{-4}{2 + 6} = -\frac{4}{8} = -\frac{1}{2}$
при $x = 2^3$:
$\frac{x - 2}{2 - 3x} = \frac{2^3 - 2}{2 - 3 * 2^3} = \frac{8 - 2}{2 - 3 * 8} = \frac{6}{2 - 24} = \frac{6}{-22} = -\frac{3}{11}$

Задание 547

Заполните таблицу:

Решение

$\frac{a}{b + a}$
при a = 4, b = 2:
$\frac{a}{b + a} = \frac{4}{2 + 4} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$
при a = −10, b = 20:
$\frac{a}{b + a} = \frac{-10}{20 - 10} = \frac{-10}{10} = -1$
при a = 6, b = −5:
$\frac{a}{b + a} = \frac{6}{-5 + 6} = \frac{6}{1} = 6$
при a = 0, b = 7:
$\frac{a}{b + a} = \frac{0}{7 + 0} = \frac{0}{7} = 0$
при a = −1, b = 0:
$\frac{a}{b + a} = \frac{-1}{0 - 1} = \frac{-1}{-1} = 1$
при $a = -\frac{1}{2}$, b = −2:
$\frac{a}{b + a} = \frac{-\frac{1}{2}}{-2 - \frac{1}{2}} = \frac{-\frac{1}{2}}{-2\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} * \frac{2}{5} = \frac{1}{5}$
при a = −0,7, b = 1,4:
$\frac{a}{b + a} = \frac{-0,7}{1,4 - 0,7} = \frac{-0,7}{0,7} = -1$

Задание 548

Найдите значение выражения:
а) $\frac{4 - x^2}{2 + x}$ при x = 1,04;
б) $\frac{a^2b - ab^2}{a - b}$ при a = 2,5, $b = \frac{1}{25}$;
в) $\frac{9m^2 + 6mn + n^2}{3m + n}$ при $m = \frac{1}{3}$, n = −5;
г) $\frac{a^3 - p^3}{p - a}$ при $a = -\frac{1}{3}, p = -3$.

Решение

а) $\frac{4 - x^2}{2 + x} = \frac{(2 - x)(2 + x)}{2 + x} = 2 - x$
при x = 1,04:
2 − 1,04 = 0,96

б) $\frac{a^2b - ab^2}{a - b} = \frac{ab(a - b)}{a - b} = ab$
при a = 2,5, $b = \frac{1}{25}$:
$2,5 * \frac{1}{25} = \frac{25}{10} * \frac{1}{25} = \frac{1}{10} = 0,1$

в) $\frac{9m^2 + 6mn + n^2}{3m + n} = \frac{(3m + n)^2}{3m + n} = 3m + n$
при $m = \frac{1}{3}$, n = −5:
$3 * \frac{1}{3} - 5 = 1 - 5 = -4$

г) $\frac{a^3 - p^3}{p - a} = \frac{(a - p)(a^2 + ap + p^2)}{-(a - p)} = -(a^2 + ap + p^2) = -a^2 - ap - p^2$
при $a = -\frac{1}{3}, p = -3$:
$-(-\frac{1}{3})^2 - (-\frac{1}{3}) * (-3) - (-3)^2 = -\frac{1}{9} - 1 - 9 = -10 - \frac{1}{9} = -10\frac{1}{9}$

Задание 549

Упростив рациональное выражение, найдите его значение:
а) $(\frac{a^2}{a + 1} - \frac{a^3}{a^2 + 2a + 1}) : (\frac{a}{a + 1} - \frac{a^2}{a^2 - 1})$ при a = −3;
б) $(\frac{n - 1}{n + 1} - \frac{n + 1}{n - 1}) * (\frac{1}{2} - \frac{n}{4} - \frac{1}{4n})$ при n = 3.

Решение

а) $(\frac{a^2}{a + 1} - \frac{a^3}{a^2 + 2a + 1}) : (\frac{a}{a + 1} - \frac{a^2}{a^2 - 1}) = (\frac{a^2}{a + 1} - \frac{a^3}{(a + 1)^2}) : (\frac{a}{a + 1} - \frac{a^2}{(a - 1)(a + 1)}) = \frac{a^2(a + 1) - a^3}{(a + 1)^2} : \frac{a(a - 1) - a^2}{(a - 1)(a + 1)} = \frac{a^3 + a^2 - a^3}{(a + 1)^2} : \frac{a^2 - a - a^2}{(a - 1)(a + 1)} = \frac{a^2}{(a + 1)^2} * \frac{(a - 1)(a + 1)}{-a} = \frac{-a(a - 1)}{a + 1} = \frac{a - a^2}{a + 1}$
при a = −3:
$\frac{-3 - (-3)^2}{-3 + 1} = \frac{-3 - 9}{-2} = \frac{-12}{-2} = 6$

б) $(\frac{n - 1}{n + 1} - \frac{n + 1}{n - 1}) * (\frac{1}{2} - \frac{n}{4} - \frac{1}{4n}) = \frac{(n - 1)(n - 1) - (n + 1)(n + 1)}{(n + 1)(n - 1)} * \frac{2n - n^2 - 1}{4n} = \frac{n^2 - 2n + 1 - (n^2 + 2n + 1)}{(n - 1)(n + 1)} * \frac{n^2 - 2n + 1}{-4n} = \frac{n^2 - 2n + 1 - n^2 - 2n - 1}{(n - 1)(n + 1)} * \frac{(n - 1)^2}{-4n} = \frac{-4n(n - 1)}{-4n(n + 1)} = \frac{n - 1}{n + 1}$
при n = 3:
$\frac{3 - 1}{3 + 1} = \frac{2}{4} = 0,5$

Задание 550

Найдите значение рационального выражения:
$(\frac{n}{a} + \frac{a^2}{n^2}) : (\frac{1}{a^2n} + \frac{1}{n^3} - \frac{1}{an^2}) - a^2n$ при a = 0,02, n = −10.

Решение

$(\frac{n}{a} + \frac{a^2}{n^2}) : (\frac{1}{a^2n} + \frac{1}{n^3} - \frac{1}{an^2}) - a^2n = \frac{n^3 + a^3}{an^2} : \frac{n^2 + a^2 - an}{a^2n^3} - a^2n = \frac{(a + b)(a^2 - an + n^2)}{an^2} * \frac{a^2n^3}{a^2 - an + n^2} - a^2n = \frac{(a + n)an}{1} - a^2n = a^2n + an^2 - an^2 = an^2$
при a = 0,02, n = −10:
$0,02 * (-10)^2 = 0,02 * 100 = 2$

Задание 551

При каких значениях букв определено выражение:
а) $\frac{a + b}{a}$;
б) $\frac{1}{x - 1}$;
в) $\frac{c}{c + 3}$;
г) $\frac{a - 3}{2a - 6}$?

Решение

а) $\frac{a + b}{a}$ − определено при любых значениях b и при a ≠ 0.

б) $\frac{1}{x - 1}$ − определено при x ≠ 1.

в) $\frac{c}{c + 3}$ − определено при c ≠ −3.

г) $\frac{a - 3}{2a - 6}$ − определено при a ≠ 3.

Задание 552

Заполните таблицу:

Решение

$\frac{a}{b}$
при a = 2, b = 1:
$\frac{2}{1} = 2$
при a = −1, b = −3:
$\frac{-1}{-3} = \frac{1}{3}$
при $a = \frac{1}{2}$, b = 0,2:
$\frac{\frac{1}{2}}{0,2} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{5}} = \frac{1}{2} * \frac{5}{1} = 2,5$
при a = 0,4, $b = -\frac{1}{3}$:
$\frac{0,4}{-\frac{1}{3}} = \frac{2}{5} * (-\frac{3}{1}) = -\frac{6}{5} = -1,2$

$a - \frac{1}{b}$
при a = 2, b = 1:
$2 - \frac{1}{1} = 2 - 1 = 2$
при a = −1, b = −3:
$-1 - \frac{1}{-3} = -1 + \frac{1}{3} = -\frac{2}{3}$
при $a = \frac{1}{2}$, b = 0,2:
$\frac{1}{2} - \frac{1}{0,2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{\frac{1}{5}} = \frac{1}{2} - 5 = -4,5$
при a = 0,4, $b = -\frac{1}{3}$:
$0,4 - \frac{1}{-\frac{1}{3}} = 0,4 + 3 = 3,4$

$\frac{a + b}{a}$
при a = 2, b = 1:
$\frac{2 + 1}{2} = \frac{3}{2} = 1,5$
при a = −1, b = −3:
$\frac{-1 - 3}{-1} = \frac{-4}{-1} = 4$
при $a = \frac{1}{2}$, b = 0,2:
$\frac{\frac{1}{2} + 0,2}{\frac{1}{2}} = \frac{\frac{1}{2} + \frac{1}{5}}{\frac{1}{2}} = \frac{\frac{5 + 2}{10}}{\frac{1}{2}} = \frac{7}{10} * 2 = \frac{7}{5} = 1,4$
при a = 0,4, $b = -\frac{1}{3}$:
$\frac{0,4 - \frac{1}{3}}{0,4} = \frac{\frac{2}{5} - \frac{1}{3}}{\frac{2}{5}} = \frac{\frac{6 - 5}{15}}{\frac{2}{5}} = \frac{1}{15} * \frac{5}{2} = \frac{1}{3} * \frac{1}{2} = \frac{1}{6}$

$\frac{a - b}{a + b}$
при a = 2, b = 1:
$\frac{2 - 1}{2 + 1} = \frac{1}{3}$
при a = −1, b = −3:
$\frac{-1 - (-3)}{-1 - 3} = \frac{-1 + 3}{-4} = -\frac{2}{4} = -0,5$
при $a = \frac{1}{2}$, b = 0,2:
$\frac{\frac{1}{2} - 0,2}{\frac{1}{2} + 0,2} = \frac{0,5 - 0,2}{0,5 + 0,2} = \frac{0,3}{0,7} = \frac{3}{10} * \frac{10}{7} = \frac{3}{7}$
при a = 0,4, $b = -\frac{1}{3}$:
$\frac{0,4 - (-\frac{1}{3})}{0,4 - \frac{1}{3}} = \frac{\frac{2}{5} + \frac{1}{3}}{\frac{2}{5} - \frac{1}{3}} = \frac{\frac{6 + 5}{15}}{\frac{6 - 5}{15}} = \frac{11}{15} * \frac{15}{1} = 11$

$\frac{a^2 - b^2}{a - 2b}$
при a = 2, b = 1:
$\frac{2^2 - 1^2}{2 - 2 * 1} = \frac{4 - 1}{0}$ − не имеет смысла
при a = −1, b = −3:
$\frac{(-1)^2 - (-3)^2}{-1 - 2 * (-3)} = \frac{1 - 9}{-1 + 6} = \frac{-8}{5} = -1,6$
при $a = \frac{1}{2}$, b = 0,2:
$\frac{(\frac{1}{2})^2 - 0,2^2}{\frac{1}{2} - 2 * 0,2} = \frac{\frac{1}{4} - 0,04}{0,5 - 0,4} = \frac{0,25 - 0,04}{0,1} = \frac{0,21}{0,1} = 2,1$
при a = 0,4, $b = -\frac{1}{3}$:
$\frac{0,4^2 - (-\frac{1}{3})^2}{0,4 - 2 * (-\frac{1}{3})} = \frac{0,16 - \frac{1}{9}}{0,4 + \frac{2}{3}} = \frac{\frac{4}{25} - \frac{1}{9}}{\frac{2}{5} + \frac{2}{3}} = \frac{\frac{36 - 25}{225}}{\frac{6 + 10}{15}} = \frac{11}{225} * \frac{15}{16} = \frac{11}{15} * \frac{1}{16} = \frac{11}{240}$