Задание 426
Запишите выражение в виде степени двучлена:
а) $a^2 - 2ab + b^2$;
б) $a^2 + 4a + 4$;
в) $a^2 + 6a + 9$;
г) $a^2 - 10a + 25$;
д) $a^3 + 3a^2 + 3a + 1$;
е) $a^3 - 3a^2 + 3a - 1$;
ж) $a^3 + 6a^2 + 12a + 8$;
з) $a^3 - 6a^2 + 12a - 8$.
Решение
а) $a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$
б) $a^2 + 4a + 4 = (a + 2)^2$
в) $a^2 + 6a + 9 = (a + 3)^2$
г) $a^2 - 10a + 25 = (a - 5)^2$
д) $a^3 + 3a^2 + 3a + 1 = (a + 1)^3$
е) $a^3 - 3a^2 + 3a - 1 = (a - 1)^3$
ж) $a^3 + 6a^2 + 12a + 8 = (a + 2)^3$
з) $a^3 - 6a^2 + 12a - 8 = (a - 2)^3$
Задание 427
Выясните, является ли многочлен кубом какого−либо двучлена:
а) $1 - 3x + 3x^2 - x^3$;
б) $a^3 - 6a^2 + 12a - 8$;
в) $8a^3 - 36a^2b + 54ab^2 - 27b^3$.
Решение
а) $1 - 3x + 3x^2 - x^3 = (1 - x)^3$ − является
б) $a^3 - 6a^2 + 12a - 8 = a^3 - 3 * a^2 * 2 + 3 * a * 2^2 - 2^3 = (a - 2)^3$ − является
в) $8a^3 - 36a^2b + 54ab^2 - 27b^3 = (2a)^3 - 3 * (2a)^2 * 3b + 3 * 2a * (3b)^2 - (3b)^3 = (2a - 3b)^3$
Задание 428
Упростите выражение двумя способами:
а) $(x - 1)^3 - (x + 1)^3$;
б) $(x + 2)^3 + (x - 2)^3$.
Решение
а) Способ 1:
$(x - 1)^3 - (x + 1)^3 = x^3 - 3x^2 * 1 + 3x * 1^2 + 1^3 - (x^3 + 3x^2 * 1 + 3x * 1^2 + 1^3) = x^3 - 3x^2 + 3x - 1 - x^3 - 3x62 - 3x - 1 = -6x^2 - 2$
Способ 2:
$(x - 1)^3 - (x + 1)^3 = (x - 1 - (x + 1))((x - 1)^2 + (x - 1)(x + 1) + (x + 1)^2) = (x - 1 - x - 1)(x^2 - 2x + 1 + x^2 - 1 + x^2 + 2x + 1) = -2(3x^2 + 1) = -6x^2 - 2$
б) Способ 1:
$(x + 2)^3 + (x - 2)^3 = x^3 + 3x^2 * 2 + 3x * 2^2 + 2^3 + (x^3 - 3x^2 * 2 + 3x * 2^2 - 2^3) = x^3 + 6x^2 + 12x + 8 + x^3 - 6x^2 + 12x - 8 = 2x^3 + 24x$
Способ 2:
$(x + 2)^3 + (x - 2)^3 = (x + 2 + x - 2)((x + 2)^2 - (x + 2)(x - 2) + (x - 2)^2) = 2x(x^2 + 4x + 4 - x^2 + 4 + x^2 - 4x + 4) = 2x(x^2 + 12) = 2x^3 + 24x$
Задание 429
Как получить формулу куба разности из формулы куба суммы?
Решение
$(x + y)^3 = (x - (-y))^3 = x^3 - 3x^2 * (-y) + 3x * (-y)^2 - (-y)^3 = x^3 - 3x^2 + 3xy^2 - y^3$
