Задание 399
Подберите одночлены A, B и C так, чтобы выполнялось равенство:
а) $m^3 + A = (m + B)(m^2 - mn + n^2)$;
б) $(x + A)(x^2 - 5x + 25) = x^3 + B$;
в) $(2x + 3y)(A - B + C) = 8x^3 + 27y^3$;
г) $(4a + 3b)(A - B + C) = 64a^3 + 27b^3$.
Решение
а) $m^3 + A = (m + B)(m^2 - mn + n^2)$
$B^2 = n^2$
B = n
$A = B^3 = n^3$
Ответ:
$m^3 + n^3 = (m + n)(m^2 - mn + n^2)$
б) $(x + A)(x^2 - 5x + 25) = x^3 + B$
$A^2 = 25$
A = 5
$B = A^3 = 5^3 = 125$
Ответ:
$(x + 5)(x^2 - 5x + 25) = x^3 + 125$
в) $(2x + 3y)(A - B + C) = 8x^3 + 27y^3$
$A = (2x)^2 = 4x^2$
B = 2x * 3y = 6xy
$C = (3y)^2 = 9y^2$
Ответ:
$(2x + 3y)(4x^2 - 6xy + 9y^2) = 8x^3 + 27y^3$
г) $(4a + 3b)(A - B + C) = 64a^3 + 27b^3$
$A = (4a)^2 = 16a^2$
B = 4a * 3b = 12ab
$C = (3b)^2 = 9b^2$
Ответ:
$(4a + 3b)(16a^2 - 12ab + 9b^2) = 64a^3 + 27b^3$
Задание 400
Упростите выражение:
а) $(x + 1)(x^2 - x + 1) - (x^2 - 1)x$;
б) $(a^3 - b^3)(a^3 + b^3) + (a^2 + b^2)(a^4 - a^2b^2 + b^4)$;
в) $(3 + m)(m^2 - 3m + 9) - m(m - 2)^2$;
г) $(p^6 - q^3)(p^6 + q^3) - (p^8 - p^4q^2 + q^4)(p^4 + q^2)$.
Решение
а) $(x + 1)(x^2 - x + 1) - (x^2 - 1)x = x^3 + 1 - (x^3 - x) = x^3 + 1 - x^3 + x = x + 1$
б) $(a^3 - b^3)(a^3 + b^3) + (a^2 + b^2)(a^4 - a^2b^2 + b^4) = a^6 - b^6 + a^6 + b^6 = 2a^6$
в) $(3 + m)(m^2 - 3m + 9) - m(m - 2)^2 = (m + 3)(m^2 - 3m + 9) - m(m^2 - 4m + 4) = m^3 + 27 - m^3 + 4m^2 - 4m = 4m^2 - 4m + 27$
г) $(p^6 - q^3)(p^6 + q^3) - (p^8 - p^4q^2 + q^4)(p^4 + q^2) = p^{12} - q^{6} - (p^{12} + q^{6}) = p^{12} - q^{6} - p^{12} - q^{6} = -2q^{6}$
Задание 401
Докажите тождество:
а) $(a^3 + 1)(a - 1) = (a^2 - a + 1)(a^2 - 1)$;
б) $m^3 + 1 = m(m + 1) + (1 - m)(1 - m^2)$;
в) $(a + 2)(a^2 - 2a + 4) - a(a - 3)(3 + a) = 9a + 8$;
г) $m(m + n)(m - n) - (n + m)(m^2 - mn + n^2) = -n^2(m + n)$.
Решение
а) $(a^3 + 1)(a - 1) = (a^2 - a + 1)(a^2 - 1)$
Преобразуем правую часть равенства:
$(a^2 - a + 1)(a^2 - 1) = (a^2 - a + 1)(a + 1)(a - 1) = (a^3 + 1)(a - 1)$
Тождество доказано.
б) $m^3 + 1 = m(m + 1) + (1 - m)(1 - m^2)$
Преобразуем правую часть равенства:
$m(m + 1) + (1 - m)(1 - m^2) = m(m + 1) + (1 - m)(1 - m)(1 + m) = (1 + m)(m + (1 - m)(1 - m)) = (1 + m)(m + 1 - 2m + m^2) = (1 + m)(1 - m + m^2) = 1 + m^3 = m^3 + 1$
Тождество доказано.
в) $(a + 2)(a^2 - 2a + 4) - a(a - 3)(3 + a) = 9a + 8$
Преобразуем левую часть равенства:
$(a + 2)(a^2 - 2a + 4) - a(a - 3)(3 + a) = (a + 2)(a^2 - 2a + 4) - a(a - 3)(a + 3) = a^3 + 8 - a(a^2 - 9) = a^3 + 8 - a^3 + 9a = 9a + 8$
Тождество доказано.
г) $m(m + n)(m - n) - (n + m)(m^2 - mn + n^2) = -n^2(m + n)$
Преобразуем левую часть равенства:
$m(m + n)(m - n) - (n + m)(m^2 - mn + n^2) = m(m^2 - n^2) - (n^3 + m^3) = m^3 - mn^2 - n^3 - m^3 = -mn^2 - n^3 = -n^2(m + n)$
Тождество доказано.
Ответы к параграфу 6.6. Разность кубов
Задание 402
а) Запишите неполный квадрат суммы a и b.
б) Запишите и прочитайте формулу разности кубов.
Решение
а) $a^2 + ab + b^2$
б) $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$
Разность кубов двух чисел равна произведению разности этих чисел на неполный квадрат их суммы.
Задание 403
Заполните пропуски, применив формулу разности кубов:
а) $(x - y) * (x^2 + xy + y^2) = ...$;
б) $m^3 - n^3 = ...$.
Решение
а) $(x - y) * (x^2 + xy + y^2) = x^3 - y^3$
б) $m^3 - n^3 = (m - n)(m^2 + mn + n^2)$
Задание 404
Составьте разность кубов выражений:
а) 5 и x;
б) ab и a;
в) $a^2$ и 3b;
г) $2x^3$ и 4y.
Решение
а) $5^3 - x^3 = 125 - x^3$
б) $(ab)^3 - a^3 = a^3b^3 - a^3$
в) $(a^2)^3 - (3b)^3 = a^6 - 27b^3$
г) $(2x^3)^3 - (4y)^3 = 8x^9 - 64y^3$
Задание 405
Запишите неполный квадрат суммы выражений:
а) m и 4;
б) $\frac{1}{2}$ и $x^2$;
в) 2a и 3b;
г) mc и $m^3$.
Решение
а) $m^2 + 4m + 4^2 = m^2 + 4m + 16$
б) $(\frac{1}{2})^2 + \frac{1}{2} * x^2 + (x^2)^2 = \frac{1}{4} + \frac{1}{2}x^2 + x^4$
в) $(2a)^2 + 2a * 3b + (3b)^2 = 4a^2 + 6ab + 9b^2$
г) $(mc)^2 + mc * m^3 + (m^3)^2 = m^2c^2 + m^4c + m^6$
