Ответы к параграфу 6.5. Сумма кубов
Задание 390
а) Запишите неполный квадрат разности a и b.
б) Запишите и прочитайте формулу суммы кубов.
Решение
а) $a^2 - ab + b^2$
б) $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$
Сумма кубов двух чисел равна произведению суммы этих чисел на неполный квадрат их разности.
Задание 391
Заполните пропуски, применив формулу суммы кубов:
а) $(x + y) * (x^2 - xy + y^2) = ...$;
б) $m^3 + n^3 = ...$ .
Решение
а) $(x + y) * (x^2 - xy + y^2) = x^3 + y^3$
б) $m^3 + n^3 = (m + n)(m^2 - mn + n^2)$
Задание 392
Запишите:
а) куб a;
б) сумму x и y;
в) разность квадрата a и произведения a и b;
г) полный квадрат разности a и b;
е) сумму кубов m и n.
Решение
а) $a^3$
б) x + y
в) $a^2 - ab$
г) $x^2 - 2xy + y^2$
д) $a^2 - ab + b^2$
е) $m^3 + n^3$
Задание 393
Укажите полные и неполные квадраты разности:
а) $a^2 - 5a + 25$;
б) $x^2 - 2x + 1$;
в) $9 - 3m + m^2$;
г) $49 - 14p + p^2$;
д) $4k^2 - 4k + 1$;
е) $4 - 4a + 4a^2$;
ж) $x^2 - 6x + 36$;
з) $9 - 6y + y^2$;
и) $\frac{1}{4}n^2 - n + 1$.
Решение
а) $a^2 - 5a + 25 = a^2 - 5a + 5^2$ − неполный квадрат разности
б) $x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2$ − полный квадрат разности
в) $9 - 3m + m^2 = 3^2 - 3m + m^2$ − неполный квадрат разности
г) $49 - 14p + p^2 = (7 - p)^2$ − полный квадрат разности
д) $4k^2 - 4k + 1 = (2k - 1)^2$ − полный квадрат разности
е) $4 - 4a + 4a^2 = 2^2 - 4a + (2a)^2$ − неполный квадрат разности
ж) $x^2 - 6x + 36 = x^2 - 6x + 6^2$ − неполный квадрат разности
з) $9 - 6y + y^2 = (3 - y)^2$ − полный квадрат разности
и) $\frac{1}{4}n^2 - n + 1 = (\frac{1}{2}n + 1)^2$ − полный квадрат разности
Задание 394
Запишите выражение в виде многочлена:
а) $(m + n)(m^2 - mn + n^2)$;
б) $(q + p)(p^2 - pq + q^2)$;
в) $(a + 1)(a^2 - a + 1)$;
г) $(2 + x)(4 - 2x + x^2)$;
д) $(p^2 - 4p + 16)(p + 4)$;
е) $(25 - 5m + m^2)(5 + m)$.
Решение
а) $(m + n)(m^2 - mn + n^2) = m^3 + n^3$
б) $(q + p)(p^2 - pq + q^2) = q^3 + p^3$
в) $(a + 1)(a^2 - a + 1) = a^3 + 1^3 = a^3 + 1$
г) $(2 + x)(4 - 2x + x^2) = 2^3 + x^3 = 8 + x^3$
д) $(p^2 - 4p + 16)(p + 4) = (p + 4)(p^2 - 4p + 16) = p^3 + 4^3 = p^3 + 64$
е) $(25 - 5m + m^2)(5 + m) = (5 + m)(25 - 5m + m^2)(5 + m) = 5^3 + m^3 = 125 + m^3$
Задание 395
Упростите выражение:
а) $(a^3 + 1)(a^6 - a^3 + 1)$;
б) $(2 + n^2)(n^4 - 2n^2 + 4)$;
в) $(x + y^2)(x^2 - xy^2 + y^4)$;
г) $(p^3 + q^2)(q^4 - p^3q^2 + p^6)$;
д) $(a^4b^2 - 2a^2b + 4)(2 + a^2b)$;
е) $(9n^2 - 3nm + m^2)(m + 3n)$;
ж) $(3x + y)(9x^2 - 3xy + y^2)$;
з) $(a^4 + 1)(a^8 - a^4 + 1)$;
и) $(4x^4y^2 - 6x^2ya + 9a^2)(3a + 2x^2y)$;
к) $(5p^3 + 2q^2)(4q^4 - 10p^3q^2 + 25p^6)$.
Решение
а) $(a^3 + 1)(a^6 - a^3 + 1) = (a^3)^3 + 1^3 = a^9 + 1$
б) $(2 + n^2)(n^4 - 2n^2 + 4) = 2^3 + (n^2)^3 = 8 + n^6$
в) $(x + y^2)(x^2 - xy^2 + y^4) = x^3 + (y^2)^3 = x^3 + y^6$
г) $(p^3 + q^2)(q^4 - p^3q^2 + p^6) = (q^2 + p^3)(q^4 - p^3q^2 + p^6) = (q^2)^3 + (p^3)^3 = q^6 + p^9$
д) $(a^4b^2 - 2a^2b + 4)(2 + a^2b) = (a^2b + 2)(a^4b^2 - 2a^2b + 4) = (a^2b)^3 + 2^3 = a^6b^3 + 8$
е) $(9n^2 - 3nm + m^2)(m + 3n) = (3n + m)(9n^2 - 3nm + m^2) = (3n)^3 + m^3 = 27n^3 + m^3$
ж) $(3x + y)(9x^2 - 3xy + y^2) = (3x)^3 + y^3 = 27x^3 + y^3$
з) $(a^4 + 1)(a^8 - a^4 + 1) = (a^4)^3 + 1^3 = a^{12} + 1$
и) $(4x^4y^2 - 6x^2ya + 9a^2)(3a + 2x^2y) = (2x^2y + 3a)(4x^4y^2 - 6x^2ya + 9a^2) = (2x^2y)^3 + (3a)^3 = 8x^6y^3 + 27a^3$
к) $(5p^3 + 2q^2)(4q^4 - 10p^3q^2 + 25p^6) = (2q^2 + 5p^3)(4q^4 - 10p^3q^2 + 25p^6) = (2q^2)^3 + (5p^3)^3 = 8q^6 + 125p^9$
Задание 396
Представьте выражение в виде степени с показателем 3:
а) 125;
б) 8;
в) $27x^3$;
г) $64y^3$;
д) $m^3y^3$;
е) $a^6b^3$;
ж) $x^3y^6$;
з) $\frac{1}{8}p^3$;
и) $0,001c^6$.
Решение
а) $125 = 5^3$
б) $8 = 2^3$
в) $27x^3 = (3x)^3$
г) $64y^3 = (4y)^3$
д) $m^3y^3 = (my)^3$
е) $a^6b^3 = (a^2b)^3$
ж) $x^3y^6 = (xy^2)^3$
з) $\frac{1}{8}p^3 = (\frac{1}{2}p)^3$
и) $0,001c^6 = (0,1c^2)^3$
Задание 397
Представьте выражение в виде суммы кубов:
а) $x^3 + 8$;
б) $27 + a^3$;
в) $1 + m^6$;
г) $p^9 + 64$;
д) $x^6 + 8y^3$;
е) $a^9 + 27b^3$;
ж) $8m^6 + n^9$;
з) $64p^9 + q^{12}$;
и) $\frac{1}{8} + x^6y^9$.
Решение
а) $x^3 + 8 = x^3 + 2^3$
б) $27 + a^3 = 3^3 + a^3$
в) $1 + m^6 = 1 + (m^2)^3$
г) $p^9 + 64 = (p^3)^3 + 4^3$
д) $x^6 + 8y^3 = (x^2)^3 + (2y)^3$
е) $a^9 + 27b^3 = (a^3)^3 + (3b)^3$
ж) $8m^6 + n^9 = (2m^2)^3 + (n^3)^3$
з) $64p^9 + q^{12} = (4p^3)^3 + (q^4)^3$
и) $\frac{1}{8} + x^6y^9 = (\frac{1}{2})^3 + (x^2y^3)^3$
Задание 398
Разложите двучлен на множители:
а) $m^3 + n^3$;
б) $a^3 + 1$;
в) $b^3 + 8$;
г) $x^3 + y^6$;
д) $p^6 + q^6$;
е) $m^6 + n^{15}$;
ж) $27a^3 + b^3$;
з) $x^3 + 64y^3$;
и) $c^6 + 125d^3$;
к) $8p^6 + q^{12}$.
Решение
а) $m^3 + n^3 = (m + n)(m^2 - mn + n^2)$
б) $a^3 + 1 = (a + 1)(a^2 - a + 1)$
в) $b^3 + 8 = b^3 + 2^3 = (b + 2)(b^2 - 2b + 2^2) = (b + 2)(b^2 - 2b + 4)$
г) $x^3 + y^6 = x^3 + (y^2)^3 = (x + y^2)(x^2 - xy^2 + (y^2)^2) = (x + y^2)(x^2 - xy^2 + y^4)$
д) $p^6 + q^6 = (p^2)^3 + (q^2)^3 = (p^2 + q^2)((p^2)^2 - p^2q^2 + (q^2)^2) = (p^2 + q^2)(p^4 - p^2q^2 + q^4)$
е) $m^6 + n^{15} = (m^2)^3 + (n^5)^3 = (m^2 + n^5)((m^2)^2 - m^2n^5 + (n^5)^2) = (m^2 + n^5)(m^4 - m^2n^5 + n^{10})$
ж) $27a^3 + b^3 = (3a)^3 + b^3 = (3a + b)((3a)^2 - 3ab + b^2) = (3a + b)(9a^2 - 3ab + b^2)$
з) $x^3 + 64y^3 = x^3 + (4y)^3 = (x + 4y)(x^2 - 4xy + (4y)^2) = (x + 4y)(x^2 - 4xy + 16y^2)$
и) $c^6 + 125d^3 = (c^2)^3 + (5d)^3 = (c^2 + 5d)((c^2)^2 - 5c^2d + (5d)^2) = (c^2 + 5d)(c^4 - 5c^2d + 25d^2)$
к) $8p^6 + q^{12} = (2p^2)^3 + (q^4)^3 = (2p^2 + q^4)((2p^2)^2 - 2p^2q^4 + (q^4)^2) = (2p^2 + q^4)(4p^4 - 2p^2q^4 + q^8)$
