Ответы к теме 6.3. Выделение полного квадрата
Задание 364
Из любого ли многочлена второй степени с коэффициентом 1 при $x^2$ можно выделить полный квадрат?
Ответ
Из любого многочлена второй степени с коэффициентом 1 при $x^2$ можно выделить полный квадрат.
Задание 365
Представьте выражение в виде степени с показателем 2:
а) 9;
б) $16x^2$;
в) $4a^2b^2$;
г) $25p^2$;
д) $m^8n^6k^{10}$;
е) $49a^4b^6c^{12}$.
Решение
а) $9 = 3^2$
б) $16x^2 = (4x)^2$
в) $4a^2b^2 = (2ab)^2$
г) $25p^2 = (5p)^2$
д) $m^8n^6k^{10} = (m^4n^3k^5)^2$
е) $49a^4b^6c^{12} = (7a^2b^3c^6)^2$
Задание 366
Представьте выражение в виде удвоенного произведения двух выражений:
а) 4xy;
б) 6ab;
в) $10m^2n$;
г) $8pq^4$;
д) x;
е) −3ab;
ж) −0,3pq;
з) −2,7c.
Решение
а) 4xy = 2 * 2x * y
б) 6ab = 2 * 3a * b
в) $10m^2n = 2 * 5m^2 * n$
г) $8pq^4 = 2 * 4p * q^4$
д) $x = 2 * \frac{1}{2} * x$
е) −3ab = 2 * (−1,5a) * b
ж) −0,3pq = 2 * (−0,15p) * q
з) −2,7c = 2 * (−1,35) * c
Задание 367
Прибавьте к двучлену такой одночлен, чтобы полученный трехчлен являлся полным квадратом:
а) $x^2 + 2x$;
б) $a^2 + 4ab$;
в) $m^2 + 1$;
г) 9 + 6p;
д) 10y + 25;
е) $16x^2 + 8xy$.
Решение
а) $x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2$
б) $a^2 + 4ab + 2b = (a + 2b)^2$
в) $m^2 + 1 + 2m = m^2 + 2m + 1 = (m + 1)^2$
г) $9 + 6p + p^2 = (3 + p)^2$
д) $10y + 25 + y^2 = y^2 + 10y + 25 = (y + 5)^2$
е) $16x^2 + 8xy + y^2 = (4x + y)^2$
Задание 368
Выделите полный квадрат из многочлена:
а) $a^2 + 2a + 2$;
б) $x^2 - 2x + 3$;
в) $m^2 - 2m - 1$;
г) $4 + 2q + q^2$;
д) $x^2 + 6x + 1$;
е) $a^2 - 4a + 1$;
ж) $m^2 - 6m + 9$;
з) $16 + 8p + p^2$;
и) $a^2 - 2a$;
к) $x^2 + 6x$;
л) $m + m^2 + 1$;
м) $3 + p^2 - p$.
Решение
а) $a^2 + 2a + 2 = a^2 + 2a + 1 + 1 = (a + 1)^2 + 1$
б) $x^2 - 2x + 3 = x^2 - 2x + 1 + 2 = (x - 1)^2 + 2$
в) $m^2 - 2m - 1 = m^2 - 2m + 1 - 2 = (m - 1)^2 - 2$
г) $4 + 2q + q^2 = q^2 + 2a + 1 + 3 = (q + 1)^2 + 3$
д) $x^2 + 6x + 1 = x^2 + 6x + 9 - 8 = (x + 3)^2 - 8$
е) $a^2 - 4a + 1 = a^2 - 4a + 4 - 3 = (a - 2)^2 - 3$
ж) $m^2 - 6m + 9 = (m - 3)^2$
з) $16 + 8p + p^2 = (4 + p)^2$
и) $a^2 - 2a = a^2 - 2a + 1 - 1 = (a - 1)^2 - 1$
к) $x^2 + 6x = x^2 + 6x + 9 - 9 = (x + 3)^2 - 9$
л) $m + m^2 + 1 = m^2 + 2 * \frac{1}{2}m + \frac{1}{4} + 1 - \frac{1}{4} = (m + \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}$
м) $3 + p^2 - p = p^2 - 2 * p * \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + 3 - \frac{1}{4} = (p - \frac{1}{2})^2 + 2\frac{3}{4}$
Задание 369
Выделите полный квадрат из многочлена:
а) $-3a + 3 + a^2$;
б) $a^2 - 1 + 5a$;
в) $m^2 - 2 + 11m$;
г) $-q + q^2 - 7$;
д) $a^2 + \frac{1}{2}a + 4$;
е) $x^2 - \frac{1}{3}x - 1$;
ж) $m^2 + 1$;
з) $4 + p^2$;
и) $x^2 - 5x$.
Решение
а) $-3a + 3 + a^2 = a^2 - 2 * a * \frac{3}{2} + \frac{9}{4} - \frac{9}{4} + 3 = (a - \frac{3}{2})^2 + 3 - 2\frac{1}{4} = (a - 1\frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}$
б) $a^2 - 1 + 5a = a^2 + 2 * a * 2,5 + 2,5^2 - 2,5^2 - 1 = (a + 2,5)^2 - 6,25 - 1 = (a + 2,5)^2 - 7,25$
в) $m^2 - 2 + 11m = m^2 + 2 * m * 5,5 + 5,5^2 - 5,5^2 - 2 = (m + 5,5)^2 - 30,25 - 2 = (m + 5,5)^2 - 32,25$
г) $-q + q^2 - 7 = q^2 - 2 * q * 0,5 + 0,5^2 - 0,5^2 - 7 = (q - 0,5)^2 - 0,25 - 7 = (q - 0,5)^2 - 7,25$
д) $a^2 + \frac{1}{2}a + 4 = a^2 + 2 * a * \frac{1}{4} + (\frac{1}{4})^2 - (\frac{1}{4})^2 + 4 = (a + \frac{1}{4})^2 - \frac{1}{16} + 4 = (a + \frac{1}{4})^2 + 3\frac{15}{16}$
е) $x^2 - \frac{1}{3}x - 1 = x^2 - 2 * x * \frac{1}{6} + (\frac{1}{6})^2 - (\frac{1}{6})^2 - 1 = (x - \frac{1}{6})^2 - \frac{1}{36} - 1 = (x - \frac{1}{6})^2 - 1\frac{1}{36}$
ж) $m^2 + 1 = m^2 + 2 * m + 1^2 - 2m = (m + 1)^2 - 2m$
з) $4 + p^2 = p^2 + 2 * p * 1 + 4 - 2p = (p + 2)^2 - 2p$
и) $x^2 - 5x = x^2 - 2 * x * 2,5 + 2,5^2 - 2,5^2 = (x - 2,5)^2 - 6,25$
