Ответы к теме 6.2. Квадрат разности
Задание 351
Запишите и прочитайте формулу квадрата разности.
Решение
$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
Квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа минус удвоенное произведение первого и второго чисел плюс квадрат второго числа.
Задание 352
Преобразуйте выражение в многочлен стандартного вида двумя способами:
а) $(a - b)^2$;
б) $(x - 3)^2$;
в) $(1 - m)^2$;
г) $(5 + p)^2$;
д) $(2a - 3)^2$;
е) $(4 - 3y)^2$;
ж) $(3m + 2n)^2$;
з) $(5p - 2q)^2$.
Решение
а) Способ 1.
$(a - b)^2 = (a - b)(a - b) = a^2 - ab - ab + b^2 = a^2 - 2ab + b^2$
Способ 2.
$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
б) Способ 1.
$(x - 3)^2 = (x - 3)(x - 3) = x^2 - 3x - 3x + 9 = x^2 - 6x + 9$
Способ 2.
$(x - 3)^2 = x^2 - 2 * x * 3 + 3^2 = x^2 - 6x + 9$
в) Способ 1.
$(1 - m)^2 = (1 - m)(1 - m) = 1 - m - m + m^2 = 1 - 2m + m^2$
Способ 2.
$(1 - m)^2 = 1^2 - 2 * 1 * m + m^2 = 1 - 2m + m^2$
г) Способ 1.
$(5 + p)^2 = (5 + p)(5 + p) = 25 + 5p + 5p + p^2 = 25 + 10p + p^2$
Способ 2.
$(5 + p)^2 = 5^2 + 2 * 5 * p + p^2 = 25 + 10p + p^2$
д) Способ 1.
$(2a - 3)^2 = (2a - 3)(2a - 3) = 4a^2 - 6a - 6a + 9 = 4a^2 - 12a + 9$
Способ 2.
$(2a - 3)^2 = (2a)^2 - 2 * 2a * 3 + 3^2 = 4a^2 - 12a + 9$
е) Способ 1.
$(4 - 3y)^2 = (4 - 3y)(4 - 3y) = 16 - 12y - 12y + 9y^2 = 16 - 24y + 9y^2$
Способ 2.
$(4 - 3y)^2 = 4^2 - 2 * 4 * 3y + (3y)^2 = 16 - 24y + 9y^2$
ж) Способ 1.
$(3m + 2n)^2 = (3m + 2n)(3m + 2n) = 9m^2 + 6mn + 6mn + 4n^2 = 9m^2 + 12mn + 4n^2$
Способ 2.
$(3m + 2n)^2 = (3m)^2 + 2 * 3m * 2n + (2n)^2 = 9m^2 + 12m + 4n^2$
з) Способ 1.
$(5p - 2q)^2 = (5p - 2q)(5p - 2q) = 25p^2 - 10pq - 10pq + 4q^2 = 25p^2 - 20pq + 4q^2$
Способ 2.
$(5p - 2q)^2 = (5p)^2 - 2 * 5p * 2q + (2q)^2 = 25p^2 - 20pq + 4q^2$
Задание 353
Используя формулу квадрата суммы или разности, преобразуйте выражение в многочлен стандартного вида:
а) $(a - b^2)^2$;
б) $(x^3 - y)^2$;
в) $(m^3 - n^2)^2$;
г) $(p^4 + q^2)^2$;
д) $(a^3 + ab)^2$;
е) $(x^3 - y^2z)^2$;
ж) $(2m - n^2)^2$;
з) $(3p^2 - 2q^3)^2$;
и) $(4a^2b - 3ab^2)^2$.
Решение
а) $(a - b^2)^2 = a^2 - 2 * a * b^2 + (b^2)^2 = a^2 - 2ab^2 + b^4$
б) $(x^3 - y)^2 = (x^3)^2 - 2 * x^3 * y + y^2 = x^6 - 2x^3y + y^2$
в) $(m^3 - n^2)^2 = (m^3)^2 - 2 * m^3 * n^2 + (n^2)^2 = m^6 - 2m^3n^2 + n^4$
г) $(p^4 + q^2)^2 = (p^4)^2 + 2 * p^4 * q^2 + (q^2)^2 = p^8 + 2p^4q^2 + q^4$
д) $(a^3 + ab)^2 = (a^3)^2 + 2 * a^3 * ab + (ab)^2 = a^6 + 2a^4ab + a^2b^2$
е) $(x^3 - y^2z)^2 = (x^3)^2 - 2 * x^3 * y^2z + (y^2z)^2 = x^6 - 2x^3y^2z + y^4z^2$
ж) $(2m - n^2)^2 = (2m)^2 - 2 * 2m * n^2 + (n^2)^2 = 4m^2 - 4mn^2 + n^4$
з) $(3p^2 - 2q^3)^2 = (3p^2)^2 - 2 * 3p^2 * 2q^3 + (2q^3)^2 = 9p^4 - 12p^2q^3 + 4q^6$
и) $(4a^2b - 3ab^2)^2 = (4a^2b)^2 - 2 * 4a^2b * 3ab^2 + (3ab^2)^2 = 16a^4b^2 - 24a^3b^3 + 9a^2b^4$
Задание 354
Преобразуйте выражение в многочлен:
а) $(\frac{1}{5}mn - m^3)^2$;
б) $(-\frac{1}{2} + 3bc)^2$;
в) $(\frac{1}{2}x^3 - \frac{1}{3}y^4)^2$;
г) $(-1\frac{1}{2}p^2 + \frac{2}{3}q)^2$;
д) $(1\frac{1}{3}ab^2 - 3a^2b)^2$;
е) $(2m^3n^2 - 2\frac{1}{2}mn^3)^2$;
ж) $(0,1a + 3a^2b)^2$;
з) $(1,2xy + 0,7x^2)^2$;
и) $(-0,5x^3y^2 + 0,3xy^5)^2$.
Решение
а) $(\frac{1}{5}mn - m^3)^2 = (\frac{1}{5}mn)^2 - 2 * \frac{1}{5}mn * m^3 + (m^3)^2 = \frac{1}{25}m^2n^2 - \frac{2}{5}m^4n + m^6$
б) $(-\frac{1}{2} + 3bc)^2 = (-\frac{1}{2})^2 + 2 * (-\frac{1}{2}) * 3bc + (3bc)^2 = \frac{1}{4} - 3bc + 9b^2c^2$
в) $(\frac{1}{2}x^3 - \frac{1}{3}y^4)^2 = (\frac{1}{2}x^3)^2 - 2 * \frac{1}{2}x^3 * \frac{1}{3}y^4 + (\frac{1}{3}y^4)^2 = \frac{1}{4}x^6 - \frac{1}{3}x^3y^4 + \frac{1}{9}y^8$
г) $(-1\frac{1}{2}p^2 + \frac{2}{3}q)^2 = (-\frac{3}{2}p^2)^2 + 2 * (-\frac{3}{2}p^2) * \frac{2}{3}q + (\frac{2}{3}q)^2 = \frac{9}{4}p^4 - 2p^2q + \frac{4}{9}q^2 = 2\frac{1}{4}p^4 - 2p^2q + \frac{4}{9}q^2$
д) $(1\frac{1}{3}ab^2 - 3a^2b)^2 = (\frac{4}{3}ab^2)^2 - 2 * \frac{4}{3}ab^2 * 3a^2b + (3a^2b)^2 = \frac{16}{9}a^2b^4 - 8a^3b^3 + 9a^4b^2 = 1\frac{7}{9}a^2b^4 - 8a^3b^3 + 9a^4b^2$
е) $(2m^3n^2 - 2\frac{1}{2}mn^3)^2 = (2m^3n^2)^2 - 2 * 2m^3n^2 * \frac{5}{2}mn^3 + (\frac{5}{2}mn^3)^2 = 4m^6n^4 - 10m^4n^5 + \frac{25}{4}m^2n^6 = 4m^6n^4 - 10m^4n^5 + 6\frac{1}{4}m^2n^6$
ж) $(0,1a + 3a^2b)^2 = (0,1a)^2 + 2 * 0,1a * 3a^2b + (3a^2b)^2 = 0,01a^2 + 0,6a^3b + 9a^4b^2$
з) $(1,2xy + 0,7x^2)^2 = (1,2xy)^2 + 2 * 1,2xy * 0,7x^2 + (0,7x^2)^2 = 1,44x^2y^2 + 1,68x^3y + 0,49x^4$
и) $(-0,5x^3y^2 + 0,3xy^5)^2 = (-0,5x^3y^2)^2 + 2 * (-0,5x^3y^2) * 0,3xy^5 + (0,3xy^5)^2 = 0,25x^6y^4 - 0,3x^4y^7 + 0,09x^2y^{10}$
Задание 355
Пользуясь рисунком 14, докажите формулу квадрата разности для a > 0, b > 0, a > b.
Решение
$a * a = a^2$ − площадь всего квадрата;
$b * b = b^2$ − площадь правого нижнего квадрата;
$(a - b)(a - b)$ − площадь закрашенного квадрата;
$(a - b)b = ab - b^2$ − площадь каждого из двух прямоугольников.
Тогда:
$(a - b)^2 = a^2 - b^2 - (ab - b^2) - (ab - b^2) = a^2 - b^2 - ab + b^2 - ab + b^2 = a^2 - 2ab + b^2$
Задание 356
Вычислите, применив формулу квадрата разности:
а) $49^2$;
б) $89^2$;
в) $199^2$;
г) $38^2$;
д) $98^2$;
е) $198^2$.
Решение
а) $49^2 = (50 - 1)^2 = 50^2 - 2 * 50 * 1 + 1^2 = 2500 - 100 + 1 = 2401$
б) $89^2 = (90 - 1)^2 = 90^2 - 2 * 90 * 1 + 1^2 = 8100 - 180 + 1 = 7921$
в) $199^2 = (200 - 1)^2 = 200^2 - 2 * 200 * 1 + 1^2 = 40000 - 400 + 1 = 39601$
г) $38^2 = (40 - 2)^2 = 40^2 - 2 * 40 * 2 + 2^2 = 1600 - 160 + 4 = 1444$
д) $98^2 = (100 - 2)^2 = 100^2 - 2 * 100 * 2 + 2^2 = 10000 - 400 + 4 = 9604$
е) $198^2 = (200 - 2)^2 = 200^2 - 2 * 200 * 2 + 2^2 = 40000 - 800 + 4 = 39204$
Задание 357
Представьте многочлен в виде квадрата разности:
а) $a^2 - 2ab + b^2$;
б) $4x^2 - 4xy + y^2$;
в) $9m^2 - 6m + 1$;
г) $25 - 30c + 9c^2$;
д) $16p^2 - 56pq + 49q^2$;
е) $100a^2 + 25b^2 - 100ab$;
ж) $x^4 - 6x^2y + 9y^2$;
з) $16 + 9x^6 - 24x^3$.
Решение
а) $a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$
б) $4x^2 - 4xy + y^2 = (2x)^2 - 2 * 2x * y + y^2 = (2x - y)^2$
в) $9m^2 - 6m + 1 = (3m)^2 - 2 * 3m * 1 + 1^2 = (3m - 1)^2$
г) $25 - 30c + 9c^2 = 5^2 - 2 * 5 * 3c + (3c)^2 = (5 - 3c)^2$
д) $16p^2 - 56pq + 49q^2 = (4p)^2 - 2 * 4p * 7q + (7q)^2 = (4p - 7q)^2$
е) $100a^2 + 25b^2 - 100ab = 100a^2 - 100ab + 25b^2 = (10a)^2 - 2 * 10a * 5b + (5b)^2 = (10a - 5b)^2$
ж) $x^4 - 6x^2y + 9y^2 = (x^2)^2 - 2 * x^2 * 3y + (3y)^2 = (x^2 - 3y)^2$
з) $16 + 9x^6 - 24x^3 = 16 - 24x^3 + 9x^6 = 4^2 - 2 * 4 * 3x^3 + (3x^3)^2 = (4 - 3x^3)^2$
