Задание 340
Используя формулу квадрата суммы, преобразуйте выражение в многочлен стандартного вида:
а) $(a^2 + b)^2$;
б) $(x + y^3)^2$;
в) $(m^2 + n^2)^2$;
г) $(p^3 + q^5)^2$;
д) $(ab + c)^2$;
е) $(x + yz)^2$;
ж) $(3m + n^3)^2$;
з) $(2p + 3q^2)^2$;
и) $(3ab^2 + 2c^3)^2$.
Решение
а) $(a^2 + b)^2 = (a^2)^2 + 2a^2b + b^2 = a^4 + 2a^2b + b^2$
б) $(x + y^3)^2 = x^2 + 2xy^3 + (y^3)^2 = x^2 + 2xy^3 + y^6$
в) $(m^2 + n^2)^2 = (m^2)^2 + 2m^2n^2 + (n^2)^2 = m^4 + 2m^2n^2 + n^4$
г) $(p^3 + q^5)^2 = (p^3)^2 + 2p^3q^5 + (q^5)^2 = p^6 + 2p^3q^5 + q^{10}$
д) $(ab + c)^2 = (ab)^2 + 2abc + c = a^2b^2 + 2abc + c^2$
е) $(x + yz)^2 = x^2 + 2xyz + (yz)^2 = x^2 + 2xyz + y^2z^2$
ж) $(3m + n^3)^2 = (3m)^2 + 2 * 3m * n^3 + (n^3)^2 = 9m^2 + 6mn^3 + n^6$
з) $(2p + 3q^2)^2 = (2p)^2 + 2 * 2p * 3q^2 + (3q^2)^2 = 4p^2 + 12pq^2 + 9q^4$
и) $(3ab^2 + 2c^3)^2 = (3ab^2)^2 + 2 * 3ab^2 * 2c^3 + (2c^3)^2 = 9a^2b^4 + 12ab^2c^3 + 4c^6$
Задание 341
Преобразуйте выражение в многочлен:
а) $(\frac{1}{2} + a)^2$;
б) $(x + \frac{1}{3})^2$;
в) $(m + 0,2)^2$;
г) $(1,1 + p)^2$;
д) $(\frac{1}{2}a + \frac{2}{3}b)^2$;
е) $(\frac{3}{4}x + \frac{1}{5}y)^2$;
ж) $(0,2m + 2,1n)^2$;
з) $(0,4p + 0,3q)^2$;
и) $(\frac{3}{5}ab + \frac{1}{2}c^2)^2$.
Решение
а) $(\frac{1}{2} + a)^2 = (\frac{1}{2})^2 + 2 * \frac{1}{2}a + a^2 = \frac{1}{4} + a + a^2$
б) $(x + \frac{1}{3})^2 = x^2 + 2 * \frac{1}{3}x + (\frac{1}{3})^2 = x^2 + \frac{2}{3}x + \frac{1}{9}$
в) $(m + 0,2)^2 = m^2 + 2 * 0,2m + 0,2^2 = m^2 + 0,4m + 0,04$
г) $(1,1 + p)^2 = 1,1^2 + 2 * 1,1p + p^2 = 1,21 + 2,2p + p^2$
д) $(\frac{1}{2}a + \frac{2}{3}b)^2 = (\frac{1}{2}a)^2 + 2 * \frac{1}{2}a * \frac{2}{3}b + (\frac{2}{3}b)^2 = \frac{1}{4}a^2 + \frac{2}{3}ab + \frac{4}{9}b^2$
е) $(\frac{3}{4}x + \frac{1}{5}y)^2 = (\frac{3}{4}x)^2 + 2 * \frac{3}{4}x * \frac{1}{5}y + (\frac{1}{5}y)^2 = \frac{9}{16}x^2 + \frac{3}{10}xy + \frac{1}{25}y^2$
ж) $(0,2m + 2,1n)^2 = (0,2m)^2 + 2 * 0,2m * 2,1n + (2,1n)^2 = 0,04m^2 + 0,84mn + 4,41n^2$
з) $(0,4p + 0,3q)^2 = (0,4p)^2 + 2 * 0,4p * 0,3q + (0,3q)^2 = 0,16p^2 + 0,24pq + 0,09q^2$
и) $(\frac{3}{5}ab + \frac{1}{2}c^2)^2 = (\frac{3}{5}ab)^2 + 2 * \frac{3}{5}ab * \frac{1}{2}c^2 + (\frac{1}{2}c^2)^2 = \frac{9}{25}a^2b^2 + \frac{3}{5}abc^2 + \frac{1}{4}c^4$
Задание 342
Пользуясь рисунком 13, докажите, что для a > b, b > 0 верно равенство $(a + b)(a + b) = a^2 + 2ab + b^2$.
Решение
(a + b) − длина стороны всего квадрата;
(a + b)(a + b) − площадь всего квадрата;
$a^2$ − площадь левого нижнего квадрата;
$b^2$ − площадь верхнего правого квадрата;
ab − площадь каждого из двух прямоугольников.
Площадь всего квадрата равна сумме площадей, входящих в него фигур, тогда:
$(a + b)(a + b) = a^2 + b^2 + ab + ab = a^2 + 2ab + b^2$
Задание 343
Вычислите, применив формулу квадрата суммы:
а) $41^2$;
б) $91^2$;
в) $201^2$;
г) $32^2$;
д) $72^2$;
е) $302^2$.
Решение
а) $41^2 = (40 + 1)^2 = 40^2 + 2 * 40 * 1 + 1^2 = 1600 + 80 + 1 = 1681$
б) $91^2 = (90 + 1)^2 = 90^2 + 2 * 90 * 1 + 1^2 = 8100 + 180 + 1 = 8281$
в) $201^2 = (200 + 1)^2 = 200^2 + 2 * 200 * 1 + 1^2 = 40000 + 400 + 1 = 40401$
г) $32^2 = (30 + 2)^2 = 30^2 + 2 * 30 * 2 + 2^2 = 900 + 120 + 4 = 1024$
д) $72^2 = (70 + 2)^2 = 70^2 + 2 * 70 * 2 + 2^2 = 4900 + 280 + 4 = 5184$
е) $302^2 = (300 + 2)^2 = 300^2 + 2 * 300 * 2 + 2^2 = 90000 + 1200 + 4 = 91204$
Задание 344
Любое натуральное число, оканчивающееся цифрой 5, можно записать в виде 10a + 5.
Например: 25 = 10 * 2 + 5.
Докажите, что для вычисления квадрата такого числа можно к произведению a(a + 1) приписать справа 25.
Например: $25^2 = 625 (2 * 3 = 6)$
Решение
Преобразуем квадрат числа:
$(10a + 5)^2 = (10a)^2 + 2 * 10a * 5 + 5^2 = 100a^2 + 100a + 25 = 100a(a + 1) + 25 = 100 * a(a + 1) + 25, то есть к произведению a(a + 1) можно справа приписать число 25. Утверждение доказано.$
Задание 345
Представьте многочлен в виде квадрата суммы:
а) $x^2 + 2xy + y^2$;
б) $a^2 + 4ab + 4b^2$;
в) $9m^2 + 6mn + n^2$;
г) $16p^2 + 40pq + 25q^2$;
д) $x^2 + 2x + 1$;
е) $9 + 6a + a^2$;
ж) $16 + 8p + p^2$;
з) $4m^2 + 9n^2 + 12mn$;
и) $x^4 + 2x^2y^3 + y^6$;
к) $a^6 + 2a^3b^3 + b^6$.
Решение
а) $x^2 + 2xy + y^2 = (x + y)^2$
б) $a^2 + 4ab + 4b^2 = a^2 + 2 * a * 2b + (2b)^2 = (a + 2b)^2$
в) $9m^2 + 6mn + n^2 = (3m)^2 + 2 * 3m * n + n^2 = (3m + n)^2$
г) $16p^2 + 40pq + 25q^2 = (4p)^2 + 2 * 4p * 5q + (5q)^2 = (4p + 5q)^2$
д) $x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2$
е) $9 + 6a + a^2 = 3^2 + 2 * 3 * a + a^2 = (3 + a)^2$
ж) $16 + 8p + p^2 = 4^2 + 2 * 4 * p + p^2 = (4 + p)^2$
з) $4m^2 + 9n^2 + 12mn = 4m^2 + 12mn + 9n^2 = (2m)^2 + 2 * 2m * 3n + (3n)^2 = (2m + 3n)^2$
и) $x^4 + 2x^2y^3 + y^6 = (x^2)^2 + 2 * x^2 * y^3 + (y^3)^2 = (x^2 + y^3)^2$
к) $a^6 + 2a^3b^3 + b^6 = (a^3)^2 + 2 * a^3 * b^3 + (b^3)^2 = (a^3 + b^3)^2$
Задание 346
Вместо букв C и D подберите одночлены так, чтобы выполнялось равенство:
а) $(a + C)^2 = D + 2ab + b^2$;
б) $(2x + C)^2 = 4x^2 + 4xy + y^2$;
в) $(C + 3m)^2 = 4n^2 + 12mn + 9m^2$;
г) $(C + D)^2 = 9p^2 + 30pq + 25q^2$.
Решение
а) $(a + C)^2 = D + 2ab + b^2$
$D = a^2$
$C^2 = b^2$
C = b
Ответ:
$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
б) $(2x + C)^2 = 4x^2 + 4xy + y^2$
$C^2 = y^2$
C = y
Ответ:
$(2x + y)^2 = 4x^2 + 4xy + y^2$
в) $(C + 3m)^2 = 4n^2 + 12mn + 9m^2$
$C^2 = 4n^2$
$C^2 = (2n)^2$
C = 2n
Ответ:
$(2n + 3m)^2 = 4n^2 + 12mn + 9m^2$
г) $(C + D)^2 = 9p^2 + 30pq + 25q^2$
$C^2 = 9p^2$
$C^2 = (3p)^2$
C = 3p
$D^2 = 25q^2$
$D^2 = (5q)^2$
D = 5q
Ответ:
$(3p + 5q)^2 = 9p^2 + 30pq + 25q^2$
Задание 347
Преобразуйте выражение в многочлен стандартного вида:
а) $(a + b)^2 + (a + b)(a - b)$;
б) $(a + 3)^2 + (x + 1)^2$;
в) $2(m + 1)^2 + 3(m + 2)^2$;
г) $5(p + q)^2 + 3(p + 2q)^2$;
д) $(2a + 3b)^2 - (3a + 2b)^2$;
е) $2(3x + y)^2 - 3(2x + 3y)^2$;
ж) $(m + n)^2 + 2(m + n)(2m - n) + (2m - n)^2$;
з) $2(p + 3q)(p + 2q) - (p + 2q)^2 - (3q + p)^2$.
Решение
а) $(a + b)^2 + (a + b)(a - b) = (a + b)(a + b + a - b) = (a + b) * 2a = 2a^2 + 2ab$
б) $(a + 3)^2 + (x + 1)^2 = a^2 + 6a + 9 + x^2 + 2x + 1 = a^2 + x^2 + 6a + 2x + 10$
в) $2(m + 1)^2 + 3(m + 2)^2 = 2(m^2 + 2m + 1) + 3(m^2 + 4m + 4) = 2m^2 + 4m + 2 + 3m^2 + 12m + 12 = 5m^2 + 16m + 14$
г) $5(p + q)^2 + 3(p + 2q)^2 = 5(p^2 + 2pq + q^2) + 3(p^2 + 4pq + 4q^2) = 5p^2 + 10pq + 5q^2 + 3p^2 + 12pq + 12q^2 = 8p^2 + 22pq + 17q^2$
д) $(2a + 3b)^2 - (3a + 2b)^2 = 4a^2 + 12ab + 9b^2 - (9a^2 + 12ab + 4b^2) = 4a^2 + 12ab + 9b^2 - 9a^2 - 12ab - 4b^2 = -5a^2 + 5b^2$
е) $2(3x + y)^2 - 3(2x + 3y)^2 = 2(9x^2 + 6xy + y^2) - 3(4x^2 + 12xy + 9y^2) = 18x^2 + 12xy + 2y^2 - 12x^2 - 36xy - 27y^2 = 6x^2 - 24xy - 25y^2$
ж) $(m + n)^2 + 2(m + n)(2m - n) + (2m - n)^2 = m^2 + 2mn + n^2 + 2(2m^2 + 2mn - mn - n^2) + 4m^2 - 4mn + n^2 = m^2 + 2mn + n^2 + 2(2m^2 + mn - n^2) + 4m^2 - 4mn + n^2 = m^2 + 2mn + n^2 + 4m^2 + 2mn - 2n^2 + 4m^2 - 4mn + n^2 = 9m^2$
з) $2(p + 3q)(p + 2q) - (p + 2q)^2 - (3q + p)^2 = 2(p^2 + 3pq + 2pq + 6q^2) - (p^2 + 4pq + 4q^2) - (9q^2 + 6pq + p^2) = 2p^2 + 6pq + 4pq + 12q^2 - p^2 - 4pq - 4q^2 - 9q^2 - 6pq - p^2 = -q^2$
