Задание 315
Преобразуйте выражение в многочлен стандартного вида и определите его степень.
Чтобы избежать ошибок со знаком при вычислении, следует выполнить преобразования, например так:
$(x + 1)(x + 2) - (x + 3)(x + 4) = (x^2 + 2x + x + 2) - (x^2 + 4x + 3x + 12) = (x^2 + 3x + 2) - (x^2 + 7x + 12) = x^2 + 3x + 2 - x^2 - 7x - 12 = -4x - 10$.
а) 2x + (x − 1)(x + 1);
б) $7p^2 - (p + 1)(p + 2)$;
в) (a + 2)(a − 1) − (a + 1)(a − 2);
г) (p + 2)(p − 1) + (p + 3)(p − 5);
д) (4 − x)(2 − x) − (x + 2)(1 − x).
Решение
а) $2x + (x - 1)(x + 1) = 2x + (x^2 - x + x - 1) = 2x + x^2$ − степень 2
б) $7p^2 - (p + 1)(p + 2) = 7p^2 - (p^2 + p + 2p + 2) = 7p^2 - (p^2 + 3p + 2) = 7p^2 - p^2 - 3p - 2 = 6p^2 - 3p - 2$ − степень 2
в) $(a + 2)(a - 1) - (a + 1)(a - 2) = a^2 + 2a - a - 2 - (a^2 + a - 2a - 2) = a^2 + a - 2 - (a^2 - a - 2) = a^2 + a - 2 - a^2 + a + 2 = 2a$ − степень 1
г) $(p + 2)(p - 1) + (p + 3)(p - 5) = p^2 + 2p - p - 2 + p^2 + 3p - 5p - 15 = 2p^2 - p - 17$ − степень 2
д) $(4 - x)(2 - x) - (x + 2)(1 - x) = 8 - 2x - 4x + x^2 - (x + 2 - x^2 - 2x) = 8 - 6x + x^2 - (-x + 2 - x^2) = 8 - 6x + x^2 + x - 2 + x^2 = 2x^2 - 5x + 6$ − степень 2
Задание 316
Упростите целое выражение:
а) $(5ab^2 + 4b^3)(3ab^3 - 4a^2) - 18a^2b^3$;
б) $(7x^3y^2 - xy)(-2x^2y^2 + 5xy^3) + 12x^5y^4$;
в) $(x^3 + x^2y + xy^2 + y^3)(x - y) - x^2y(x - y)$;
г) $a^2(a^2 - b^2) - (a^3 - a^2b + ab^2 - b^3)(a + b)$;
д) 2 − (−4x + 1)(x − 1) + 2(6x − 4)(x + 3);
е) $6(x + 1)(x + 1) + 2(x - 1)(x^2 + x + 1) - 2(x + 1)$;
ж) $(x + 2)(x^2 - 2x + 4) - x(x - 3)(x + 3)$;
з) 3(3x − 1)(2x + 5) − 6(2x − 1)(x + 2);
и) $(x^2 + 2)(x^2 + 2) - (x - 2)(x + 2)(x^2 + 4)$;
к) $5(a - 2)(a + 2) - \frac{1}{2}(8a - 6)(8a - 6) + 17$.
Решение
а) $(5ab^2 + 4b^3)(3ab^3 - 4a^2) - 18a^2b^3 = 15a^2b^5 + 12ab^6 - 20a^3b^2 - 16a^2b^3 - 18a^2b^3 = 15a^2b^5 + 12ab^6 - 20a^3b^2 - 34a^2b^3$
б) $(7x^3y^2 - xy)(-2x^2y^2 + 5xy^3) + 12x^5y^4 = -14x^5y^4 + 2x^3y^3 + 35x^4y^5 - 5x^2y^4 + 12x^5y^4 = -2x^5y^4 + 2x^3y^3 + 35x^4y^5 - 5x^2y^4$
в) $(x^3 + x^2y + xy^2 + y^3)(x - y) - x^2y(x - y) = x^4 + x^3y + x^2y^2 + xy^3 - x^3y - x^2y^2 - xy^3 - y^4 - x^3y + x^2y^2 = x^4 - y^4 - x^3y + x^2y^2$
г) $a^2(a^2 - b^2) - (a^3 - a^2b + ab^2 - b^3)(a + b) = a^4 - a^2b^2 - (a^4 - a^3b + a^2b^2 - ab^3 + a^3b - a^2b^2 + ab^3 - b^4) = a^4 - a^2b^2 - a^4 + a^3b - a^2b^2 + ab^3 - a^3b + a^2b^2 - ab^3 + b^4 = b^4 - a^2b^2$
д) $2 - (-4x + 1)(x - 1) + 2(6x - 4)(x + 3) = 2 - (-4x^2 + x + 4x - 1) + 2(6x^2 - 4x + 18x - 12) = 2 + 4x^2 - x - 4x + 1 + 12x^2 - 8x + 36x - 24 = 16x^2 + 23x - 21$
е) $6(x + 1)(x + 1) + 2(x - 1)(x^2 + x + 1) - 2(x + 1) = 6(x^2 + x + x + 1) + 2(x^3 + x^2 + x - x^2 - x - 1) - 2x - 2 = 6(x^2 + 2x + 1) + 2(x^3 - 1) - 2x - 2 = 6x^2 + 12x + 6 + 2x^3 - 2 - 2x - 2 = 2x^3 + 6x^2 + 10x + 2$
ж) $(x + 2)(x^2 - 2x + 4) - x(x - 3)(x + 3) = x^3 + 2x^2 - 2x^2 - 4x + 4x + 8 - x(x^2 - 3x + 3x - 9) = x^3 + 8 - x(x^2 - 9) = x^3 + 8 - x^3 + 9x = 9x + 8$
з) $3(3x - 1)(2x + 5) - 6(2x - 1)(x + 2) = 3(6x^2 - 2x + 15x - 5) - 6(2x^2 - x + 4x - 2) = 18x^2 - 6x + 45x - 15 - 12x^2 + 6x - 24x + 12 = 6x^2 + 21x - 3$
и) $(x^2 + 2)(x^2 + 2) - (x - 2)(x + 2)(x^2 + 4) = x^4 + 2x^2 + 2x^2 + 4 - (x - 2)(x^3 + 2x^2 + 4x + 8) = x^4 + 4x^2 + 4 - (x^4 + 2x^3 + 4x^2 + 8x - 2x^3 - 4x^2 - 8x - 16) = x^4 + 4x^2 + 4 - (x^4 - 16) = x^4 + 4x^2 + 4 - x^4 + 16 = 4x^2 + 20$
к) $5(a - 2)(a + 2) - \frac{1}{2}(8a - 6)(8a - 6) + 17 = 5(a^2 - 2a + 2a - 4) - \frac{1}{2}(64a^2 - 48a - 48a + 36) + 17 = 5(a^2 - 4) - \frac{1}{2}(64a^2 - 96a + 36) + 17 = 5a^2 - 20 - 32a^2 + 48a - 18 + 17 = -27a^2 + 48a - 21$
Задание 317
Упростите целое выражение:
а) $(a^2 + 1)(a^2 + 1) + (a - 1)(a^2 + 1) - a^2$;
б) $(x^2 - 1)(x^4 + x^2 + 1) - (x^2 - 1)(x^2 - 1)(x^2 - 1)$;
в) $(m + \frac{1}{2})(m^2 - \frac{1}{2}m + \frac{1}{4}) - (\frac{1}{2}m^3 - \frac{1}{2}m^2)$;
г) $(\frac{1}{2}a - 2b)(\frac{1}{4}a^2 + ab + 4b^2) - (\frac{1}{8}a^3 - 8b^3)$;
д) $15x^3y^2 - (5xy - 2)(3x^2y + x)$;
е) $\frac{1}{2}(a + b + c)(a + b - c) - ab$;
ж) (a + 2b)(a + c) − (a − 2b)(a − c).
Решение
а) $(a^2 + 1)(a^2 + 1) + (a - 1)(a^2 + 1) - a^2 = a^4 + a^2 + a^2 + 1 + a^3 - a^2 + a - 1 - a^2 = a^4 + a^3 + a$
б) $(x^2 - 1)(x^4 + x^2 + 1) - (x^2 - 1)(x^2 - 1)(x^2 - 1) = x^6 + x^4 + x^2 - x^4 - x^2 - 1 - (x^4 - x^2 - x^2 + 1)(x^2 - 1) = x^6 - 1 - (x^4 - 2x^2 + 1)(x^2 - 1) = x^6 - 1 - (x^6 - 2x^4 + x^2 - x^4 + 2x^2 - 1) = x^6 - 1 - (x^6 - 3x^4 + 3x^2 - 1) = x^6 - 1 - x^6 + 3x^4 - 3x^2 + 1 = 3x^4 - 3x^2$
в) $(m + \frac{1}{2})(m^2 - \frac{1}{2}m + \frac{1}{4}) - (\frac{1}{2}m^3 - \frac{1}{2}m^2) = m^3 - \frac{1}{2}m^2 + \frac{1}{4}m + \frac{1}{2}m^2 - \frac{1}{4}m + \frac{1}{8} - \frac{1}{2}m^3 + \frac{1}{2}m^2 = \frac{1}{2}m^3 + \frac{1}{2}m^2 + \frac{1}{8}$
г) $(\frac{1}{2}a - 2b)(\frac{1}{4}a^2 + ab + 4b^2) - (\frac{1}{8}a^3 - 8b^3) = \frac{1}{8}a^3 + \frac{1}{2}a^2b + 2ab^2 - \frac{1}{2}a^2b - 2ab^2 - 8b^3 - \frac{1}{8}a^3 + 8b^3 = 0$
д) $15x^3y^2 - (5xy - 2)(3x^2y + x) = 15x^3y^2 - (15x^3y^2 - 6x^2y + 5x^2y - 2x) = 15x^3y^2 - 15x^3y^2 + 6x^2y - 5x^2y + 2x = x^2y + 2x$
е) $\frac{1}{2}(a + b + c)(a + b - c) - ab = \frac{1}{2}(a^2 + ab + ac + ab + b^2 + bc - ac - bc - c^2) - ab = \frac{1}{2}(a^2 + 2ab + b^2 - c^2) - ab = \frac{1}{2}a^2 + ab + \frac{1}{2}b^2 - \frac{1}{2}c^2 - ab = \frac{1}{2}a^2 + \frac{1}{2}b^2 - \frac{1}{2}c^2$
ж) $(a + 2b)(a + c) - (a - 2b)(a - c) = a^2 + 2ab + ac + 2bc - (a^2 - 2ab - ac + 2bc) = a^2 + 2ab + ac + 2bc - a^2 + 2ab + ac - 2bc = 4ab + 2ac$
Задание 318
Упростите целое выражение:
а) $(x^2 + y^2 + x + y)(x + y + xy)$;
б) $(2a^2bc - 3b^2c - 7bc^2)(a^2c - b^3c^2 + 3bc^3 - 8c^2)$;
в) $(m^2 - mn^2 - mn - n^2)(m - mn - n^2 + n)$;
г) $(0,1p^3 - 2p^2q - 0,5pq^2 + 1,2p^3)(8p^2 - 0,2pq + 5q^2)$.
Решение
а) $(x^2 + y^2 + x + y)(x + y + xy) = x^3 + xy^2 + x^2 + xy + x^2y + y^3 + xy + y^2 + x^3y + xy^3 + x^2y + xy^2 = x^3 + 2xy^2 + x^2 + 2xy + 2x^2y + y^3 + y^2 + x^3y + xy^3$
б) $(2a^2bc - 3b^2c - 7bc^2)(a^2c - b^3c^2 + 3bc^3 - 8c^2) = 2a^4bc^2 - 3a^2b^2c^2 - 7a^2bc^3 - 2a^2b^4c^3 + 3b^5c^3 + 7b^4c^4 + 6a^2b^2c^4 - 9b^3c^4 - 21b^2c^5 - 16a^2bc^3 + 24b^2c^3 + 56bc^4$
в) $(m^2 - mn^2 - mn - n^2)(m - mn - n^2 + n) = m^3 - m^2n^2 - m^2n - mn^2 - m^3n + m^2n^3 + m^2n^2 + mn^3 - m^2n^2 + mn^4 + mn^3 + n^4 + m^2n - mn^3 - mn^2 - n^3 = m^3 - 2mn^2 - m^3n + m^2n^3 + mn^3 - m^2n^2 + mn^4 + n^4 - n^3$
г) $(0,1p^3 - 2p^2q - 0,5pq^2 + 1,2p^3)(8p^2 - 0,2pq + 5q^2) = (1,3p^3 - 2p^2q - 0,5pq^2)(8p^2 - 0,2pq + 5q^2) = 10,4p^5 - 16p^4q - 4p^3q^2 - 0,26p^4q + 0,4p^3q^2 + 0,1p^2q^3 + 6,5p^3q^2 - 10p^2q^3 - 2,5pq^4 = 10,4p^5 - 16,26p^4q + 2,9p^3q^2 - 9,9p^2q^3 - 2,5pq^4$
