Задание 139
а) Что называют n−й степенью числа a?
б) Что называют основанием степени; показателем степени?
в) Чему равно произведение степеней с одинаковыми показателями?
г) Чему равен показатель степени при возведении степени числа в степень?
Решение
а) n − й степенью числа a называют произведение n множителей, каждый из которых равен a.
$a^n = \underbrace{a * a * ... * a}_{n-раз}$
б) В степени $a^n$:
a − основание степени;
n − показатель степени.
в) Произведение степеней с одинаковыми показателями равно произведению оснований в той же степени:
$a^n * b^n = (a * b)^n$
г) Произведение степеней с одинаковыми основаниями равно этому же числу в степени, равному сумму степеней множителей:
$x^n * x^m = x^{n + m}$
д) При возведении степени числа в степень показатель равен произведению показателей степени:
$(x^n)^m = x^{n * m}$
Задание 140
Укажите какое−либо число, заключенное между данными числами a и b:
а) a = 2,3; b = 2,4;
б) a = 3,2; b = 3,(2);
в) a = −3,15; b = −3,14;
г) a = −5,(3) b = −5,(21).
Решение
а) 2,30 < 2,35 < 2,40
2,3 < 2,35 < 2,4
б) 3,2 < 3,21 < 3,2222...
3,2 < 3,21 < 3,(2)
в) −3,150 < −3,142 < −3,140
−3,15 < −3,142 < −3,14
г) −5,3333... < −5,23 < −5,2121...
−5,(3) < −5,23 < −5,(21)
Задание 141
Число c больше a, но меньше b. Верно ли, что a < b?
Решение
Верно.
Так как число c больше числа a, то число c расположено на координатной прямой правее числа a.
Так как число c меньше числа b, то число b расположено на координатной прямой правее числа c, а значит, и правее числа a.
Поэтому, число a расположено на координатной прямой левее числа c, а значит меньше его.
Задание 142
Верно ли неравенство:
а) 3,5 + 2,729 < 3,6 + 2,729;
б) −3,21 + 0,(4) < −3 + 0,(4);
в) −5,6 + 3,2 < −5,1 + 3,(2);
г) 5 + 0,1 < 5,1 + 0,10110111...?
Решение
а) 3,5 + 2,729 < 3,6 + 2,729
3,5 + 2,729 − 2,729 < 3,6 + 2,729 − 2,729
3,5 < 3,6 − неравенство верно
б) −3,21 + 0,(4) < −3 + 0,(4)
−3,21 + 0,(4) − 0,(4) < −3 + 0,(4) − 0,(4)
−3,21 < −3 − неравенство верно
в) −5,6 + 3,2 < −5,1 + 3,(2)
−5,6 < −5,1 и 3,2 < 3,(2), а значит неравенство верно
г) 5 + 0,1 < 5,1 + 0,10110111...
5 < 5,1 и 0,1 < 0,10110111..., а значит неравенство верно.
Задание 143
Верно ли неравенство:
а) 3,7 * 0,8 < 3,8 * 0,8;
б) −5,1 * 0,(3) < −5 * 0,(3);
в) −4,7(1) * 0,5 < −4,7 * 0,5;
г) −3,(8) * 0,5 < −3,8 * 0,(5)?
Решение
а) 3,7 * 0,8 < 3,8 * 0,8
(3,7 * 0,8) : 0,8 < (3,8 * 0,8) : 0,8
3,7 < 3,8 − неравенство верно
б) −5,1 * 0,(3) < −5 * 0,(3)
(−5,1 * 0,(3)) : 0,(3) < (−5 * 0,(3)) : 0,(3)
−5,1 < −5 − неравенство верно
в) −4,7(1) * 0,5 < −4,7 * 0,5
(−4,7(1) * 0,5) : 0,5 < (−4,7 * 0,5) : 0,5
−4,7(1) < −4,7 − неравенство верно
г) −3,(8) * 0,5 < −3,8 * 0,(5)
−3,(8) < −3,8 и 0,5 < 0,(5), значит
Задание 144
Верно ли равенство:
а) $3\frac{1}{3} + 0,(2) = 0,(2) + 3\frac{1}{3}$;
б) (−5,1 + 3,(3)) + 7 = −5,1 + (3,(3) + 7);
в) (−5,4 * (−7)) * 2 = −5,4 * ((−7) * 2)?
Решение
а) $3\frac{1}{3} + 0,(2) = 0,(2) + 3\frac{1}{3}$ − верно в соответствии с переместительным свойством сложения.
б) (−5,1 + 3,(3)) + 7 = −5,1 + (3,(3) + 7) − верно в соответствии с сочетательным свойством сложения.
в) (−5,4 * (−7)) * 2 = −5,4 * ((−7) * 2) − верно в соответствии с сочетательным свойством умножения.
Задание 145
Какими свойствами арифметических действий воспользовались при вычислениях:
а) 25 * 7 * 3 * 4 = 25 * 4 * 7 * 3 = 100 * 21 = 2100;
б) 1,5 * 7 = (1 + 0,5) * 7 = 1 * 7 + 0,5 * 7 = 7 + 3,5 = 10,5;
в) $6\frac{2}{5} + 2\frac{2}{5} = 6 + \frac{2}{5} + 2 + \frac{2}{5} = 6 + 2 + \frac{2}{5} + \frac{2}{5} = 8\frac{4}{5}$?
Решение
а) 25 * 7 * 3 * 4 = 25 * 4 * 7 * 3 = 100 * 21 = 2100
переместительное и сочетательное свойства умножения
б) 1,5 * 7 = (1 + 0,5) * 7 = 1 * 7 + 0,5 * 7 = 7 + 3,5 = 10,5
распределительное свойство умножения относительно сложения
в) $6\frac{2}{5} + 2\frac{2}{5} = 6 + \frac{2}{5} + 2 + \frac{2}{5} = 6 + 2 + \frac{2}{5} + \frac{2}{5} = 8\frac{4}{5}$
переместительное и сочетательное свойства сложения
Задание 146
Вычислите:
а) 3,(27) * 5 − 3,(27) * 4;
б) 5,(21) * 7 + 5,(21) * 3;
в) 3,(5) * 7,3 − 7,3 * 3,(5);
г) 2,(7) * 5,41 − 5,41 * 2,(7);
д) 13,(13) − 13,(13);
е) −1 * 3,(51);
ж) 0 * 5,1234567...;
з) 1 * (−5,1234567...);
и) $1 * \frac{17}{19}$;
к) $3 * \frac{1}{3}$;
л) $-3,4 * \frac{1}{-3,4}$;
м) $-5 * \frac{1}{8}$;
н) 11,101101110... + (−11,101101110...).
Решение
а) 3,(27) * 5 − 3,(27) * 4 = 3,(27) * (5 − 4) = 3,(27) * 1 = 3,(27)
б) 5,(21) * 7 + 5,(21) * 3 = 5,(21) * (7 + 3) = 5,(21) * 10 = 52,(12)
в) 3,(5) * 7,3 − 7,3 * 3,(5) = 3,(5) * (7,3 − 7,3) = 3,(5) * 0 = 0
г) 2,(7) * 5,41 − 5,41 * 2,(7) = 2,(7) * (5,41 − 5,41) = 2,(7) * 0 = 0
д) 13,(13) − 13,(13) = 0
е) −1 * 3,(51) = −3,(51)
ж) 0 * 5,1234567... = 0
з) 1 * (−5,1234567...) = −5,1234567...
и) $1 * \frac{17}{19} = \frac{17}{19}$
к) $3 * \frac{1}{3} = 1$
л) $-3,4 * \frac{1}{-3,4} = 1$
м) $-5 * \frac{1}{8} = -\frac{5}{8}$
н) 11,101101110... + (−11,101101110...) = 0
Задание 147
Вычислите:
а) (3,2 * (−1,7)) + 1,7;
б) (5,9 + (−0,(7))) + 0,(7);
в) $(5,4 * 1,7) * \frac{1}{1,7}$;
г) $(-2,(95) * 5,28) * \frac{1}{5,28}$.
Решение
а) (3,2 * (−1,7)) + 1,7 = 3,2 + ((−1,7) + 1,7) = 3,2 + 0 = 3,2
б) (5,9 + (−0,(7))) + 0,(7) = 5,9 + (−0,(7) + 0,(7)) = 5,9 + 0 = 5,9
в) $(5,4 * 1,7) * \frac{1}{1,7} = 5,4 * (1,7 * \frac{1}{1,7}) = 5,4 * 1 = 5,4$
г) $(-2,(95) * 5,28) * \frac{1}{5,28} = -2,(95) * (5,28 * \frac{1}{5,28}) = -2,(95) * 1 = -2,(95)$
