Ответы к теме 3.3. Сравнение действительных чисел
Задание 119
В каком случае два действительных числа a и b равны (a = b)?
Ответ
Два действительных числа равны между собой, если они имеют одинаковые знаки и их абсолютные величины имеют одинаковые целые части и одинаковые цифры соответствующих разрядов.
Задание 120
В каком случае два действительных числа a и b не равны (a ≠ b)?
Ответ
Два действительных числа a и b не равны, если:
1) они имеют разные знаки;
2) они имеют одинаковые знаки и их абсолютные величины не равны.
Задание 121
Сформулируйте правила сравнения действительного числа с нулем.
Ответ
Любое отрицательное действительное число меньше нуля. Любое положительное действительное число меньше нуля.
Задание 122
Как сравнивают:
а) положительные действительные числа;
б) отрицательные действительные числа?
Решение
а) Из двух положительных чисел больше то, у которого больше абсолютная величина.
б) Из двух отрицательных действительных чисел больше то, у которого меньше абсолютная величина.
Задание 123
Пусть |a| = |b|. В каком случае a ≠ b?
Решение
Если |a| = |b|, то a ≠ b, когда числа a и b имеют разные знаки и не равны нулю.
Задание 124
В каком случае:
а) если a > b, то и |a| > |b|;
б) если a > b, то |a| < |b|?
Решение
а) если a > b, то и |a| > |b| когда числа a и b − положительны
б) если a > b, то |a| < |b| когда числа a и b − отрицательны
Задание 125
Может ли число быть:
а) больше своей абсолютной величины;
б) равным своей абсолютной величине;
в) меньше своей абсолютной величины?
Если да, то приведите примеры.
Решение
а) Число не может быть больше своей абсолютной величины.
б) Число может быть равным своей абсолютной величине, если это число 0. 0 = |0|
в) Число может быть меньше своей абсолютно величины, если это число отрицательно, −5 < |−5|
Задание 126
Не выполняя всех вычислений, объясните, почему верно неравенство:
а) $0 * (-5\frac{1}{3}) < 3,(4) * 5,1$;
б) (−12,98) * 0 > 5,(8) * (−4,6);
в) $2,(5) * (-2\frac{1}{13}) < 3,(4) * 5,(1)$;
г) (5,(6) − 5,(6)) * 13 > −6,7 * 8,9;
д) $(-3,(7) + 3,(7)) * 8,98 < -8,1 * (-4\frac{1}{7})$.
Решение
а) $0 * (-5\frac{1}{3}) < 3,(4) * 5,1$
Так как в левой части неравенства получится ноль, а в правой части − положительное число. Ноль меньше любого положительного числа.
б) (−12,98) * 0 > 5,(8) * (−4,6)
Так как в левой части неравенства получится ноль, а в правой части − отрицательное число. Ноль больше любого отрицательного числа.
в) $2,(5) * (-2\frac{1}{13}) < 3,(4) * 5,(1)$
Так как в левой части неравенства получится отрицательное число, а в правой части − положительное число. Любое отрицательное число меньше любого положительного числа.
г) (5,(6) − 5,(6)) * 13 > −6,7 * 8,9
Так как в левой части неравенства получится ноль, а в правой части − отрицательное число. Ноль больше любого отрицательного числа.
д) $(-3,(7) + 3,(7)) * 8,98 < -8,1 * (-4\frac{1}{7})$
Так как в левой части неравенства получится ноль, а в правой части − отрицательное число. Ноль больше любого отрицательного числа.
Задание 127!
Покажите справедливость двойного неравенства:
а) 0,75757 < 0,(75) < 0,75758;
б) 3,023023 < 3,(023) < 3,023024.
Решение
а) 0,75757 < 0,(75) < 0,75758
0,757570 < 0,757575... < 0,757580
б) 3,023023 < 3,(023) < 3,023024
3,02302300 < 3,02302302... < 3,02302400
