Задание 38
Выпишите первые 25 простых чисел в порядке возрастания.
Ответ
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 79, 73, 83, 89, 97.
Задание 39
Выпишите все составные числа, не превышающие 50, в порядке возрастания.
Ответ
4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 30, 32, 33, 34, 35, 36, 38, 40, 42, 44, 45, 46, 48, 49.
Задание 40
Докажите, что 2 − единственное четное простое число.
Решение
2 − единственно четное простое число, так как имеет только 2 делителя − число 1 и само число 2, а все остальные четные числа кроме числа 1 и самого числа делится еще на 2, то есть имеют более двух делителей.
Задание 41
Запишите числа 48 и 96 в виде разности квадратов двух простых чисел.
Решение
$48 = 49 - 1 = 7^2 - 1^2$;
$96 = 100 - 4 = 10^2 - 2^2$.
Задание 42
Можно ли простое число записать в виде суммы:
а) двух четных чисел;
б) двух нечетных чисел;
в) четного и нечетного чисел?
Решение
а) нельзя, так как сумма двух четны чисел является четным числом.
б) нельзя, так как сумма двух нечетных чисел является четным числом.
в) можно, например: 2 + 3 = 5
Задание 43
Леонард Эйлер предложил такую формулу простых чисел: $p = n^2 - n + 41$. Сколько простых чисел дает эта формула при подстановке в нее последовательных натуральных чисел, начиная с 1? Выполните вычисления до получения первого составного числа.
Решение
$p = n^2 - n + 41 = n^2 + (-n) + 41$
Чтобы сумма делилась на какое−то число, нужно чтобы каждое слагаемое делилось на это число. Так как число 41 простое, значит оно может делиться только на 41, значит $n^2$ и (−n) − должны делиться на 41. $n^2$ и (−n) будет делиться на 41 при n = 41, так как:
$p = 41^2 - 41 + 41 = 41(41 - 1 + 1)= 41 * 41$
Таким образом, 40 простых чисел дает эта формула при подстановке в нее последовательных натуральных чисел, начиная с 1.
Вычисления, начиная с 1:
при n = 1:
$p = 1^2 - 1 + 41 = 1 + 40 = 41$ − простое число.
при n = 2:
$p = 2^2 - 2 + 41 = 4 + 39 = 43$ − простое число.
при n = 3:
$p = 3^2 - 3 + 41 = 9 + 38 = 47$ − простое число.
при n = 4:
$p = 4^2 - 4 + 41 = 16 + 37 = 53$ − простое число.
при n = 5:
$p = 5^2 - 5 + 41 = 25 + 36 = 61$ − простое число.
при n = 6:
$p = 6^2 - 6 + 41 = 36 + 35 = 71$ − простое число.
при n = 7:
$p = 7^2 - 7 + 41 = 49 + 34 = 83$ − простое число.
при n = 8:
$p = 8^2 - 8 + 41 = 64 + 33 = 97$ − простое число.
при n = 9:
$p = 9^2 - 9 + 41 = 81 + 32 = 113$ − простое число.
при n = 10:
$p = 10^2 - 10 + 41 = 100 + 31 = 131$ − простое число.
при n = 11:
$p = 11^2 - 11 + 41 = 121 + 30 = 151$ − простое число.
при n = 12:
$p = 12^2 - 12 + 41 = 144 + 29 = 173$ − простое число.
при n = 13:
$p = 13^2 - 13 + 41 = 169 + 28 = 197$ − простое число.
при n = 14:
$p = 14^2 - 14 + 41 = 196 + 27 = 223$ − простое число.
при n = 15:
$p = 15^2 - 15 + 41 = 225 + 26 = 251$ − простое число.
при n = 16:
$p = 16^2 - 16 + 41 = 256 + 25 = 281$ − простое число.
при n = 17:
$p = 17^2 - 17 + 41 = 289 + 24 = 313$ − простое число.
при n = 18:
$p = 18^2 - 18 + 41 = 324 + 23 = 347$ − простое число.
при n = 19:
$p = 19^2 - 19 + 41 = 361 + 22 = 383$ − простое число.
при n = 20:
$p = 20^2 - 20 + 41 = 400 + 21 = 421$ − простое число.
при n = 21:
$p = 21^2 - 21 + 41 = 441 + 20 = 461$ − простое число.
при n = 22:
$p = 22^2 - 22 + 41 = 484 + 19 = 503$ − простое число.
при n = 23:
$p = 23^2 - 23 + 41 = 529 + 18 = 547$ − простое число.
при n = 24:
$p = 24^2 - 24 + 41 = 576 + 17 = 593$ − простое число.
при n = 25:
$p = 25^2 - 25 + 41 = 625 + 16 = 641$ − простое число.
при n = 26:
$p = 26^2 - 26 + 41 = 676 + 15 = 691$ − простое число.
при n = 27:
$p = 27^2 - 27 + 41 = 729 + 14 = 743$ − простое число.
при n = 28:
$p = 28^2 - 28 + 41 = 784 + 13 = 797$ − простое число.
при n = 29:
$p = 29^2 - 29 + 41 = 841 + 12 = 853$ − простое число.
при n = 30:
$p = 30^2 - 30 + 41 = 900 + 11 = 911$ − простое число.
при n = 31:
$p = 31^2 - 31 + 41 = 961 + 10 = 971$ − простое число.
при n = 32:
$p = 32^2 - 32 + 41 = 1024 + 9 = 1033$ − простое число.
при n = 33:
$p = 33^2 - 33 + 41 = 1089 + 8 = 1097$ − простое число.
при n = 34:
$p = 34^2 - 34 + 41 = 1156 + 7 = 1163$ − простое число.
при n = 35:
$p = 35^2 - 35 + 41 = 1225 + 6 = 1231$ − простое число.
при n = 36:
$p = 36^2 - 36 + 41 = 1296 + 5 = 1301$ − простое число.
при n = 37:
$p = 37^2 - 37 + 41 = 1369 + 4 = 1373$ − простое число.
при n = 38:
$p = 38^2 - 38 + 41 = 1444 + 3 = 1447$ − простое число.
при n = 39:
$p = 39^2 - 39 + 41 = 1521 + 2 = 1523$ − простое число.
при n = 40:
$p = 40^2 - 40 + 41 = 1600 + 1 = 1601$ − простое число.
при n = 41:
$p = 41^2 - 41 + 41 = 1681 + 0 = 1681$ − составное число.
Задание 44
Докажите, что найдется такое натуральное число n, для которого $n^2 - n + 41$ является составным числом.
Решение
$n^2 - n + 41 = n^2 + (-n) + 41$
Чтобы сумма делилась на какое−то число, нужно чтобы каждое слагаемое делилось на это число. Так как число 41 простое, значит оно может делиться только на 41, значит $n^2$ и (−n) − должны делиться на 41. $n^2$ и (−n) будет делиться на 41 при n = 41, так как:
$p = 41^2 - 41 + 41 = 41(41 - 1 + 1)= 41 * 41 = 1681$
Значит, $n^2 - n + 41$ делится на 1, 41, 1681, то есть имеет более двух натуральных делителей и является составным числом.
Задание 45
а) Докажите, что одно из трех соседних нечетных чисел делится на 3.
б) Известно, что p, p + 2, p + 4 − простые числа. Найдите p. Докажите, что других p не существует.
Решение
а) Нечетное число, которое не делится на 3 можно представить в виде:
3n + 1 или 3n + 2.
Тогда 2 следующих нечетных числа будут:
для 3n + 1:
3n + (1 + 2) = 3n + 3 = 3(n + 3) − делится на 3;
3n + (3 + 2) = 3n + 5.
для 3n + 2:
3n + (2 + 2) = 3n + 4;
3n + (4 + 2) = 3n + 6 = 3(n + 2) − делится на 3.
Получается, что одно из трех соседних нечетных чисел обязательно делится на 3.
б) Данные числа будут простыми при p = 3, тогда:
p + 2 = 3 + 2 = 5 − простое число,
p + 4 = 3 + 4 = 7 − простое число.
Известно, что из трех соседних нечетных чисел одно обязательно делится на 3, поэтому других чисел, кроме p = 3, не существует.
