Задание № 687
Являются ли взаимно простыми числа:
а) 12 и 25;
б) 40 и 39;
в) 55 и 42;
г) 22 и 51;
д) 48 и 49;
е) 39 и 50;
ж) 17 и 48;
з) 11 и 45;
и) 13 и 50?
Найдите наименьшее общее кратное этих чисел.
Решение
а)
$\begin{array}{r|l}12&2\\6&2\\3&3\\1&\end{array}$ $\begin{array}{r|l}25&5\\5&5\\1&\end{array}$
Числа 12 и 25 не имеют общих простых делителей, а значит, являются взаимно простыми.
${\operatorname Н}{\operatorname О}{\operatorname К}(12,25)=5^2\ast2^2\ast3=300$
б) Числа 40 и 39 − соседние числа в ряду натуральных чисел, а два соседних натуральных числа являются взаимно простыми.
НОК (40, 39) = 40 * 39 = 1560
в)
$\begin{array}{r|l}55&5\\11&11\\1&\end{array}$ $\begin{array}{r|l}42&2\\21&3\\7&7\\1&\end{array}$
Числа 55 и 42 не имеют общих простых делителей, а значит, являются взаимно простыми.
НОК (55,42) = 5 * 11 * 2 * 3 * 7 = 2310
г)
$\begin{array}{r|l}22&2\\11&11\\1&\end{array}$ $\begin{array}{r|l}51&3\\17&17\\1&\end{array}$
Числа 22 и 51 не имеют общих простых делителей, а значит, являются взаимно простыми.
НОК (22, 51) = 2 * 11 * 3 * 17 = 1122
д) 48 и 49 − соседние числа в ряду натуральных чисел, а два соседних натуральных числа являются взаимно простыми.
НОК (48, 49) = 48 * 49 = 2352
е)
$\begin{array}{r|l}39&3\\13&13\\1&\end{array}$ $\begin{array}{r|l}50&2\\25&5\\5&5\\1&\end{array}$
Числа 39 и 50 не имеют общих простых делителей, а значит, являются взаимно простыми.
${\operatorname Н}{\operatorname О}{\operatorname К}(39,50)=3\ast13\ast2\ast5^2=1950$
ж)
$\begin{array}{r|l}17&17\\1&\end{array}$ $\begin{array}{r|l}48&2\\24&2\\12&2\\6&2\\3&3\\1&\end{array}$
Числа 17 и 48 не имеют общих простых делителей, а значит, являются взаимно простыми.
${\operatorname Н}{\operatorname О}{\operatorname К}(17,48)=17\ast2^4\ast3=816$
з)
$\begin{array}{r|l}11&11\\1&\end{array}$ $\begin{array}{r|l}45&3\\15&3\\5&5\\1&\end{array}$
Числа 11 и 45 не имеют общих простых делителей, а значит, являются взаимно простыми.
${\operatorname Н}{\operatorname О}{\operatorname К}(11,45)=11\ast3^2\ast5=495$
и)
$\begin{array}{r|l}13&13\\1&\end{array}$ $\begin{array}{r|l}50&2\\25&5\\5&5\\1&\end{array}$
Числа 13 и 50 не имеют общих простых делителей, а значит, являются взаимно простыми.
${\operatorname Н}{\operatorname О}{\operatorname К}(13,50)=13\ast2\ast5^2=650$
Задание № 688
Найдите:
а) НОК (4, 5);
б) НОК (3, 11);
в) НОК (7, 8);
г) НОК (9, 10);
д) НОК (5, 13);
е) НОК (17, 3);
ж) НОК (13, 11);
з) НОК (10, 11);
и) НОК (19, 20).
Решение
а) 4 и 5 − соседние числа в ряду натуральных чисел, а два соседних натуральных числа являются взаимно простыми.
НОК (4, 5) = 4 * 5 = 20
б) 3 и 11 − простые числа, а два различных числа являются взаимно простыми.
НОК (3, 11) = 3 * 11 = 33
в) 7 и 8 − соседние числа в ряду натуральных чисел, а два соседних натуральных числа являются взаимно простыми.
НОК (7, 8) = 7 * 8 = 56
г) 9 и 10 − соседние числа в ряду натуральных чисел, а два соседних натуральных числа являются взаимно простыми.
НОК (9, 10) = 9 * 10 = 90
д) 5 и 13 − простые числа, а два различных числа являются взаимно простыми.
НОК (5, 13) = 5 * 13 = 65
е) 17 и 3 − простые числа, а два различных числа являются взаимно простыми.
НОК (17, 3) = 17 * 3 = 51
ж) 13 и 11 − простые числа, а два различных числа являются взаимно простыми.
НОК (13, 11) = 13 * 11 = 143
з) 10 и 11 − соседние числа в ряду натуральных чисел, а два соседних натуральных числа являются взаимно простыми.
НОК (10, 11) = 10 * 11 = 110
и) 19 и 20 − соседние числа в ряду натуральных чисел, а два соседних натуральных числа являются взаимно простыми.
НОК (19, 20) = 19 * 20 = 380
Задание № 689
Напишите пять пар чисел a и b, что НОК (a, b) = a.
Решение
1) a = 4, b = 2;
2) a = 16, b = 8;
3) a = 28, b = 4;
4) a = 35, b = 5;
5) a = 100, b = 10.
Задание № 690
Найдите:
а) НОК (36, 48);
б) НОК (49, 50);
в) НОК (14, 15);
г) НОК (99, 100);
д) НОК (28, 21);
е) НОК (24, 23).
Решение
а)
$\begin{array}{r|l}36&2\\18&2\\9&3\\3&3\\1&\end{array}$ $\begin{array}{r|l}48&2\\24&2\\12&3\\6&2\\3&3\\1&\end{array}$
$36=2^2\ast3^2$
$48=2^4\ast3$
${\operatorname Н}{\operatorname О}{\operatorname К}(36,48)=2^4\ast3^2=144$
б) 49 и 50 − соседние числа в ряду натуральных чисел, а два соседних натуральных числа являются взаимно простыми.
НОК (49, 50) = 49 * 50 = 2450
в) 14 и 15 − соседние числа в ряду натуральных чисел, а два соседних натуральных числа являются взаимно простыми.
НОК (14, 15) = 14 * 15 = 210
г) 99 и 100 − соседние числа в ряду натуральных чисел, а два соседних натуральных числа являются взаимно простыми.
НОК (99, 100) = 99 * 100 = 9900
д)
$\begin{array}{r|l}28&2\\14&2\\7&7\\1&\end{array}$ $\begin{array}{r|l}21&3\\7&7\\1&\end{array}$
$28=2^2\ast7$
21 = 3 * 7
${\operatorname Н}{\operatorname О}{\operatorname К}(28,21)=2^2\ast7\ast3=84$
е) 23 и 24 − соседние числа в ряду натуральных чисел, а два соседних натуральных числа являются взаимно простыми.
НОК (24, 23) = 24 * 23 = 552
Задание № 691
Найдите:
а) НОК (19, 10);
б) НОК (11, 110);
в) НОК (26, 52);
г) НОК (11, 23);
д) НОК (88, 66);
е) НОК (198, 9).
Решение
а)
$\begin{array}{r|l}19&19\\1&\end{array}$ $\begin{array}{r|l}10&2\\5&5\\1&\end{array}$
19 = 1 * 19;
10 = 1 * 2 * 5;
НОК (19, 10) = 2 * 5 * 19 = 190.
б) 110 = 11 * 10;
НОК (11, 110) = 110.
в) 52 = 26 * 2;
НОК (26, 52) = 52.
г) НОК (11, 23) = 11 * 23 = 253
д)
$\begin{array}{r|l}88&2\\44&2\\22&2\\11&11\\1&\end{array}$ $\begin{array}{r|l}66&2\\33&3\\11&11\\1&\end{array}$
$88=2^3\ast11$
66 = 2 * 3 * 11
${\operatorname Н}{\operatorname О}{\operatorname К}(88,66)=2^3\ast11\ast3=264$
е) 198 = 9 * 22;
НОК (198, 9) = 198.
Задание № 692
Ученица нашла НОК (33, 198) и получила 99. Не проверяя вычислений, учитель определил, что была допущена ошибка. Как он это сделал?
Решение
Полученный результат должен делиться на оба числа, а 99 на 198 не делится, так как 99 < 198.
Задание № 693
Объясните, почему наименьшее общее кратное двух чисел:
а) не может быть меньше любого из этих чисел;
б) делится на все делители этих чисел.
Решение
а) Если наименьшее общее кратное будет меньше одного из данных чисел, то оно будет делиться на это число (нельзя разделить нацело меньшее число на большее), а значит, наименьшее общее кратное двух чисел не может быть меньше одного из этих чисел.
б) Наименьшее общее кратное делится на каждое из двух данных чисел, поэтому оно делится на все делители этих чисел.
Задание № 694
Даны разложения чисел a и b на простые множители, найдите НОД (a, b) и НОК (a, b).
а) $a=2^3\ast3^4\ast5$
$b=2^4\ast3^5\ast5^2$
б) $a=2^2\ast3^3\ast5^2$
$b=3^2\ast5^3$
(Для решения задачи достаточно составить произведение и не вычислять его.)
Решение
Задание № 695
Убедитесь, что НОД (36, 24) * НОК (36, 24) = 36 * 24. Выполняется ли это свойство для других пар чисел?
Решение
$\begin{array}{r|l}36&2\\18&2\\9&3\\3&3\\1&\end{array}$ $\begin{array}{r|l}24&2\\12&2\\6&2\\3&3\\1&\end{array}$
36 = 2 * 2 * 3 * 3
24 = 2 * 2 * 2 * 3
${\operatorname Н}{\operatorname О}{\operatorname Д}(36,24)=2^2\ast3=12$
${\operatorname Н}{\operatorname О}{\operatorname К}(36,24)=2^3\ast3^2=72$
НОД (36, 24) * НОК (36, 24) = 12 * 72 = 954 = 36 * 24
Задание № 696
Докажите, что НОД (a, b) * НОК (a, b) = a * b:
а) для взаимно простых чисел;
б) для любых чисел.
Решение
а) Пусть a и b − простые числа, тогда:
НОД (a, b) = 1, а НОК (a, b) = a * b.
НОД (a, b) * НОК (a, b) = 1 * a * b = a * b − что и требовалось доказать.
б) Пусть a и b − натуральные числа, тогда:
НОД (a, b) = n, а НОК (a, b) = m.
a = x * n (где x − натуральное число);
b = y * n (где y − натуральное число);
m = x * y * n;
НОД (a, b) * НОК (a, b) = n * m = n * x * y * n = (x * n) * (y * n) = a * b − что и требовалось доказать.
