Задание № 675
Объясните, почему наибольший общий делитель двух чисел:
а) не может быть больше одного из этих чисел;
б) делится на все общие делители этих чисел.
Решение
а) Если наибольший общий делитель будет больше одного из данных чисел, то это число не будет на него делиться (нельзя разделить нацело меньшее число на большее), а значит, наибольший общий делитель двух чисел не может быть больше одного из этих чисел.
б) Наибольший общий делитель является произведением общих простых множителей двух чисел, поэтому он делится на все общие делители этих чисел.
Задание № 676
Даны разложения чисел a и b на простые множители. Найдите НОД (a, b).
а) $a=2^3\ast3^4\ast5\ast7^2$
$b=2^2\ast3^5\ast5^2\ast7$
б) $a=2^4\ast3^2\ast5^2\ast11^3$
$b=2\ast5^3\ast7\ast19^2$
Решение
Задание № 677
Найдите:
а) НОД (1, 48);
б) НОД (15, 55);
в) НОД (182, 82);
г) НОД (100, 25);
д) НОД (1000, 125);
е) НОД (121, 11).
Решение
а) 48 = 1 * 48;
НОД (1, 48) = 1.
б)
$\begin{array}{r|l}15&3\\5&5\\1&\end{array}$ $\begin{array}{r|l}55&5\\11&11\\1&\end{array}$
15 = 1_ * 3 * 5_;
55 = 1_ * 5_ * 11;
НОД (15, 55) = 1 * 5 = 5.
в)
$\begin{array}{r|l}182&2\\91&7\\13&13\\1&\end{array}$ $\begin{array}{r|l}82&2\\41&41\\1&\end{array}$
182 = 1 * 2 * 7 * 13;
82 = 1 * 2 * 41;
НОД (182, 82) = 1 * 2 = 2.
г) 100 = 25 * 4;
НОД (100, 25) = 25.
д) 1000 = 125 * 8;
НОД (1000, 125) = 125.
е) $121=11^2$
НОД (121, 11) = 11.
Задание № 678
Для участия в эстафете нужно разделить 36 девочек и 24 мальчика на команды с одинаковым числом участников, состоящие только из мальчиков или только из девочек. Какое наибольшее число участников может быть в каждой команде? Сколько команд получится?
Решение
1)
$\begin{array}{r|l}36&2\\18&2\\9&3\\3&3\\1&\end{array}$ $\begin{array}{r|l}24&2\\12&2\\6&2\\3&3\\1&\end{array}$
36 = 1 * 2 * 2 * 3 * 3;
24 = 1 * 2 * 2 * 2 * 3;
НОД (36, 24) = 1 * 2 * 2 * 3 = 12 (человек) − наибольшее число участников в каждой команде.
2) 36 : 12 + 24 : 12 = 5 (команд) − с наибольшим число участников.
Ответ: 12 участников; 5 команд.
Задание № 679
Для новогодних подарков приготовили 184 мандарина и 138 яблок. В какое наибольшее число подарков можно разложить все эти мандарины и яблоки так, чтобы во всех подарках было поровну мандаринов и поровну яблок?
Решение
$\begin{array}{r|l}184&2\\92&2\\46&2\\23&23\\1&\end{array}$ $\begin{array}{r|l}138&2\\69&3\\23&23\\1&\end{array}$
184 = 1 * 2 * 2 * 2 * 23;
138 = 1 * 2 * 3 * 23;
НОД (184, 138) = 1 * 2 * 23 = 46 (штук) − наибольшее число подарков.
Ответ: фрукты можно разложить в 46 подарков.