Задание 570. а) Что называют многоугольником?
б) Что называют сторонами, углами, вершинами многоугольника?
в) Что называют периметром многоугольника?
г) Какой многоугольник называют выпуклым?
д) Какие многоугольники называют равными?
Решение
а) Фигуру, образованную такой замкнутой ломаной линией, то никакие два ее звена не имеют общих точек, кроме концов соседних звеньев ломаной, называют многоугольником.
б) Звенья ломаной называют сторонами многоугольника, углы, составленные каждыми двумя соседними сторонами, − углами многоугольника, а их вершины − вершинами многоугольника.
в) Сумму длин сторон многоугольника называют его периметром.
г) Многоугольник называют выпуклым, если он весь расположен по одну сторону от каждой прямой, содержащей его сторону.
д) Два многоугольника называют равными, если их можно совместить при наложении.
Задание 571. Постройте пятиугольник ABCDE. Назовите все его стороны и вершины.
Решение
Стороны: AB, BC, CD, DE, EA.
Вершины: A, B, C, D, E.
Задание 572. Отрезок, соединяющий две несоседние вершины многоугольника, называют диагональю многоугольника. Например, в четырехугольнике ABCD отрезка AC и BD − диагонали (рис.119).
Сколько диагоналей в выпуклом:
а) четырехугольнике;
б) пятиугольнике;
в) шестиугольнике;
г) семиугольнике?
Решение
Пусть многоугольник имеет n вершин. Тогда из каждой вершины выходит (n − 3) диагоналей (1 − сама вершина и 2 − соседние вершины).
Так как диагональ соединяет 2 вершины, значит необходимо (n − 3) разделить пополам и умножить на количество вершин, тогда мы получим, что количество диагоналей n − угольника равняется n * (n − 3) : 2.
а) 4 * (4 − 3) : 2 = 4 * 1 : 2 = 2 (диагонали) − в выпуклом четырехугольнике.
б) 5 * (5 − 3) : 2 = 5 * 2 : 2 = 10 : 2 = 5 (диагоналей) − в выпуклом пятиугольнике.
в) 6 * (6 − 3) : 2 = 6 * 3 : 2 = 18 : 2 = 9 (диагоналей) − в выпуклом шестиугольнике.
г) 7 * (7 − 3) : 2 = 7 * 4 : 2 = 28 : 2 = 14 (диагоналей) − в выпуклом семиугольнике.
Задание 573. Сколько диагоналей в выпуклом:
а) десятиугольнике;
б) двадцатиугольнике?
Решение
а) 10 * (10 − 3) : 2 = 10 * 7 : 2 = 35 (д.) − в выпуклом десятиугольнике.
Ответ: 35 диагоналей.
б) 20 * (20 − 3) : 2 = 20 * 17 : 2 = 170 (д.) − в выпуклом двадцатиугольнике.
Ответ: 170 диагоналей.
Задание 574. а) Исследуйте зависимость числа диагоналей (d) выпуклого многоугольника, выходящих из одной его вершины, от числа сторон этого многоугольника (n). Результаты занесите в таблицу.
б) Задайте формулой зависимость d от n.
Решение
а) Зависимость: число диагоналей выпуклого многоугольника, выходящих из одной его вершины, на 3 меньше, чем сторон этого многоугольника.
б) d = n − 3
Задание 575. а) Исследуйте зависимость числа диагоналей (d) выпуклого многоугольника от числа его сторон (n). Результаты занесите в таблицу.
б) Задайте формулой зависимость d от n.
Решение
а) 4 * (4 − 3) : 2 = 4 * 1 : 2 = 4 : 2 = 2;
5 * (5 − 3) : 2 = 5 * 2 : 2 = 10 : 2 = 5;
6 * (6 − 3) : 2 = 6 * 3 : 2 = 18 : 2 = 9;
7 * (7 − 3) : 2 = 7 * 4 : 2 = 28 : 2 = 14;
8 * (8 − 3) : 2 = 8 * 5 : 2 = 40 : 2 = 20;
9 * (9 − 3) : 2 = 9 * 6 : 2 = 54 : 2 = 27;
10 * (10 − 3) : 2 = 10 * 7 : 2 = 70 : 2 = 35;
11 * (11 − 3) : 2 = 11 * 8 : 2 = 88 : 2 = 44;
12 * (12 − 3) : 2 = 12 * 9 : 2 = 108 : 2 = 54.
б) d = n * (n − 3) : 2
