Задание №1012

Составьте какую−нибудь систему двух линейных уравнений с двумя переменными, решением которой является пара значений переменных:
1) x = 3, y = 2;
2) x = −4, y = 1;
3) x = 5, y = 0.

Решение:

1) x = 3, y = 2.
ax + by = c
3a + 2b = c
Пусть a = 2, b = 1, тогда:
3 * 2 + 2 * 1 = c
6 + 2 = с
с = 8, следовательно 2x + y = 8.
Пусть a = 1, b = 5, тогда:
3 * 1 + 2 * 5 = c
3 + 10 = с
с = 13, следовательно x + 5y = 13.
{ 2 x + y = 8,
   x + 5 y = 13.

2) x = −4, y = 1.
ax + by = c
−4a + b = c
Пусть a = 2, b = 1, тогда:
−4 * 2 + 1 = c
−8 + 1 = с
с = −7, следовательно 2x + y = −7.
Пусть a = 1, b = 5, тогда:
−4 * 1 + 5 = c
−4 + 5 = с
с = 1, следовательно x + 5y = 1.
{ 2 x + y = − 7,
   x + 5 y = 1.

3) x = 5, y = 0.
ax + by = c
5a + 0 = c
5a = c
Пусть a = 2, тогда:
5 * 2 = c
с = 10, следовательно 2x = 10.
Пусть a = 1, тогда:
5 * 1 = c
с = 5, следовательно x = 5.
{ 2 x = 10,
  x = 5.

Задание №1013

Составьте какую−нибудь систему двух линейных уравнений с двумя переменными, решением которой является пара чисел (2; −2).

Решение:

x = 2, y = −2.
ax + by = c
2a − 2b = c
Пусть a = 2, b = 1, тогда:
2 * 2 − 2 * 1 = c
4 − 2 = с
с = 2, следовательно 2x + y = 2.
Пусть a = 1, b = 5, тогда:
2 * 1 − 2 * 5 = c
2 − 10 = с
с = −8, следовательно x + 5y = −8.
{ 2 x + y = 2,
  x + 5 y = − 8.

Задание №1014

Пара чисел (6;4) является решением системы уравнений:
1) { a x + 2 y = 26,
      4 x + b y = 14 ;

2)  { 5 x + b y = 6,
        a x + b y = 0.

Найдите значения a и b.

Решение:

1) x = 6, y = 4.
ax + 2y = 26
6a + 2 * 4 = 26
6a + 8 = 26
6a = 26 − 8
6a = 18
a = 18 : 6
a = 3;
4x + by = 14
4 * 6 + 4b = 14
24 + 4b = 14
4b = 14 − 24
4b = −10
b = −10 : 4
b = −2,5.

2) x = 6, y = 4.
5x + by = 6
5 * 6 + 4b = 6
30 + 4b = 6
4b = 6 − 30
4b = −24
b = −24 : 4
b = −6;
ax + by = 0
6a + −6 * 4 = 0
6a − 24 = 0
6a = 24
a = 24 : 6
a = 4.

Задание №1015

При каких значениях a и b пара чисел (−2;3) является решением системы уравнений
{ a x − 3 y = − 13,
   7 x + b y = 1 ?

Решение:

x = −2, y = 3.
ax − 3y = −13
−2a − 3 * 3 = −13
−2a − 9 = −13
−2a = −13 + 9
−2a = −4
a = −4 : −2
a = 2;
7x + by = 1
7 * −2 + 3b = 1
−14 + 3b = 1
3b = 1 + 14
3b = 15
b = 15 : 3
b = 5.

Задание №1016

Имеет ли решение система уравнений:
1) { 2 x − 7 y = 6,
      8 x − 28 y = 24 ;

2) { 2 x + y = − 2,
       6 x + 3 y = 9 ;

3) { x + 2 y = 0, 5,
       2 x + 4 y = 2 ?

Решение:

1) { 2 x − 7 y = 6,
      8 x − 28 y = 24

8 x − 28 y = 24     |4
8x/428y/4 = 24/4
2 x − 7 y = 6, графики двух уравнений совпадают, следовательно система уравнений имеет бесконечное множество решений.

2) { 2 x + y = − 2,
       6 x + 3 y = 9

6 x + 3 y = 9     |3
6x/3 + 3y/3 = 9/3
2 x + y = 3, прямые двух уравнений параллельны, а значит система уравнений не имеет решений.

3) { x + 2 y = 0, 5  ,
       2 x + 4 y = 2

2 x + 4 y = 2     |2
2x/2 + 4y/2 = 2/2
x + 2 y = 1, прямые двух уравнений параллельны, а значит система уравнений не имеет решений.

Задание №1017

Имеет ли решение система уравнений:
1) { x − y = 4,
      3 x − 3 y = 6 ;

2) { x − 1, 5 y = − 4,
      3 y − 2 x = 8 ;

3) { 9 x + 9 y = 18,
       x + y = 2 ?

Решение:

1) { x − y = 4,
      3 x − 3 y = 6 ;

3 x − 3 y = 6        |3
3x/33y/3 = 6/3
x − y = 2, прямые двух уравнений параллельны, а значит система уравнений не имеет решений.

2) { x − 1, 5 y = − 4,
       3 y − 2 x = 8 ;

3 y − 2 x = 8          |− 2
3y/−22x/−2 = 8/−2
− 1, 5 y + x = − 4
x − 1, 5 y = − 4, графики двух уравнений совпадают, следовательно система уравнений имеет бесконечное множество решений.

3) { 9 x + 9 y = 18,
       x + y = 2 ;

9 x + 9 y = 18      |9
9x/9 + 9y/9 = 18/9
x + y = 2, графики двух уравнений совпадают, следовательно система уравнений имеет бесконечное множество решений.

Задание №1018

К уравнению 2x − 3y = 6 подберите второе линейное уравнение так, чтобы получилась система уравнений, которая:
1) имеет единственное решение;
2) имеет бесконечно много решений;
3) не имеет решений.

Решение:

1) Система уравнений имеет единственное решение, когда прямые пересекаются, следовательно:
{ 2 x − 3 y = 6,
  2 x + 3 y = 6.

2) Система уравнений имеет бесконечно много решений, когда прямые совпадают, следовательно:
{ 2 x − 3 y = 6,
  8 x − 12 y = 26.

3) Система уравнений не имеет решений, когда прямые параллельны, следовательно:
{ 2 x − 3 y = 6,
  2 x − 3 y = 3.

Задание №1019

К уравнению x − y = 2 подберите второе линейное уравнение так, чтобы получилась система уравнений, которая:
1) имеет единственное решение;
2) имеет бесконечно много решений;
3) не имеет решений.

Решение:

1) Система уравнений имеет единственное решение, когда прямые пересекаются, следовательно:
{ x − y = 2,
  x + y = 2.

2) Система уравнений имеет бесконечно много решений, когда прямые совпадают, следовательно:
{ x − y = 2,
  10 x − 10 y = 20.

3) Система уравнений не имеет решений, когда прямые параллельны, следовательно:
{ x − y = 2,
  x − y = 5.

Задание №1020

При каких значениях a не имеет решений система уравнений
{ 8 x + 9 y = 7,
   8 x + 9 y = a ?

Решение:

Система уравнений не имеет решений, когда прямые параллельны, следовательно при a ≠ 7 данная система уравнений не имеет решений.