Задание №919
Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения с осями координат графика уравнения:
1) x + y = 2;
2) x3 − y = 1;
3) x2 + y2 = 9;
4) |x| − y = 5.
Решение:
1) x + y = 2
при y = 0:
x + 0 = 2
x = 2, следовательно график уравнения пересекает ось абсцисс в точке (2;0);
при x = 0:
0 + y = 2
y = 2, следовательно график уравнения пересекает ось ординат в точке (0;2).
2) x3 − y = 1
при y = 0:
x3 − 0 = 1
x3 = 1
x = 1, следовательно график уравнения пересекает ось абсцисс в точке (1;0);
при x = 0:
03 − y = 1
−y = 1
y = −1, следовательно график уравнения пересекает ось ординат в точке (0;−1).
3) x2 + y2 = 9
при y = 0:
x2 + 02 = 9
x2 = 9
x1 = 3,
x2 = − 3, следовательно график уравнения пересекает ось абсцисс в точках (3;0) и (−3;0);
при x = 0:
02 + y2 = 9
y2 = 9
y1 = 3,
y2 = − 3, следовательно график уравнения пересекает ось ординат в точках (0;3) и (0;−3).
4) |x| − y = 5
при y = 0:
|x| − 0 = 5
|x| = 5
x1 = 5,
x2 = − 5, следовательно график уравнения пересекает ось абсцисс в точках (5;0) и (−5;0);
при x = 0:
|0| − y = 5
−y = 5
y = −5, следовательно график уравнения пересекает ось ординат в точке (0;−5).
Задание №920
Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения с осями координат графика уравнения:
1) 2x − 3y = 6;
2) x2 + y = 4;
3) | x | + | y | = 7.
Решение:
1) 2x − 3y = 6
при y = 0:
2x − 3 * 0 = 6
2x − 0 = 6
2x = 6
x = 6 : 2
x = 3, следовательно график уравнения пересекает ось абсцисс в точке (3;0);
при x = 0:
2 * 0 − 3y = 6
−3y = 6
y = 6 : (−3)
y = −2, следовательно график уравнения пересекает ось ординат в точке (0;−2).
2) x2 + y = 4
при y = 0:
x2 + 0 = 4
x2 = 4
x1 = 2,
x2 = − 2, следовательно график уравнения пересекает ось абсцисс в точках (2;0) и (−2;0);
при x = 0:
02 + y = 4
y = 4, следовательно график уравнения пересекает ось ординат в точке (0;4).
3) | x | + | y | = 7
при y = 0:
| x | + | 0 | = 7
| x | = 7
x1 = 7,
x2 = − 7, следовательно график уравнения пересекает ось абсцисс в точках (7;0) и (−7;0);
при x = 0:
| 0 | + | y | = 7
| y | = 7
y1 = 7,
y2 = − 7, следовательно график уравнения пересекает ось ординат в точках (0;7) и (0;−7).
Задание №921
Составьте какое−нибудь уравнение с двумя переменными, решением которого является пара чисел:
1) x = 1, y = 2;
2) x = −3, y = 5;
3) x = 10, y = 0.
Решение:
1) x = 1, y = 2.
x + 2y = 5
2) x = −3, y = 5.
2xy + 30 = 0
3) x = 10, y = 0.
x2 − y2 = 100
Задание №922
Составьте какое−нибудь уравнение с двумя переменными, график которого проходит через точку:
1) A(−2;2);
2) B(4;−1);
3) C(0;0).
Решение:
1) A(−2;2):
x + y = 0
2) B(4;−1):
x2 + y = 15
3) C(0;0):
x2 − y2 = 0
Задание №923
Придумайте три уравнения, графики которых проходят через точку M(6;−3).
Решение:
M(6;−3):
1) x + y = 3;
2) x − 2y = 12;
3) x2 − y = 39.
Задание №924
Придумайте три уравнения, графики которых проходят через точку K(0;4).
Решение:
K(0;4):
1) xy = 0;
2) x − y = −4
3) xy − y = −4.
Задание №925
Принадлежит ли графику уравнения
x2 − y = − 2 точки, имеющие отрицательную ординату?
Решение:
Допустим, что y < 0, тогда уравнение
x2 − y = − 2 примет вид:
x2 + y = − 2, что невозможно, так как сумма двух положительных чисел не может быть отрицательной, следовательно графику данного уравнения не принадлежат точки, имеющие отрицательную ординату.
Задание №926
Проходит ли график уравнения
x + y2 = − 4 через точки, имеющие положительную абсциссу?
Решение:
Допустим, что x > 0, тогда уравнение
x + y2 = − 4 будет не верным, так как сумма двух положительных чисел не может быть отрицательной, следовательно графику данного уравнения не принадлежат точки, имеющие положительную абсциссу.
Задание №927
Имеет ли решения уравнение:
1) y2 = x2;
2) y2 = − x2;
3) xy = 0;
4) x2 + y2 = 25;
5) x2 + y2 = − 25;
6) x2 − y2 = − 9;
7) |x| + |y| = 1;
8) |x| + |y| = 0;
9) |x| + |y| = −1?
В случае утвердительного ответа укажите примеры решений.
Решение:
1) y2 = x2
y = x, имеет решение.
2) y2 = − x2 − имеет если x = 0, y = 0.
3) xy = 0 − имеет, если одна из переменных равна 0.
4) x2 + y2 = 25 − имеет например при x = 5, y = 0.
5) x2 + y2 = − 25 − не имеет, так как сумма квадратов не может быть отрицательной.
6) x2 − y2 = − 9 − имеет, например при x = 4, y = 5.
7) |x| + |y| = 1 − имеет, например при x = 0, y = 1.
8) |x| + |y| = 0 − имеет если x = 0, y = 0.
9) |x| + |y| = −1 − не имеет, так как сумма модуле не может быть отрицательной.
Задание №928
Решите уравнение:
1) x2 + y2 = 0;
2) ( x + 2 )2 + ( y − 3 )2 = 0;
3) x4 + y6 = − 4.
Решение:
1) x2 + y2 = 0
x2 = 0
x = 0;
y2 = 0
y = 0.
2) ( x + 2 )2 + ( y − 3 )2 = 0
x + 2 = 0
x = −2;
y − 3 = 0
y = 3.
3) x4 + y6 = − 4 − уравнение не имеет решения так как сумма степеней с четным показателем не может быть отрицательной.
Задание №929
Сколько решений имеет уравнение:
1) x2 + ( y − 2 )2 = 0;
2) ( x + 3 )2 + ( y − 1 )2 = 0;
3) 9 x2 + 16 y2 = 0;
4) ( x2 + y2 ) y = 0;
5) xy = 2;
6) |x + 1| + |y| = 0;
7) x2 + | y | = − 100;
8) x + y = 2?
Решение:
1) x2 + ( y − 2 )2 = 0
x2 = 0
x = 0;
y − 2 = 0
y = 2, следовательно уравнение имеет одно решение.
2) ( x + 3 )2 + ( y − 1 )2 = 0
x + 3 = 0
x = −3;
y − 1 = 0
y = 1, следовательно уравнение имеет одно решение.
3) 9 x2 + 16 y2 = 0
x = 0;
y = 0, следовательно уравнение имеет одно решение.
4) ( x2 + y2 ) y = 0
y = 0;
x − может принимать любые значения, поэтому уравнение имеет множество решений.
5) xy = 2 − уравнение имеет множество решений, например:
x = 1, y = 2;
x = 2, y = 1;
x = −1, y = −2, и так далее.
6) |x + 1| + |y| = 0
|x + 1| = 0
x = −1;
|y| = 0
y = 0, следовательно уравнение имеет одно решение.
7) x2 + | y | = − 100 − уравнение не имеет решений так как и квадрат и модуль числа положительные числа, и их сумма не может быть отрицательной.
8) x + y = 2 − уравнение имеет множество решений.
Задание №930
Приведите пример уравнения с переменными x и y:
1) имеющего одно решение;
2) не имеющего решений;
3) имеющего бесконечно много решений;
4) решением которого является любая пара чисел.
Решение:
1) x2 + ( y − 7 )2 = 0
x2 = 0
x = 0;
y − 7 = 0
y = 7, следовательно уравнение имеет одно решение.
2) |x| + |y| = −7 − уравнение не имеет решений, так как сумма двух модулей не может быть отрицательным числом.
3) x − y = 7 − уравнение имеет бесконечно много решений.
4) 2x + 2y − 2(x + y) = 0
2x + 2y − 2x − 2y = 0
0 = 0, следовательно решением уравнения является любая пара чисел.
Задание №931
Что представляет собой график уравнения:
1) ( x − 1 )2 + ( y + 5 )2 = 0;
2) | x + 9 | + | y − 8 | = 0;
3) 4x + y = y + 4x;
4) (x − 1)(y + 5) = 0?
Решение:
1) ( x − 1 )2 + ( y + 5 )2 = 0
x − 1 = 0
x = 1;
y + 5 = 0
y = −5, следовательно графиком данного уравнения является точка с координатами (1;5).
2) | x + 9 | + | y − 8 | = 0
x + 9 = 0
x = −9;
y − 8 = 0
y = 8, следовательно графиком данного уравнения является точка с координатами (0;8).
3) 4x + y = y + 4x
4x − 4x + y − y = 0
0 = 0, следовательно графиком данного уравнения является вся координатная плоскость.
4) (x − 1)(y + 5) = 0
x − 1 = 0
x = 1;
y + 5 = 0
y = −5, следовательно графиком данного уравнения является две прямые, одна из которых параллельна оси абсцисс, а другая оси ординат.
